MATLAB实现图像空间平滑正则化矩阵的构造方法

在图像处理和计算机视觉任务中，特别是人脸识别、图像降维或子空间学习算法中，我们常常希望学到的特征或投影方向能够保持图像的空间平滑性。也就是说，相邻像素之间的特征值变化不应过于剧烈。这种先验知识可以有效减少噪声影响，提升模型的泛化能力。

一种常见的实现方式是通过构造一个空间平滑正则化项（Spatial Smooth Regularizer），将其加入目标函数中，从而惩罚特征在空间上的剧烈变化。本文介绍一个高效的MATLAB实现，用于生成适用于二维图像的空间平滑正则化矩阵R。

核心思想：拉普拉斯算子近似

空间平滑性可以通过离散的拉普拉斯算子（Laplacian Operator）来刻画。在一维信号上，二阶差分算子可以表示为：

[ -1 2 -1 ]

对于边界点，则调整为单侧差分（如首尾元素只与相邻一个连接）。

对于二维图像，我们分别在行方向（垂直）和列方向（水平）上构造一维拉普拉斯矩阵，然后通过Kronecker积扩展到整个图像网格。

最终的正则化矩阵R定义为总拉普拉斯矩阵的平方形式：R = L^T L，其中L是组合后的拉普拉斯矩阵。这种形式常用于正则化项 ||L x||² = x^T R x。

实现步骤详解

1. 输入图像尺寸：nRow（行数，即高度）、nCol（列数，即宽度）。

2. 构造行方向（垂直）的一维差分矩阵D_row（nRow × nRow稀疏矩阵）：

   • 主对角线：2（中间点）