30、几何与量子领域的重要理论及应用解析

几何与量子领域的重要理论及应用解析

一、圆锥曲线束与四有理映射

在几何研究中，圆锥曲线束与四有理映射有着紧密的联系。当特定的代数结构满足一定条件时，会定义出四个有理映射 (F, F^{-1}, \overline{F}, \overline{F}^{-1}) 。对于四有理映射，其图像可由多项式方程 (f(x, y, u) = 0) 和 (h(y, x, v) = 0) 定义，这里我们主要关注 (f) 关于 (x) 和 (h) 关于 (y) 的次数都为 2 的情况，记为 ([2 : 2]) 。

1. 四有理映射的分类

根据相关定理，任何 ([2 : 2]) 类型的四有理映射，在变量的莫比乌斯规范变换下，等价于以下五种映射之一：
| 映射类型 | 映射公式 |
| — | — |
| ([A]) | (F_A: u = ayP, v = bxP, P = \frac{(1 - b)x + b - a + (a - 1)y}{b(1 - a)x + (a - b)yx + a(b - 1)y}) |
| ([B]) | (F_B: u = \frac{y}{aP}, v = \frac{x}{bP}, P = \frac{ax - by + b - a}{x - y}) |
| ([C]) | (F_C: u = \frac{y}{aP}, v = \frac{x}{bP}, P = \frac{ax - by}{x - y}) |
| ([D]) | (F_D: u = yP, v = xP, P = \frac{x - y + b - a}{x - y}) |
| ([E]) | (F_E: u = y +