1. 概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
- 不允许存在相同的结点
如：一个int a [] = {5,3,4,1,7,8,2,6,0,9}; 数组组成二叉排序树
定义二叉搜索树的结构：
static class TreeNode { public int val; public TreeNode left; public TreeNode right; public TreeNode(int val) { this.val = val; } } public TreeNode root;2. 操作 - 查找
/* 搜索 搜索的时间复杂度最好：O(logN) 搜索的时间复杂度最坏：O(N) */ public boolean search(int key){ TreeNode cur = root; while(cur != null){ //找到key，返回true if(cur.val == key) { return true; } //到右树寻找 else if(cur.val < key){ cur = cur.right; } //到左树寻找 else{ cur = cur.left; } } //没有找到值为key的结点 return false; }3. 操作 - 插入
（1） 如果树为空树，即根 == null，直接插入
（2）如果树不是空树，按照查找逻辑确定插入位置，插入新结点
/* 插入：都是插入到叶子结点 插入的时间复杂度最好：O(logN) 插入的时间复杂度最坏：O(N) */ public void insert(int val) throws Exception { TreeNode newNode = new TreeNode(val); if (root == null) { root = newNode; return; } TreeNode cur = root; TreeNode parent = null; while (cur != null) { parent = cur; //判断是否有重复元素进入 if (cur.val == val) { throw new Exception("有重复元素进入！"); } //如果要插入的结点的值，大于当前结点，就应该在cur的右子树 if (cur.val < val) { cur = cur.right; } //如果要插入的结点的值，小于当前结点，就应该在cur的左子树 else if (cur.val > val) { cur = cur.left; } } //如果要插入的结点小于父节点，就应该接在父节点的左子树 if (parent.val > val) { parent.left = newNode; } //如果要插入的结点大于父节点，就应该接在父节点的右子树 else { parent.right = newNode; } }搜索和插入的运行结果：
4. 操作 - 删除 ⭐⭐⭐⭐⭐
分情况讨论，如下所示：
设待删除结点为 cur, 待删除结点的双亲结点为 parent
（1）cur.left == null
① cur 是 root，则root = cur.right
② cur 不是 root，cur 是 parent.left，则parent.left = cur.right
③ cur 不是 root，cur 是 parent.right，则parent.right = cur.right
（2）cur.right == null
① cur 是 root，则root = cur.left
② cur 不是 root，cur 是 parent.left，则parent.left = cur.left
③ cur 不是 root，cur 是 parent.right，则parent.right = cur.left
（3）cur.left != null && cur.right != null
需要使用替换法进行删除，即在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(关键码最小)，用它的值填补到被 删除节点中，再来处理该结点的删除问题。
这部分的代码为（有bug）：
//3.cur两边的子树都不为空 else{ TreeNode t = cur.left; TreeNode tp = null; while(t.right != null){ tp = t; t = t.right; } cur.val = t.val; //这个就变成了删除t指向的结点，且t结点的右子树为空 tp.right = t.left; }原来的图：
第一步进行分析和改进：
第二步进行分析和改进：
树类的方法：
//删除结点的操作 public void remove(int val) { TreeNode parent = null; TreeNode cur = root; while (cur != null) { //去右子树寻找 if (cur.val < val) { parent = cur; cur = cur.right; } else if (cur.val > val) { parent = cur; cur = cur.left; } //找到了 else { removeNode(cur, parent); return; } } } private void removeNode(TreeNode cur, TreeNode parent) { //1.cur的左子树为空 if (cur.left == null) { //（1）cur 是 root，则 root = cur.right if (cur == root) { root = cur.right; } //（2）cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.right else if (cur == parent.left) { parent.left = cur.right; } //（3）cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.right else { parent.right = cur.right; } } //2.cur的右子树为空 else if (cur.right == null) { //（1）cur 是 root，则 root = cur.left if (cur == root) { root = cur.left; } //（2）cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.left else if (cur == parent.left) { parent.left = cur.right; } //（3）cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.left else { parent.right = cur.right; } } //3.cur两边的子树都不为空 else { TreeNode t = cur.left; TreeNode tp = cur; while (t.right != null) { tp = t; t = t.right; } cur.val = t.val; if (cur == tp) { tp.left = t.left; } else { //这个就变成了删除t指向的结点，且t结点的右子树为空 tp.right = t.left; } } }测试类：
public class Test { public static void main(String[] args) throws Exception { BinarySearchTree binarySearchTree = new BinarySearchTree(); binarySearchTree.insert(5); binarySearchTree.insert(3); binarySearchTree.insert(7); binarySearchTree.insert(1); binarySearchTree.insert(4); binarySearchTree.insert(6); binarySearchTree.insert(8); binarySearchTree.insert(0); binarySearchTree.insert(9); binarySearchTree.remove(3); } }5. 二叉搜索树的完整代码
public class BinarySearchTree { static class TreeNode { public int val; public TreeNode left; public TreeNode right; public TreeNode(int val) { this.val = val; } } public TreeNode root; /* 搜索 搜索的时间复杂度最好：O(logN) 搜索的时间复杂度最坏：O(N) */ public boolean search(int key) { TreeNode cur = root; while (cur != null) { //找到key，返回true if (cur.val == key) { return true; } //到右树寻找 else if (cur.val < key) { cur = cur.right; } //到左树寻找 else { cur = cur.left; } } //没有找到值为key的结点 return false; } /* 插入：都是插入到叶子结点 插入的时间复杂度最好：O(logN) 插入的时间复杂度最坏：O(N) */ public void insert(int val) throws Exception { TreeNode newNode = new TreeNode(val); if (root == null) { root = newNode; return; } TreeNode cur = root; TreeNode parent = null; while (cur != null) { parent = cur; //判断是否有重复元素进入 if (cur.val == val) { throw new Exception("有重复元素进入！"); } //如果要插入的结点的值，大于当前结点，就应该在cur的右子树 if (cur.val < val) { cur = cur.right; } //如果要插入的结点的值，小于当前结点，就应该在cur的左子树 else if (cur.val > val) { cur = cur.left; } } //如果要插入的结点小于父节点，就应该接在父节点的左子树 if (parent.val > val) { parent.left = newNode; } //如果要插入的结点大于父节点，就应该接在父节点的右子树 else { parent.right = newNode; } } //删除结点的操作 public void remove(int val) { TreeNode parent = null; TreeNode cur = root; while (cur != null) { //去右子树寻找 if (cur.val < val) { parent = cur; cur = cur.right; } else if (cur.val > val) { parent = cur; cur = cur.left; } //找到了 else { removeNode(cur, parent); return; } } } private void removeNode(TreeNode cur, TreeNode parent) { //1.cur的左子树为空 if (cur.left == null) { //（1）cur 是 root，则 root = cur.right if (cur == root) { root = cur.right; } //（2）cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.right else if (cur == parent.left) { parent.left = cur.right; } //（3）cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.right else { parent.right = cur.right; } } //2.cur的右子树为空 else if (cur.right == null) { //（1）cur 是 root，则 root = cur.left if (cur == root) { root = cur.left; } //（2）cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.left else if (cur == parent.left) { parent.left = cur.right; } //（3）cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.left else { parent.right = cur.right; } } //3.cur两边的子树都不为空 else { TreeNode t = cur.left; TreeNode tp = cur; while (t.right != null) { tp = t; t = t.right; } cur.val = t.val; if (cur == tp) { tp.left = t.left; } else { //这个就变成了删除t指向的结点，且t结点的右子树为空 tp.right = t.left; } } } }6. 性能分析
插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。 对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度 的函数，即结点越深，则比较次数越多。 但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
- 最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树，其平均比较次数为：
- 最差情况下，二叉搜索树退化为单支树，其平均比较次数为：N
问题：如果退化成单支树，二叉搜索树的性能就失去了。那能否进行改进，不论按照什么次序插入关键码，都可以，是二叉搜索树的性能最佳？
答：可以，这就涉及到后面的AVL树和红黑树了，后期的文章会继续讨论AVL树和红黑树。
7. 和Java类集的关系
TreeMap 和 TreeSet 即 Java 中利用搜索树实现的 Map 和 Set；实际上用的是红黑树，而红黑树是一棵近似平衡的二叉搜索树，即在二叉搜索树的基础之上 +颜色以及红黑树性质验证，关于红黑树的内容后序再进行讲解。
