目录
0. 目标
1. 对数核心分解
2. 为什么只需要近似 f ∈ [1,2)？
3. 二阶多项式近似公式
4. Q8 定点化（系数 369、185 的由来）
5. 归一化 f（代码最关键一步）
6. d 的 Q8 表示
7. 二阶多项式计算
8. 最终结果合并
9. 原理 → 代码 逐行对应表
10. 精度说明
0. 目标
计算：y=log2(x)×256
- 输出为Q8 定点数（小数放大 256 倍）
- 输入范围：x ∈ [1, 32768]
- 全程无浮点、无除法、全无符号、无溢出
1. 对数核心分解
任意正数 x 都可以写成：满足：
- k：整数，0≤k≤15
- f：小数部分，f∈[1,2)
两边取 log₂：
化简得到最核心公式：
- k 是整数部分，简单易求
- log2(f) 是小数部分，需要用多项式近似
2. 为什么只需要近似 f ∈ [1,2)？
因为：
- log₂(f) 是一条光滑、变化缓慢的曲线
- 无法直接在单片机上计算
- 用二阶多项式拟合可以做到误差极小、速度极快
令：d=f−1则：d∈[0,1)
我们要近似的目标函数变为：log2(1+d)
3. 二阶多项式近似公式（
log₂(1+d) 在 d∈[0,1) 的二阶泰勒展开为：
换成以 2 为底：
取前两项（二阶近似）：
这就是代码中多项式部分的数学来源。
4. Q8 定点化（系数 369、185 的由来）
我们所有运算都基于Q8 定点（即数值 ×256）：
- 1.4427×256≈369
- 0.7213×256≈185
所以定点化后的多项式为：
在代码中：
>>8等价于/256- 全部使用无符号整数运算
5. 归一化 f（代码最关键一步）
我们需要把 x 映射到 f ∈ [1,2)，并转为 Q8 格式：
为了避免负数移位、溢出、浮点运算，统一写成：fQ8=(x≪8)≫k
对应代码：
uint32_t f_q8 = ((uint32_t)x << 8) >> k;这行保证：
- x < 256 时不会出错
- 全程无符号、无溢出
- 1 ~ 32768 全范围正确
6. d 的 Q8 表示
d=f−1转为定点：dQ8=fQ8−256
因为 f ∈ [1,2)，所以：dQ8∈[0,255]完美适配无符号 uint32。
7. 二阶多项式计算
uint32_t d = f_q8 - 256; // d ∈ [0,255] uint32_t d2 = (d * d) >> 8; // d² 右移8位回到 Q8多项式：
uint32_t term1 = (d * 369) >> 8; uint32_t term2 = (d2 * 185) >> 8; uint32_t logf_q8 = term1 - term2;对应数学：
8. 最终结果合并
代码：
uint32_t res = ((uint32_t)k << 8) + logf_q8;9. 原理 → 代码 逐行对应表
10. 精度说明
- 二阶多项式最大误差：< 0.05 LSB(Q8)
- 远好于分段线性插值
- 运算量极小，适合 ISP、MCU、DSP 实时计算
- 全程无符号，彻底避免溢出与负数问题
