目录
1. 引言
2. Tustin 离散化基础
2.1 核心定义
2.2 核心映射公式
2.3 核心特性
3. 关键问题：频率混叠与非线性频率映射
3.1 频率混叠（Frequency Aliasing）
3.1.1 定义
3.1.2 成因与数学本质
3.1.3 工程影响与解决措施
3.2 Tustin 变换的非线性频率映射
3.2.1 定义
3.2.2 数学推导（详见附录）
3.2.3 非线性特性分析
3.2.4 工程影响
4. 预畸变处理技术
4.1 核心思想
4.2 关键公式
4.3 实施步骤
4.4 MATLAB 工程示例
5. 其他常用离散化方法对比
5.1 时域离散化方法
5.2 频域离散化方法
5.3 核心区别总结
6. 工程应用与选型建议
6.1 适用场景
6.2 选型原则
7. 附录：核心公式推导
7.1 非线性频率映射公式推导
步骤 1：明确基础公式
步骤 2：代入映射公式
步骤 3：复数化简（欧拉公式 + 三角恒等式）
步骤 4：最终推导结果
1. 引言
在数字控制、数字滤波及电力电子等工程领域，需将连续域（s 域）的控制器、滤波器或被控对象模型转换为离散域（z 域）模型，该过程称为离散化。Tustin 离散化（双线性变换）是常用的频域离散化方法，具有无频率混叠的优势，但存在频率畸变问题，需通过预畸变处理补偿。本文将系统解析 Tustin 离散化的核心原理、关键问题及解决方案，并对比其他主流离散化方法，为工程实践提供指导。
2. Tustin 离散化基础
2.1 核心定义
Tustin 离散化通过梯形积分近似建立 s 域与 z 域的映射关系，是一种无频率混叠的频域离散化方法，广泛应用于高精度控制器、滤波器的数字实现。
2.2 核心映射公式
Tustin 变换的复频率映射关系为：
\(s = \frac{2}{T_s} \cdot \frac{z - 1}{z + 1}\)
其中：
- \(s = \sigma + j\omega\)：连续域复频率（\(\sigma\)为实部，\(\omega\)为连续域角频率，单位：rad/s）；
- \(z = re^{j\Omega}\)：离散域复频率（\(r\)为模值，\(\Omega\)为离散域角频率，单位：rad）；
- \(T_s\)：采样周期（单位：s），\(f_s = \frac{1}{T_s}\) 为采样频率。
2.3 核心特性
- 无频率混叠：连续域 \(\omega \in (-\infty, +\infty)\) 单值映射到离散域 \(\Omega \in (-\pi, \pi)\)；
- 低频近似线性：当 \(\Omega \ll 1\) 时，映射关系近似线性，离散系统特性与连续系统接近；
- 存在频率畸变：高频段呈现明显的非线性映射，导致关键频率（如截止频率、谐振频率）偏移。
3. 关键问题：频率混叠与非线性频率映射
3.1 频率混叠（Frequency Aliasing）
3.1.1 定义
频率混叠是连续信号离散采样时的固有失真现象：当采样频率不满足奈奎斯特采样定理时，信号中高于奈奎斯特频率的高频分量，会被错误地映射为低频分量，导致离散信号频谱与原连续信号频谱混淆。
3.1.2 成因与数学本质
- 奈奎斯特采样定理：采样频率 \(f_s\) 需大于信号最高频率 \(f_{max}\) 的 2 倍（\(f_s > 2f_{max}\)），否则离散信号无法无失真还原；
- 频域本质：采样过程等价于连续信号频谱以 \(f_s\) 为周期延拓，当 \(f_s _{max}\) 时，相邻周期频谱重叠，重叠部分无法区分。
3.1.3 工程影响与解决措施
- 影响：导致反馈信号包含虚假低频分量，引发系统振荡、稳态误差增大；
- 解决措施：①提高采样频率满足奈奎斯特定理；②采样前增加抗混叠低通滤波器。
3.2 Tustin 变换的非线性频率映射
3.2.1 定义
Tustin 变换中，连续域角频率 \(\omega\) 与离散域角频率 \(\Omega\) 呈现非线性对应关系，是该方法固有的频率特性，与采样过程的混叠无关。
3.2.2 数学推导（详见附录）
通过将正弦稳态下的复频率 \(s = j\omega\)（\(\sigma=0\)）和 \(z = e^{j\Omega}\)（\(r=1\)）代入 Tustin 映射公式，经复数化简（欧拉公式 + 三角恒等式），最终得到：
\(\omega = \frac{2}{T_s} \tan\left(\frac{\Omega}{2}\right)\)
3.2.3 非线性特性分析
- 低频段（\(\Omega \to 0\)）：\(\tan\left(\frac{\Omega}{2}\right) \approx \frac{\Omega}{2}\)，\(\omega \approx \frac{\Omega}{T_s}\)，近似线性映射；
- 中高频段（\(\Omega\) 增大）：正切函数非线性增长，\(\omega\) 随 \(\Omega\) 变化速度加快；
- 极限情况（\(\Omega = \pi\)）：\(\tan\left(\frac{\pi}{2}\right) \to \infty\)，\(\omega \to \infty\)，对应离散域最高频率（奈奎斯特角频率）。
3.2.4 工程影响
导致连续系统的关键频率（如截止频率、谐振频率）在离散化后偏移，使离散系统幅频、相频特性与原连续系统偏差较大，影响控制或滤波精度。
4. 预畸变处理技术
4.1 核心思想
预畸变处理是针对 Tustin 变换频率畸变的补偿技术，核心是反向校正：在 Tustin 变换前，对连续系统的关键特征频率进行预调整，使得经过非线性映射后，离散系统的目标频率与原连续系统设计频率一致。
4.2 关键公式
若期望离散系统保留连续系统的关键频率 \(\omega_0\)，需先计算预畸变后的模拟频率 \(\omega_c\)：
\(\omega_c = \frac{2}{T_s} \tan\left(\frac{\omega_0 T_s}{2}\right)\)
用 \(\omega_c\) 修正连续传递函数后，再执行 Tustin 变换，即可抵消非线性映射的影响。
4.3 实施步骤
- 确定关键参数：明确目标特征频率 \(\omega_0\)（如截止频率、谐振频率）和采样周期 \(T_s\)；
- 计算预畸变频率：通过上述公式求解 \(\omega_c\)；
- 修正连续传递函数：将原传递函数中 \(\omega_0\) 相关参数替换为 \(\omega_c\)；
- 执行 Tustin 离散化：代入 Tustin 映射公式或通过工具函数完成离散化。
4.4 MATLAB 工程示例
% 定义连续谐振控制器传递函数 omega0 = 100; % 原连续系统谐振频率 Ca = tf([1 0], [1 0 omega0^2]); % 连续传递函数 Ts = 0.001; % 采样周期 % 带预畸变的Tustin离散化 Gc_z = c2d(Ca, Ts, 'tustin', 'PrewarpFrequency', omega0); % 波特图对比 bode(Ca, Gc_z); legend('连续系统', '带预畸变的离散系统'); grid on;5. 其他常用离散化方法对比
除 Tustin 变换外，工程中常用的离散化方法可分为时域和频域两大类，核心特性对比如下：
5.1 时域离散化方法
方法 | 核心原理 | 稳定性 | 精度 | 计算复杂度 | 适用场景 |
前向欧拉法 | 一阶前向差分近似微分 | 差 | 低 | 极低 | 简易开环控制 |
后向欧拉法 | 一阶后向差分近似微分（隐式） | 好（绝对稳定） | 中 | 低 | 慢变系统（如 BMS） |
零阶保持法（ZOH） | 控制量在采样周期内恒定，匹配 D/A 过程 | 好 | 高 | 低 | PCS / 逆变器闭环控制（首选） |
一阶保持法（FOH） | 控制量在采样周期内线性变化 | 好 | 中高 | 中 | 极少使用（对噪声敏感） |
5.2 频域离散化方法
方法 | 核心原理 | 稳定性 | 精度 | 计算复杂度 | 适用场景 |
脉冲响应不变法 | 离散系统脉冲响应与连续系统采样时刻相等 | 好 | 高（低通） | 中 | 低通滤波器设计 |
零极点匹配法 | 按 \(z=e^{sT_s}\) 映射零极点，增益匹配 | 较好 | 中高 | 中 | 高阶系统快速离散化 |
5.3 核心区别总结
对比维度 | 频率混叠 | Tustin 非线性映射 |
产生根源 | 采样不满足奈奎斯特定理 | Tustin 变换数学映射关系 |
本质 | 高频分量误映射为低频 | 连续 / 离散频率非线性对应 |
解决方法 | 提高采样频率、加抗混叠滤波器 | 预畸变处理 |
适用范围 | 所有离散采样系统 | 仅 Tustin 离散化方法 |
6. 工程应用与选型建议
6.1 适用场景
- 带预畸变的 Tustin 变换：高精度滤波器、谐振控制器（如 PIR）、对频率特性要求高的场景（如电机谐波抑制）；
- 零阶保持法：PCS / 逆变器电流环、电压环等闭环控制（匹配硬件执行过程）；
- 脉冲响应不变法：低通滤波器设计（需提前滤除高频分量）；
- 零极点匹配法：高阶复杂控制器快速离散化。
6.2 选型原则
- 优先匹配硬件特性：数字控制系统中，若控制器输出经 D/A 后保持恒定，首选零阶保持法；
- 高频特性要求高：选择带预畸变的 Tustin 变换，避免频率偏移；
- 系统复杂度高：高阶系统可选用零极点匹配法，快速保留核心动态特性；
- 实时性要求高：选择计算复杂度低的方法（如前向欧拉、零阶保持法）。
7. 附录：核心公式推导
7.1 非线性频率映射公式推导
目标：推导 Tustin 变换的频率映射关系 \(\omega = \frac{2}{T_s} \tan\left(\frac{\Omega}{2}\right)\)
步骤 1：明确基础公式
- Tustin 变换映射：\(s = \frac{2}{T_s} \cdot \frac{z - 1}{z + 1}\)；
- 正弦稳态下复频率：\(s = j\omega\)（\(\sigma=0\)），\(z = e^{j\Omega}\)（\(r=1\)）。
步骤 2：代入映射公式
将 \(s = j\omega\)、\(z = e^{j\Omega}\) 代入 Tustin 公式：
\(j\omega = \frac{2}{T_s} \cdot \frac{e^{j\Omega} - 1}{e^{j\Omega} + 1}\)
步骤 3：复数化简（欧拉公式 + 三角恒等式）
- 欧拉公式：\(e^{j\Omega} = \cos\Omega + j\sin\Omega\)；
- 三角恒等式：
\(\cos\Omega - 1 = -2\sin^2\frac{\Omega}{2}, \sin\Omega = 2\sin\frac{\Omega}{2}\cos\frac{\Omega}{2}, \cos\Omega + 1 = 2\cos^2\frac{\Omega}{2}\)
- 分子展开：\(e^{j\Omega} - 1 = (\cos\Omega - 1) + j\sin\Omega = -2\sin^2\frac{\Omega}{2} + j\cdot 2\sin\frac{\Omega}{2}\cos\frac{\Omega}{2}\)；
- 分母展开：\(e^{j\Omega} + 1 = (\cos\Omega + 1) + j\sin\Omega = 2\cos^2\frac{\Omega}{2} + j\cdot 2\sin\frac{\Omega}{2}\cos\frac{\Omega}{2}\)；
- 约分化简：
\(\frac{e^{j\Omega} - 1}{e^{j\Omega} + 1} = \frac{2\sin\frac{\Omega}{2}(-\sin\frac{\Omega}{2} + j\cos\frac{\Omega}{2})}{2\cos\frac{\Omega}{2}(\cos\frac{\Omega}{2} + j\sin\frac{\Omega}{2})} = \tan\frac{\Omega}{2} \cdot \frac{j(\cos\frac{\Omega}{2} + j\sin\frac{\Omega}{2})}{\cos\frac{\Omega}{2} + j\sin\frac{\Omega}{2}} = j\tan\frac{\Omega}{2}\)
步骤 4：最终推导结果
将化简结果代入原式：
\(j\omega = \frac{2}{T_s} \cdot j\tan\frac{\Omega}{2}\)
约去 \(j\) 后得到：
\(\omega = \frac{2}{T_s} \tan\left(\frac{\Omega}{2}\right)\)
