为什么向量空间必须是“无限”的？

为什么向量空间必须是“无限”的？

为什么说运算结果总是在  V 中？

向量空间的定义本质上就是划定了一个“无论你怎么加、怎么乘，都逃不出这个圈子”的集合。那么为什么还分V,U 子集呢，这样讲来，不就是一个向量空间包括一切的意思吗？

 

当数学家说“地板是一个向量空间（子空间）”时，他们指的是一个向四周无限延伸、没有尽头的二维平面。

• 无论你把一个向量放大多少倍（哪怕是一亿倍），
• 无论你把两个向量加在一起有多长，
• 因为这个平面是无限大的，结果永远还在这个平面上。

 “为什么说运算结果总是在  V 中？”

因为向量空间的定义里有一条硬性规定：它必须对标量乘法封闭。

• 如果一个集合是有边界的（比如一个圆圈、一个正方形、一间屋子的地板），我只要乘以一个足够大的标量（比如  10^10010100），结果就一定会跳出这个边界。
• 为了保证“永远跳不出去”，向量空间只有两种可能：
  1. 它是无限延伸的（像直线、平面、或者整个三维空间）。
  2. 它只包含一个点：原点 (0,0,0) （因为 $0$ 乘以任何数还是 $0$，怎么拉都不动）。

重新理解“圈子”

 “圈子”