工程师学AI之第四篇：概率论-AI不确定性量化与决策的框架

前篇介绍了大模型骨架（信息表达-线性代数万物皆可向量，及点积运算在神经网络中的作用）。本篇我们将学习概率论及其与AI大模型关系，概率论为AI提供了在不确定性下进行推理的框架，而信息论则提供了衡量信息的方法。 本文重点结合理论与代码实践回答下面几个问题。

1）什么是概率论？what 2）为什么AI大模型需要概率论？why 3）AI大模型训练过程如何使用概率论（激活函数、损失函数）？how 4）技术发展趋势？

1.什么是概率论？

概率论（英语：Probability theory）是研究概率、随机性及不确定性等现象的数学分支。概率论主要研究对象为随机事件、随机变量以及随机过程。可以量化不确定性，预测事件发生的可能性，并对复杂系统进行建模和分析，为我们提供了一套严谨的框架和工具，用于量化、分析和推理那些不必然发生的事件。

1.1概率论基本概念

1.1.1基本概念

概率论就是用来建模和处理这种不确定性的“数学语言”。它不追求100%的确定答案，而是告诉我们各种可能性的大小。概率论核心概念：

1）样本空间：所有可能结果的集合（如抛硬币：{正面，反面}）。

2）事件：概率论中的“事件”是指一个或一组可能的结果。样本空间的子集（如“掷骰子得到偶数”）。例如，掷骰子得到“6”是一个事件。

3）概率 (Probability)： 一个事件发生的可能性，取值范围在 [0, 1] 之间。0表示不可能，1表示必然。例如，明天可能下雨的概率是0.3（即30%）。

4）概率分布 (Probability Distribution)： 描述一个随机变量所有可能结果及其对应概率的函数。例如，正态分布（钟形曲线）、均匀分布等。

5）古典概率：在有限等可能结果中，概率 = 事件结果数 ÷ 总结果数。例：掷骰子得6的概率 = 1/6。频率概率通过大量试验，概率 ≈ 事件发生次数 ÷ 总试验次数。

6）条件概率 (Conditional Probability)： 在已知某事件发生的情况下，另一事件发生的概率，记作 P(A|B)。例如，已知天阴了，下雨的概率可能会从30%上升到70%。

7）贝叶斯定理 (Bayes’ Theorem)： 利用先验知识和新的证据来更新事件概率的强大规则。贝叶斯定理 这是概率思维的基石之一，用于根据新信息更新概率。公式为：

其中，P(A∣B) 是条件概率，表示在B发生时A的概率。贝叶斯定理的核心思想是：我们的信念（先验概率）应随着新证据的出现而更新（后验概率）。参考维基百科：贝叶斯定理。应用场景：医疗诊断中，贝叶斯定理用于计算已知症状下患病的概率。例如，P(疾病|阳性) 基于阳性结果和疾病先验概率更新。

8）期望值：决策的量化工具 概率思维的核心在于“期望值”（Expected Value），它是各种可能结果的收益（或损失）与其概率的加权平均。期望与方差期望（均值）E(X) = ΣxP(X=x)（离散）或 ∫xf(x)dx（连续），表示随机变量的平均值。

计算公式为：

期望值将概率和后果结合起来，为决策提供了量化依据。例如，假设你在考虑是否参加一场赌局：有60%的概率赢得100元；有40%的概率输掉50元。期望值计算如下：60%*100+40%（-50）=60-20=40 。期望值为正40元，表明从长期来看，这场赌局对你有利。

9）方差Var(X) = E[(X - E(X))²]，衡量随机变量的波动性，用于衡量风险。标准差σ = √Var(X)。

10）概率分布

离散：概率质量函数（PMF），如 P(X = k)。

连续：概率密度函数（PDF），概率为密度曲线下的面积。

应用场景：在电商中，分析用户购买次数（离散）或页面停留时间（连续）。

1.1.2基本公理

概率论建立在三个基本公理之上，这些公理为概率计算提供了严格的数学基础。

1）非负性：任何事件的概率大于等于0，P(A) ≥ 0。

2）规范性：样本空间概率为1：P(Ω) = 1。

3）可加性：互斥事件并集的概率等于各事件概率之和，互斥事件概率可加：

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)（若 A ∩ B = ∅）。

1.2概率思维启示：对现实生活？

既然概率思维如此重要，为什么大部分人平时并没有刻意去使用它？

1）人性偏爱确定性（安全感）： 人类深层次渴望安全感，渴望确定的结论。我们本能地喜欢把事情简化为肯定或否定，而非去计算一个微妙的概率，比如30%。这是心理上的舒适区，而概率思维则是要跳出这种二元简化的范式。在传统的确定性思维中，我们倾向于将事件简化为“会发生”或“不会发生”的二元对立。然而，现实世界并非如此黑白分明。在现实世界里，如果我们只用0，1思维来思考，很容易做出极端决策：要么过度冒险，要么草木皆兵。通过引入概率视角，我们会更少陷入“极端情绪”。当我们意识到成功只是存在一定概率，而非百分百确定，就会做好更充分的风险管理与准备；当我们发现失败也并非必然，就能更好地捕捉潜在机会。 2）概率思维学习门槛 ：现实世界极其复杂，很多变量都在互动，简单的数学模型并不足以完全描述。对多数人而言，去学习概率论、统计学或者博弈论，往往是一件耗时、费力，也不太现实，且与“直觉/经验”相冲突的事。

2.为什么AI大模型需要使用概率论？why

我们面临的问题分为确定性问题和不确定性问题，确定性问题可以基于规则、公理与推理，通过工程化的方式进行解决。然而，真实世界的数据很少是确定性和线性的。它们充满噪声和不确定性。要描述和处理不确定性，我们就必须引入概率论。

2.1不确定性来源

《深度学习》第3章提到，不确定性的来源主要包括：

1）被建模系统中的内在随机性：比如随机游戏（抛硬币、扔色子）中的随机性、自动驾驶系统需要处理激光雷达的数据噪声，自动医疗诊断系统需要处理患者症状的模糊性、自然语言处理（NLP）需要面对语义歧义以及对话系统中用户意图的不确定性。可以说，不确定性是AI系统与现实世界交互的核心特征，也是实现可靠智能的关键障碍。这里概率论的核心重要性在于提供了量化不确定性的工具。

2）不完全观测： 即使是确定性系统，当我们不能观察到所有驱动系统行为的变量时，该系统也会呈现不确定性。这种不确定性甚至是跟具体的观测者的视角相关的。比如抛硬币游戏，抛完之后用手盖住，自己偷偷看了一眼手下的硬币但不让观众知道，并问在场观众硬币正面朝上的概率是多少。在这个例子中，硬币正面朝上的概率对于实验者与观察者是完全不同的，由此也可见不确定性程度跟具体的观察者相关。

3）不完全建模： 当我们使用一些必须舍弃某些观测信息的模型时，抛弃的信息会导致模型预测结果出现不确定性。

2.2概率论：大模型本质是一个概率生成模型

人工智能的核心目标是让机器具备类似人类的智能行为（如推理、决策、感知等）。但现实世界本质上充满不确定性，而概率论是处理不确定性最强大、最系统的工具。大模型本质上是一个概率生成模型，它总是在计算“什么最有可能出现”。概率论决定了大模型的思维方式（概率分布与统计）和最终目标，概率论决定了模型如何“思考”和“决策”，它让AI模型不再是“硬编码”的规则机器，而是能够应对模糊性和做出稳健决策的智能系统。

作为工程师，最重要的是思维方式上的转变：从人工设计规则（工程思维）转变为由机器从数据中学习（模型与算法思维）：没有人为介入的方块用灰色表示。深度学习也称为端（原始数据）到端（目标结果）的机器学习。

概率论可以帮助AI走出实验室的“理想环境”，应对真实世界的复杂性：

1）处理噪声数据： 真实世界的数据永远不完美（传感器误差、标注错误、缺失值）。概率模型允许噪声存在，并能推断出最可能的值。

2）量化置信度： AI模型不仅能给出预测，还能给出这个预测的“把握有多大”。例如，医疗诊断AI输出“肺癌，概率95%”远比只说“肺癌”更有价值，医生可以据此决定是否需要进一步检查。

3）进行推理与决策：在信息不完全的情况下，基于概率做出最优决策。例如，自动驾驶汽车根据传感器概率判断“旁边车道有车，概率90%”，从而决定不执行变道操作。

4）模型不确定性： 优秀的模型应该知道“自己什么不知道”。对于从未见过的、与训练数据差异很大的输入，概率模型可以给出低置信度（概率值都很低），从而避免做出危险的预测。

3.AI大模型如何使用概率论？how

深度学习的本质是通过神经网络对数据分布进行建模，其核心目标可以归结为学习输入到输出的条件概率分布，即P(Y∣X)（监督学习）或P(X)（无监督学习）。概率论在其中的作用体验在：概率论思想需要将输出解释为概率 -> 选择特定的激活函数（如 Softmax, Sigmoid）来产生概率输出 -> 需要衡量预测概率与真实概率的差异 -> 选择符合概率论的损失函数（如交叉熵） -> 最小化该损失函数等价于最大似然估计，即在概率意义上让模型最拟合数据。

概率论、激活函数和损失函数这三者环环相扣，构成了现代神经网络学习和决策的基石。《深度学习入门- 基于Python的理论与实现DeepLearning from Scrach》第三章重点介绍了神经网络的激活函数、损失函数引入的背景、理论与实践。对工程师来说，这种关系体现在三个层面：

1）建模理念：概率生成 vs. 概率判别

✧ 生成模型（如GPT，扩散模型）：其核心思想是学习训练数据的概率分布 P(数据)。GPT学习的是“自然语言”的概率分布，从而能生成合乎语法的句子。扩散模型学习的是“图片”的概率分布，从而能从噪声中生成逼真图像。

✧ 判别模型（如分类模型）：其核心思想是学习条件概率 P(输出 | 输入)。例如，给定一张图片（输入），模型计算它是“猫”或“狗”的条件概率。

2）训练目标：最大似然估计，大模型的训练过程，在数学上等价于最大似然估计。即找到一组模型参数，使得这组参数下模型预测的概率分布与训练数据的真实分布最接近。损失函数（如交叉熵）就是衡量这个接近程度的工具。

3）输出解释：概率输出，大模型的最终输出层几乎总是被设计成概率形式。例如，LLM（大语言模型）生成下一个词时，其实是在计算一个包含数万词汇的庞大概率分布，并从这个分布中采样选择下一个词。激活函数（如Softmax）就是将原始输出转换为概率分布的关键工具。

3.1激活函数：模型计算的灵魂

激活函数是一种"仿生结构"，通过模拟"大脑神经元中传递激活递质到下一个神经元"的过程来帮助神经网络学习数据中的复杂分布。激活函数会将输入信号的总和转换为输出信号，决定如何来激活输入信号的总和，激活函数是连接“感知机（接收多个输入信号，输出一个信号，信号只有1-传递/0-不传递两种取值）”与神经网络的桥梁。将感知机的激活函数从阶跃函数换成其他函数（sigmoid、），就变成了我们熟知的神经网络（神经元之间流动的是实数值信号）。

✧ 问题：神经网络最后一层（全连接层）的原始输出值范围是(-∞, +∞)，且多个输出值之间没有关联，无法满足“概率总和为1”的要求。

✧ 解决方案：使用特定的激活函数进行转换。模型的“灵魂”：激活函数（Activation Function），激活函数是将神经网络的原始输出（Logits）“翻译”成概率分布的关键组件。它让模型能够理解生物世界中复杂的非线性关系，如基因表达的调控、蛋白质相互作用的特异性。概率论要求输出是概率 → 通过激活函数（Softmax/Sigmoid）实现概率转换。

➢ 线性函数：输出值与输入值的常数倍的函数称为线性函数，h(x)=cx,c为常数，一条笔直的直线。

➢ 非线性函数：神经网络的激活函数为什么必须使用非线性函数？使用线性函数的话，增加神经网络的层数就没有意义了。不管增加多少层，总存在与之等效的“无隐藏层的神经网络”。例如：y（x）=h(h(h(x)))运算对应3层神经网络，等价于y（x）=c*c*c*x的乘法运算，假设常量a=c*c*c，那么y（x）=ax等价于单层网络。因此为了发挥多层网络优势，必须使用非线性函数。

✧ 从数学角度看，激活函数为神经网络引入了非线性特性，使网络能够拟合更复杂的函数关系。如果神经网络只有线性变换，那么无论堆叠多少层，其整体仍然是一个线性模型，无法捕捉任何复杂模式。激活函数为每一层输出增加了“弯曲”和“转折”，赋予了网络强大的非线性拟合能力，在神经元之间引入非线性关系，使模型能够学习和表示复杂的数据模式，常见的激活函数有 Sigmoid、Tanh、ReLU 和 Leaky ReLU，它们各自有不同的数学特性和适用场景。

3.1.1 ReLU函数（Rectified Linear Unit）

1）公式

2）特点： 当前最常用、默认的激活函数。计算简单，极大地缓解了梯度消失问题，加速了模型的训练。

3）缺点： “Dead ReLU”问题：输入为负时，梯度永远为0，导致神经元可能再也无法被激活。

4）应用场景：几乎所有网络的隐藏层默认选择

5）代码

import torchimport torch.nn as nnimport matplotlib.pyplot as plt# 使用ReLUrelu = nn.ReLU()x = torch.tensor([-2.,-1.,0.,1.,2.])output = relu(x)print("ReLU Output:", output)#tensor([0., 0., 0., 1., 2.])# 可视化plt.plot(x.numpy(), output.numpy(), label='ReLU')plt.xlabel('Input')plt.ylabel('Output')plt.legend()plt.title('ReLU Activation Function')plt.show()

3.1.2Sigmoid函数

1）公式：

2）特点： 将输入压缩到(0, 1)区间。输出可以直观地解释为概率。

3）缺点： 容易导致梯度消失；输出不是零中心的。

4）应用场景： 二分类问题的输出层，如预测一个细胞是恶性还是良性。

5）代码

3.1.3Softmax函数

在数学，尤其是概率论和相关领域中，Softmax函数，或称归一化指数函数它能将一个含任意实数的K维向量z“压缩”到另一个K维实向量σ(z)中，使得每一个元素的范围都在(0,1)之间，并且所有元素的和为1(也可视为一个 (k-1)维的hyperplane或subspace)。softmax函数又称归一化指数函数，是基于 sigmoid 二分类函数在多分类任务上的推广；在多分类网络中，常用 Softmax 作为最后一层进行分类。

1）公式：

对比普通的 max() 方法，Softmax 的独特之处就是使用的 e 的幂函数，其目的是为了两极化：Softmax 可以使正样本（正数）的结果趋近于 1，使负样本（负数）的结果趋近于 0；且样本的绝对值越大，两极化越明显。

2）特点： 将一个向量“压缩”成另一个向量，使得所有输出值之和为1。每个元素的值可以解释为属于某一类的概率。

3）应用： 多分类问题的输出层。例如，根据基因表达谱预测癌症亚型。通常与 nn.CrossEntropyLoss 损失函数搭配使用，该损失函数内部已经集成了Softmax计算，因此在前向传播的输出层可以不用显式添加Softmax。

import numpy as npimport torchimport torch.nn as nn# 自定义softmax函数：计算向量 x 的 softmaxdefsoftmax(x:list)->list: exps = np.exp(x)returnlist(exps / np.sum(exps))if __name__ =='__main__':input=[-0.5,-0.2,0,0.2,0.5] output = softmax(input) output =[float('{:.4f}'.format(i))for i in output]print(f"{output}")#torch实现softmax logits=torch.tensor([-0.5,-0.2,0,0.2,0.5])# 模型原始预测分数 softmax= nn.Softmax(dim=0)# 进行Softmax probabilities= softmax(logits)print("原始输出(logits):", logits)print("Softmax后的概率:", probabilities)print("概率之和:", torch.sum(probabilities))# 模拟一个3分类问题的模型原始输出（logits） logits = torch.tensor([[2.0,1.0,0.1]])# 模型对3个类别的原始预测分数 softmax= nn.Softmax(dim=1)# 在第1个维度（类别维度）上进行Softmax probabilities = softmax(logits)print("原始输出(logits):", logits)print("Softmax后的概率:", probabilities)print("概率之和:", torch.sum(probabilities))# tensor(1.)# 输出：概率: tensor([[0.6590, 0.2424, 0.0986]]) -> 可以解释为属于第0类的概率是65.9%

3.2损失函数：模型的标尺-模型效果度量

损失函数（Loss Function）用于评估模型预测值（如疾病风险）与真实值之间的差异，通过最小化损失函数来优化模型参数，指导模型学习的方向。在选择损失函数时，需考虑任务类型、数据分布以及特定需求，常见的损失函数有均方误差MSE、交叉熵损失Cross-Entropy Loss。在训练过程中，通过最小化损失函数，模型参数不断调整以提高预测准确性。不同任务需要不同的损失函数：分类任务常用交叉熵损失，回归任务则多用均方误差。

1）均方误差（MSE Loss）用于回归问题，计算预测值与真实值之间差的平方的平均值。

2）交叉熵损失（Cross Entropy Loss）用于分类问题，衡量模型预测概率分布与真实概率分布之间的差异。包括二分类交叉熵损失和多类别交叉熵损失。

3.2.1均方误差

1）公式：均方误差损失 (MSE Loss)

2）特点： 回归问题，预测一个连续的值。

3）应用场景：预测药物的半抑制浓度，预测蛋白质的分子量

import torchimport torch.nn as nn#预测量（连续值）predicted_expression = torch.tensor([11.5,20.5,15.6])#真实值true_expression= torch.tensor([12.0,18.5,16.0])mse_loss= nn.MSELoss()#计算均方误差损失函数loss= mse_loss(predicted_expression, true_expression)print("MSE Loss:", loss.item())#MSE Loss: 1.46999990940094

3.2.2交叉熵误差

1）公式：交叉熵损失 (Cross Entropy Loss) ，nn.CrossEntropyLoss结合了Softmax和NLLLoss，衡量两个概率分布间的差异。

2）特点：分类问题，这是最常用的分类损失函数。

3）应用场景：癌症诊断（肿瘤 vs 正常），蛋白质功能预测（酶 vs 非酶）

import torchimport torch.nn as nn# 模拟一个批量大小为2的3分类问题# 模型输出（2个样本，每个样本对3个类别的原始预测分数）logits = torch.tensor([[1.2,1.0,0.1],# 样本1[0.5,2.2,0.3]])# 样本2# 真实标签：样本1属于第0类，样本2属于第1类labels = torch.tensor([0,1])#计算交叉熵损失函数ce_loss = nn.CrossEntropyLoss()loss = ce_loss(logits, labels)print("Cross Entropy Loss:", loss.item())#0.5265416502952576

3.3AI大模型如何使用概率论、激活函数、损失函数？

在AI系统中，概率论提供了处理不确定性的理论框架，激活函数赋予神经网络表达复杂函数的能力，而损失函数则作为评估和优化模型性能的度量标准。这三者共同构成了现代AI系统的数学基础：

1）概率论帮助AI系统理解和处理现实世界中的不确定性

2）激活函数使神经网络能够学习和表示复杂的非线性关系

3）损失函数指导模型通过优化算法不断改进预测能力

正是这些数学工具的巧妙结合，使得AI系统能够从数据中学习，并在各种复杂任务中表现出色。理解这些基础数学概念，对于深入掌握AI技术原理至关重要。

3.4如何选择合适的激活函数？

选择激活函数和损失函数并非凭感觉，而是基于一个三层决策框架：

1）任务类型（最重要）：你的模型要解决什么问题？（分类、回归、生成…）

2）模型结构：你使用的是什么网络？（CNN、RNN、Transformer…）

3）具体问题：你遇到了什么训练难题？（梯度消失、神经元死亡、输出范围…）

3.4.1隐藏层如何选择激活函数？

激活函数的选择主要取决于它所在的网络层（隐藏层 vs 输出层）。隐藏层的激活函数选择：隐藏层的核心任务是引入非线性，捕捉复杂模式。选择时优先考虑缓解梯度问题和计算效率。隐藏层选择总结：

✧ 起步默认：ReLU

✧ 遇到问题：尝试 Leaky ReLU 或 Swish

✧ 做NLP：直接使用 GELU

3.4.2输出层如何选择激活函数？

输出层的核心任务是将logits转换为符合任务要求的格式（如概率、实数）。选择完全取决于任务类型。

3.5如何选择损失函数？

损失函数是衡量“模型预测的概率分布”与“真实的概率分布”之间差异的度量工具。最小化损失函数，在概率论上等价于执行最大似然估计，即让模型的预测最大程度地接近真实情况。对工程师来说，具体关系是：

✧ 问题：模型输出了概率（例如 [0.66, 0.24, 0.10]），真实标签是 one-hot 编码（例如 [1, 0, 0]）。如何衡量两者的差距？

✧ 解决方案：使用基于概率论的损失函数。

➢ 交叉熵损失：这是最核心、最常用的损失函数。

来源：它直接来自于信息论，用于衡量两个概率分布之间的差异。

计算公式：L = - Σ [y_true * log(y_pred)]

概率论解释：最小化交叉熵损失，完全等价于最大化模型对训练数据的“似然概率”。也就是说，我们在寻找一组模型参数，使得观察到当前这组训练数据的“可能性”是最大的。这是一种在概率框架下非常自然和优美的优化目标。

➢ 均方误差损失：在某些回归问题中，我们假设数据噪声服从高斯分布，此时最小化均方误差等价于对高斯分布模型进行最大似然估计。

✧ 关系链：概率论提供了“最大似然”的优化目标 → 通过损失函数（如交叉熵）来实现和衡量这个目标。损失函数的选择严格依赖于任务类型和输出层激活函数。它们必须配对使用。

4.技术发展趋势

4.1概率论——大模型辉煌的基石与固有的天花板

当前的大模型（LLMs）本质上是基于概率的关联引擎。概率论让大模型成为了一个“杰出的概率模仿者”，但它无法成为一个“深刻的理解者”。概率论是大模型当下的基石。它让模型成为一个强大的“相关性发现引擎”，但它学到的是统计和概率关联，而非真正的理解。

1）如何工作：它们通过分析海量文本中的统计规律，学习“在给定的上下文（因）中，下一个词（果）出现的概率是多少”。这种“给定X，Y的概率”正是条件概率 P(Y|X) 的体现。

2）巨大成功：这种方式取得了前所未有的成功，让模型能够生成流畅、连贯的文本，因为它完美地捕捉了人类语言中的表面模式和关联。

3）固有天花板：然而，仅仅依赖概率关联导致了其核心缺陷：

✧ 幻觉（Hallucination）：模型会生成看似合理但事实上错误的内容，因为它追求的是“概率上最可能的下一个词”，而不是“事实上的正确答案”。

✧ 不可靠性：模型的表现极度敏感于提示词的微小变化（混淆相关性与因果性）。

✧ 缺乏可解释性：我们很难理解模型做出某个决策的真正原因（即因果机制），只能看到统计相关性。

✧ 无法进行反事实推理：模型难以回答“如果当时…那么会…”这类问题，因为这需要打破统计规律，构建一个新的因果场景。

4.2因果推断——突破天花板，通向可靠AI的必由之路

因果推断与反事实推理的能力是人类智能的基本能力。在日常生活中，人类能够基于因果关系理解事物之间的联系，预测行为的后果，并进行反事实思考，即思考“如果……会怎样”的假设性问题。然而，现在的大语言模型在这方面还很欠缺。大语言模型主要基于数据中的统计相关性进行学习和生成回答，难以真正理解因果关系。例如，在医疗领域，可以通过因果推断分析疾病与症状、治疗手段之间的因果关系，从而更准确地进行疾病诊断和治疗方案制定，而不是仅仅依据症状和疾病的统计共现关系给出判断。因果推断技术的发展，为上述问题提供了解决框架。它的核心是回答“为什么（Why）”而不仅仅是“是什么（What）”。其对大模型发展趋势的影响体现在以下几个方向：

1）减少幻觉，提高可信度与可靠性

2）实现真正的可解释性与可控性

3）提升推理与泛化能力

4）与强化学习、决策智能深度融合

未来的大模型将是一个“拥有常识的科学家”：它既具备概率论赋予的海量知识存储和关联能力，又拥有因果推断赋予的深度理解、逻辑推理和反事实想象能力。这将最终解决当前大模型的“幻觉”痛点，使其成为真正可靠、可信、可解释的智能伙伴。

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