乘积法则：当两个变化的世界相遇

乘积法则：当两个变化的世界相遇

在微积分的学习中，导数描述的是“变化”。我们很容易理解加法的导数（两个变量各自变化的累加），但当两个变量相乘时，事情变得有趣了。为什么( f ⋅ g ) ′ (f \cdot g)'(f⋅g)′不是简单的f ′ ⋅ g ′ f' \cdot g'f′⋅g′，而是那串看起来有点啰嗦的f ′ g + f g ′ f'g + fg'f′g+fg′？

本文将通过直观的几何图形和现代计算科学的视角，为你揭开这个法则的奥秘。

1. 几何直觉：不断扩张的矩形

理解乘积法则最简单的方法，就是观察一个面积正在变大的矩形 。

想象一个矩形，它的两条边长分别为u uu和v vv。显然，矩形的面积A = u ⋅ v A = u \cdot vA=u⋅v。

现在，如果这两条边都在随时间增长，分别增加了极小的长度d u dudu和d v dvdv：

1. 原面积：u ⋅ v u \cdot vu⋅v

2. 新面积：( u + d u ) ⋅ ( v + d v ) (u + du) \cdot (v + dv)(u+du)⋅(v+dv)

展开这个乘法公式：

( u + d u ) ( v + d v ) = u v + u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v (u + du)(v + dv) = uv + u \cdot dv + v \cdot du + du \cdot dv(u+du)(v+dv)=uv+u⋅dv+v⋅du+du⋅dv

现在，我们来看看面积增加了多少（d A dAdA）：

d A = 新面积 − 原面积 = u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v dA = \text{新面积} - \text{原面积} = u \cdot dv + v \cdot du + du \cdot dvdA=新面积−原面积=u⋅dv+v⋅du+du⋅dv

在微积分中，当d u dudu和d v dvdv趋近于无穷小时，它们相乘产生的那个微小矩形d u ⋅ d v du \cdot dvdu⋅dv实在太小了，相对于其他项可以忽略不计 。于是：

d A ≈ u ⋅ d v + v ⋅ d u dA \approx u \cdot dv + v \cdot dudA≈u⋅dv+v⋅du

这就是乘积法则的本质：总的变化等于“第一部分的固定值乘以第二部分的变化”加上“第二部分的固定值乘以第一部分的变化” 。

2. 为什么f ′ ⋅ g ′ f' \cdot g'f′⋅g′是错的？

初学者经常直觉地认为乘积的导数就是导数的乘积。我们举个简单的例子：

设f ( x ) = x f(x) = xf(x)=x，g ( x ) = x g(x) = xg(x)=x。

• 那么f ⋅ g = x 2 f \cdot g = x^2f⋅g=x2，其导数（坡度）应该是2 x 2x2x。

• 如果按照错误的逻辑f ′ ⋅ g ′ f' \cdot g'f′⋅g′，那么1 ⋅ 1 = 1 1 \cdot 1 = 11⋅1=1。

显然，2 x 2x2x不等于1 11。错误的逻辑忽略了两个变量之间协同增长产生的额外面积。只有通过f ′ g + f g ′ = 1 ⋅ x + x ⋅ 1 = 2 x f'g + fg' = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2xf′g+fg′=1⋅x+x⋅1=2x，我们才能得到完美的答案。

3. 计算机的视角：自动微分中的“背包”

在上一篇博文中我们提到，自动微分（AD）通过“对偶数”（Dual Numbers）来计算导数。对偶数的形式是a + b ϵ a + b\epsilona+bϵ，其中ϵ 2 = 0 \epsilon^2 = 0ϵ2=0。

当我们用对偶数做乘法时，计算机实际上在执行一个数学炼金术 ：

( u + u ′ ϵ ) × ( v + v ′ ϵ ) = u v + ( u v ′ + u ′ v ) ϵ + u ′ v ′ ϵ 2 (u + u'\epsilon) \times (v + v'\epsilon) = uv + (uv' + u'v)\epsilon + u'v'\epsilon^2(u+u′ϵ)×(v+v′ϵ)=uv+(uv′+u′v)ϵ+u′v′ϵ2

因为ϵ 2 = 0 \epsilon^2 = 0ϵ2=0，最后一项消失了，结果变为：

u v + ( u v ′ + u ′ v ) ϵ uv + (uv' + u'v)\epsilonuv+(uv′+u′v)ϵ

看！那个“对偶部”（ϵ \epsilonϵ后面的部分）自动计算出了乘积法则的结果：u v ′ + u ′ v uv' + u'vuv′+u′v。

这就是为什么在 Julia 语言（如使用 ForwardDiff.jl）中，你只需要写出普通的乘法逻辑 x * y，计算机就能在后台精准地追踪导数 。它并不是在背公式，而是利用对偶数的代数性质，让乘积法则在运算过程中自然浮现。

4. 现实世界的应用：投篮机器人

回到我们的投篮机器人例子。计算球的落地位置y ( T ) y(T)y(T)时，公式中包含类似v 2 cos ⁡ 2 θ v^2 \cos^2 \thetav2cos2θ的项 。

这是一个复杂的乘积：速度的平方乘以角度余弦的平方。

• 如果机器人想要微调角度θ \thetaθ，角度的变化不仅影响cos ⁡ θ \cos\thetacosθ，还会通过乘积关系影响整个轨迹的落点。

• 乘积法则告诉机器人：角度的变化是如何通过余弦函数，进而影响到最终位移的。

如果没有乘积法则，梯度下降算法就无法告诉神经网络：“如果你把速度提高 5%，由于速度是平方项且与角度耦合，最终落点会偏离这么多。” 。

总结

乘积法则不是一个枯燥的公式，它是变化耦合的体现。它告诉我们，在一个由多个因素共同决定的系统中（比如v vv和θ \thetaθ共同决定落点），总的变化是由各个因素交替“发力”并相互叠加的结果。