声明：由于博主已经ICPC退役，且本人非数学/计算机科班，在此浅浅分享一下个人的粗浅理解。若有不同想法，欢迎在讨论区共同探讨学习。
提及差分，就不得不提及前缀和。他们像孪生兄弟一样捆绑到了一起，互为逆运算。不难发现，前缀和与差分，实际上就是离散版的微积分。那么在微积分中我们学习了ODE常微分方程，自然也就会有PDE偏微分方程、积分方程、差分方程等。差分方程在经济学、商学中具有重要研究价值，通常会用于预测经济模型。
一维差分很好理解，二维差分却是让每个人都头痛过的问题。下面博主就谈及本人对二维差分的粗浅理解。
一维里，差分算子是Δxn=xn+1−xn\Delta x_n = x_{n+1}-x_nΔxn=xn+1−xn，它刻画的是沿x轴方向上的变化；二维里，差分不是一个数，而是一组方向上的差分，自然就有两个基本差分算子：
- x 方向差分（横向）：Δxf(i,j)=f(i+1,j)−f(i,j)\Delta_x f(i,j)=f(i+1,j)-f(i,j)Δxf(i,j)=f(i+1,j)−f(i,j)
- y 方向差分（纵向）：Δyf(i,j)=f(i,j+1)−f(i,j)\Delta_y f(i,j)=f(i,j+1)-f(i,j)Δyf(i,j)=f(i,j+1)−f(i,j)
这对应连续版中的偏导：Δx↔∂∂x,Δy↔∂∂y\Delta_x \leftrightarrow \frac{\partial}{\partial x},\quad \Delta_y \leftrightarrow \frac{\partial}{\partial y}Δx↔∂x∂,Δy↔∂y∂。它第一次把差分从一条线，给推到了一个面上。它们回答的问题是：沿着 x 和 y 轴独立的走一步，值分别变了多少。
厘清了单个方向上的差分，那么我们下面将探讨二阶混合差分，这一部分对应的连续版本即为二阶混合偏导。
数学上它写作：ΔxΔyf(i,j)\Delta_x\Delta_y f(i,j)ΔxΔyf(i,j)，逐层展开：
Δyf(i,j)=f(i,j+1)−f(i,j)Δx(Δyf)(i,j)=(f(i+1,j+1)−f(i+1,j))−(f(i,j+1)−f(i,j)) =f(i+1,j+1)−f(i+1,j)−f(i,j+1)+f(i,j)\begin{aligned} \Delta_y f(i,j) &= f(i,j+1)-f(i,j) \\ \Delta_x(\Delta_y f)(i,j) &= (f(i+1,j+1)-f(i+1,j))-(f(i,j+1)-f(i,j)) \ &= f(i+1,j+1)-f(i+1,j)-f(i,j+1)+f(i,j) \end{aligned}Δyf(i,j)Δx(Δyf)(i,j)=f(i,j+1)−f(i,j)=(f(i+1,j+1)−f(i+1,j))−(f(i,j+1)−f(i,j))=f(i+1,j+1)−f(i+1,j)−f(i,j+1)+f(i,j)
这正式我们在ICPC中用的滚瓜烂熟的二维差分公式：g(i,j)=f(i,j)−f(i−1,j)−f(i,j−1)+f(i−1,j−1)g(i,j)= f(i,j)- f(i-1,j)-f(i,j-1)+ f(i-1,j-1)g(i,j)=f(i,j)−f(i−1,j)−f(i,j−1)+f(i−1,j−1)，它不是在看斜率，而是在看离散的曲率，也就是弯曲程度。实际上其对应的就是连续版中的二阶混合偏导∂2f∂x,∂y\dfrac{\partial^2 f}{\partial x,\partial y}∂x,∂y∂2f。
那么，为什么二维前缀和为什么能还原原数组呢？
我们回顾一下二维差分的定义式：Di,j=Ai,j−Ai−1,j−Ai,j−1+Ai−1,j−1D_{i,j}=A_{i,j}-A_{i-1,j}-A_{i,j-1}+A_{i-1,j-1}Di,j=Ai,j−Ai−1,j−Ai,j−1+Ai−1,j−1
那么反过来，原数组 (A_{i,j}) 可以由 (D) 的二维前缀和得到：Ai,j=∑x=1i∑y=1jDx,yA_{i,j}=\sum_{x=1}^{i}\sum_{y=1}^{j}D_{x,y}Ai,j=∑x=1i∑y=1jDx,y
其实这就是对差分数组在做前缀和。这一步对应的连续版为二重积分：A(x,y)=∫∫∂2A∂x∂y,dx,dyA(x,y)=\int\int \frac{\partial^2 A}{\partial x\partial y},dx,dyA(x,y)=∫∫∂x∂y∂2A,dx,dy
所以二维差分的连续版本就是二维混合偏导，二维前缀和的连续版本就是二重积分。
