最近学到了一个新的知识，叫做双线性对映射，它主要基于椭圆曲线密码学设计。之前只是大概了解椭圆曲线是做什么的，但是不知道它是怎么做的，今天详细了解一下。
椭圆曲线困难问题是什么？
椭圆曲线的形式：y2=x3+ax+b(4a3+27b2≠0)y^2=x^3+ax+b (4a^3+27b^2 \neq 0)y2=x3+ax+b(4a3+27b2=0)
首先给出一条椭圆曲线：y2=x3−5x+6y^2=x^3-5x+6y2=x3−5x+6
上图就是一个椭圆曲线
椭圆曲线上的离散对数困难问题：
假设椭圆曲线上有一个基点GGG，选择一个整数kkk，计算P=kGP=kGP=kG
PPP就表示把基点GGG进行了kkk次加法。
为什么困难呢？？
因为已知kkk和GGG,想要求PPP很快。
但是反过来的话，已知GGG和PPP，想要求出整数kkk的话，非常困难。
基于上图来演示一下。
在计算椭圆曲线上的加法时，G+QG+QG+Q如何计算呢？
首先是把两个点连成一条线，二者在椭圆曲线上的交点为MMM，下面再做MMM的对称点PPP，此时的PPP点就是G+QG+QG+Q的结果。
也即是G+Q=PG+Q=PG+Q=P。
ok，再看下一种情况。
椭圆曲线的乘法计算：
如图所示，基点为GGG，如何求2G2G2G呢？？
基于该点做一条切线，与椭圆曲线相较于MMM，此时MMM的对称点PPP就是2G2G2G的结果。
即P=2G=G+GP=2G=G+GP=2G=G+G
同理，那3G=G+2G3G=G+2G3G=G+2G也是同样的求法：
连接图中的GGG点与PPP点得到点QQQ，Q点的对称点WWW就是3G3G3G
也就是W=3G=G+P=G+2G=G+G+GW=3G=G+P=G+2G=G+G+GW=3G=G+P=G+2G=G+G+G
ok，重点来了，如图所示：
假设基点为GGG，重点为DDD，现在求：
D=kGD=kGD=kG，kkk等于多少？？？
恐怕需要模拟GGG要经过多少次相加才能走到DDD，而这个过程非常困难。
这就是椭圆曲线的困难问题。
ok，那有了这个基础，就可以进行基于椭圆曲线的加密了。
