day147—递归—二叉树的最近公共祖先（LeetCode-236）

题目描述

给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个节点 p、q，最近公共祖先表示为一个节点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

示例 1：

输入：root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1输出：3解释：节点 5 和节点 1 的最近公共祖先是节点 3 。

示例 2：

输入：root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4输出：5解释：节点 5 和节点 4 的最近公共祖先是节点 5 。因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

示例 3：

输入：root = [1,2], p = 1, q = 2输出：1

提示：

• 树中节点数目在范围[2, 105]内。
• -109 <= Node.val <= 109
• 所有Node.val互不相同。
• p != q
• p和q均存在于给定的二叉树中。

解决方案：

这段代码的核心功能是查找二叉树中两个指定节点的最近公共祖先（LCA）（即同时是 p 和 q 的祖先且深度最大的节点），采用「后序递归 + 分治」的思路实现，时间复杂度O(n)（n为节点数），空间复杂度O(h)（h为树的高度），是该问题的经典最优解法（适用于任意二叉树，不仅限于二叉搜索树）。

核心逻辑

代码的核心是通过后序递归遍历，从叶子节点向上 “回溯”，判断当前节点是否是 p/q 的祖先，并根据左右子树的返回结果确定最近公共祖先：

1. 递归边界条件：
   • 若当前节点root为空，或root等于 p/q 中的任意一个，直接返回root（找到目标节点 / 空节点，终止递归）；
2. 后序递归遍历：
   • 递归查找左子树中 p/q 的公共祖先，结果记为l；
   • 递归查找右子树中 p/q 的公共祖先，结果记为r；
3. 判断公共祖先：
   • 若l和r都不为空（说明 p 和 q 分别在当前节点的左右子树中），则当前节点就是最近公共祖先，返回root；
   • 若只有l不为空（说明 p/q 都在左子树中），返回l；
   • 若只有r不为空（说明 p/q 都在右子树中），返回r。

总结

1. 核心思路：后序递归回溯，通过左右子树的返回值判断 “p/q 是否分布在当前节点两侧”，两侧分布则当前节点是 LCA，否则递归到子树中找；
2. 适用场景：无需二叉树是搜索树，适用于任意二叉树的 LCA 查找，是通用性最强的解法；
3. 效率特点：每个节点仅遍历一次，时间O(n)；递归栈空间取决于树的高度，平衡树为O(log n)，退化为链表时为O(n)。

函数源码：

/** * Definition for a binary tree node. * struct TreeNode { * int val; * TreeNode *left; * TreeNode *right; * TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {} * }; */ class Solution { public: TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) { if(!root || root==p || root==q) return root; TreeNode* l=lowestCommonAncestor(root->left,p,q); TreeNode* r=lowestCommonAncestor(root->right,p,q); if(l && r) return root; if(l) return l; return r; } };