随机贴现因子-平芜编程栈

1. 引言：为什么需要随机贴现因子

资产定价研究最基本的问题是：一个资产今天应该值多少钱？

表面上看，答案似乎很简单：资产今天的价格，应该等于它未来能带来的现金流折现到今天的价值。例如，债券未来支付利息和本金，股票未来支付股利并且可以卖出，房地产未来产生租金和转售价格。问题在于，金融资产的未来现金流通常并不确定。股票未来分红多少、未来价格是多少、经济环境好坏、企业盈利变化，都无法在今天准确知道。

因此，现代资产定价是在问：

在当前信息下，未来不同状态中的现金流，应该如何折算成今天的价格？

随机贴现因子，英文为Stochastic Discount Factor, SDF，就是回答这个问题的核心工具。它为了说明：为什么同样一元钱，在不同经济状态下具有不同的当前价值；为什么某些风险需要风险溢价，而某些风险不需要补偿。

SDF 的核心思想可以概括为一句话：

资产价格等于未来现金流在不同状态下经过“状态价值权重”调整后的当前价值。

这个“状态价值权重”就是随机贴现因子。

2. 资产定价的基本问题：未来现金流与当前价格

设某个资产在 (t+1) 期产生的未来现金流为：

这里，(X_{t+1}) 表示资产在未来一期给投资者带来的总现金流。它之所以带有下标 (t+1)，是因为它发生在未来；它之所以是随机的，是因为未来状态尚未确定。

以股票为例，投资者在 (t) 时刻买入股票，到 (t+1) 时刻可能获得两部分收益：一是股票分红，二是卖出股票得到的价格。因此股票未来现金流可以写成：

其中，(D_{t+1}) 表示 (t+1) 期收到的股利，(P_{t+1}) 表示 (t+1) 期股票的市场价格。

关键在于，(D_{t+1}) 和 (P_{t+1}) 在今天都不知道。企业未来盈利可能上升，也可能下降；市场估值可能提高，也可能降低。所以，当前价格 (P_t) 只能建立在“当前信息下对未来可能结果的判断”之上。

这就引出了资产定价中的一个基本区分：

概念	含义
未来真实结果	到 (t+1) 时刻真正发生的现金流
当前预期价值	在 (t) 时刻基于已有信息对未来现金流形成的估计

资产定价使用的是后者。价格要求投资者能够对未来不同结果及其可能性形成判断。

3. 概率基础：期望和条件期望

为了处理不确定的未来现金流，需要使用“期望”这一概率概念。

如果未来有多个可能状态，用 (s) 表示不同状态，(p_s) 表示状态 (s) 发生的概率，(X_s) 表示状态 (s) 下的现金流，则期望公式为：

这个公式的含义是：把每个状态下的结果 (X_s)，按照其发生概率 (p_s) 加权求和。这里：

(E[X]) 表示随机变量 (X) 的期望；
(s) 表示未来可能出现的状态；
(p_s) 表示状态 (s) 发生的概率；
(X_s) 表示在状态 (s) 下得到的现金流；
(\sum_s) 表示对所有可能状态求和。

例如，某资产未来有两种状态：经济好时支付 120 元，经济差时支付 80 元，两种状态概率都是 50%。那么它的期望现金流为：

但要注意，期望值 100 元并不是未来一定会发生的结果。未来实际现金流只会是 120 元或 80 元。期望只是当前根据概率分布得到的平均意义上的判断。

在资产定价中，我们通常使用条件期望：

这里的下标 (t) 表示“基于 (t) 时刻已知信息所形成的期望”。例如，(E_t[X_{t+1}]) 表示在今天已知信息条件下，对未来一期现金流 (X_{t+1}) 的预期。它不同于无条件期望，因为投资者在不同时间掌握的信息不同，预期也会随之变化。

4. 从普通贴现到随机贴现

在最简单的确定性情形中，如果未来一年确定收到 100 元，年利率为 (r)，那么这 100 元今天的价值为：

这里，就是普通贴现因子。它的含义是：未来一元钱折算到今天值多少钱。

如果未来现金流确定，普通贴现就足够了。但金融资产的问题在于，未来现金流不但不确定，而且不同状态下的现金流价值并不相同。

例如，同样是未来收到 100 元，如果这 100 元发生在经济繁荣、收入充足、市场流动性好的状态下，它对投资者的价值可能较低；如果这 100 元发生在经济衰退、消费下降、市场压力大的状态下，它对投资者的价值可能更高。原因不是金额本身变了，而是现金流出现的经济状态不同。

因此，资产定价不能只使用一个固定贴现率，而需要一个随未来状态变化的贴现权重。这就是随机贴现因子的出发点。

5. 随机贴现因子的定义与直观含义

随机贴现因子的核心定价公式是：

其中：

(P_t) 表示资产在 (t) 时刻的价格；
(X_{t+1}) 表示资产在 (t+1) 期产生的未来现金流；
(M_{t+1}) 表示从 (t+1) 期现金流折算到 (t) 期价格的随机贴现因子；
(E_t[\cdot]) 表示基于 (t) 时刻信息的条件期望。

这个公式说明，资产今天的价格不是未来现金流的简单期望，而是未来现金流与随机贴现因子相乘后的条件期望。

如果未来存在多个状态，公式可以展开为：

其中：

(p_s) 是状态 (s) 发生的概率；
(M_s) 是状态 (s) 下的随机贴现因子；
(X_s) 是状态 (s) 下的现金流。

这个展开式更直观地说明了 SDF 的作用：它给不同状态下的现金流分配不同的当前价值权重。即使两个资产的期望现金流相同，只要它们的现金流分布在不同状态中，它们的价格也可能不同。

因此，SDF 衡量的不是“未来现金流有多少”，而是“未来现金流在什么状态下出现，以及这种状态下的钱在今天值多少钱”。

6. 两状态例子：期望现金流相同，价格为什么不同

假设未来只有两个状态：

状态	概率	随机贴现因子
经济好	0.5	(M_{\text{好}}=0.90)
经济差	0.5	(M_{\text{差}}=1.10)

这里，经济差时的 SDF 更高，表示在经济差状态下获得的一元钱具有更高的当前价值。

现在比较两个资产：

资产	经济好时现金流	经济差时现金流	期望现金流
资产 A	120	80	100
资产 B	80	120	100

两个资产的期望现金流都是 100：

如果只看期望现金流，它们似乎应该价值相同。但使用 SDF 定价后：

资产 B 的价格更高，因为它在经济差时支付更多现金流，而经济差状态下现金流的当前价值权重更高。资产 A 虽然在经济好时支付更多，但经济好状态下现金流的定价权重较低。

这个例子说明，资产价格不仅取决于期望现金流，还取决于现金流与经济状态之间的关系。SDF 正是用来刻画这种关系的工具。

7. 收益率形式与风险溢价

资产定价也可以用收益率形式表示。股票的一期总收益率定义为：

其中：

(R_{t+1}) 表示从 (t) 到 (t+1) 的总收益率；
(P_t) 表示今天买入股票的价格；
(P_{t+1}) 表示未来卖出股票的价格；
(D_{t+1}) 表示未来收到的股利。

因为股票未来现金流是：

所以收益率就是未来总现金流除以今天价格。

由 SDF 定价公式：

代入，得到：

两边同时除以 (P_t)，得到收益率形式的定价公式：

这个公式非常重要。它表示：任何资产的收益率与随机贴现因子相乘后，其条件期望都应该等于 1。换句话说，只要一个 SDF 能够正确解释市场价格，那么它必须使所有资产满足这个定价关系。

无风险资产的收益率记为 (R_f)。所谓无风险，是指它在未来所有状态下都支付相同收益，因此 (R_f) 不是随机变量。将无风险资产代入收益率定价公式：

因为 (R_f) 是常数，可以提出期望号外：

因此得到：

更严格地写，在条件期望下应为：

这个公式说明，无风险利率由随机贴现因子的平均水平决定。平均 SDF 越高，说明未来现金流整体折现价值越高，无风险收益率越低；平均 SDF 越低，无风险收益率越高。

风险资产的风险溢价定义为：

其中：

(E[R]) 表示风险资产的期望收益率；
(R_f) 表示无风险收益率；
(E[R]-R_f) 表示投资者持有风险资产相对于无风险资产要求的额外补偿。

8. SDF 如何解释风险溢价

从收益率定价公式出发：

根据协方差公式：

其中，表示随机贴现因子 (M) 与资产收益率 (R) 之间的协方差。协方差衡量的是两个变量是否共同变动：如果 (M) 高的时候 (R) 也高，协方差为正；如果 (M) 高的时候 (R) 低，协方差为负。

将其代入 (E[MR]=1)，得到：

又因为：

所以：

于是得到风险溢价公式：

这个公式是理解风险溢价的关键。它说明，风险资产是否需要额外收益，是由资产收益率与 SDF 的协方差决定的。

如果一个资产在 SDF 高的状态下收益低，即，则：

这类资产需要正风险溢价。经济含义是：它在投资者最看重现金流的状态下表现不好，因此投资者要求更高的平均收益作为补偿。

相反，如果一个资产在 SDF 高的状态下收益高，即，它具有保险属性。这样的资产能在困难状态中提供现金流，因此投资者愿意接受较低的预期收益，甚至可能接受负风险溢价。

这也解释了系统性风险和个体风险的区别。系统性风险是与整体经济状态、市场风险、消费风险等共同变动的风险，通常无法通过分散投资完全消除，因此可能被定价。个体风险是某家公司自身的特殊风险，例如单个企业管理失误、产品事故等，在充分分散化组合中通常可以被抵消，因此一般不应获得稳定的风险溢价。

SDF 框架下，真正被定价是与 SDF 相关的那部分风险。

9. 效用函数、边际效用和主观贴现因子

为什么 SDF 会在不同状态下变化？一个重要解释来自消费资产定价模型。

假设投资者关心消费 (C)，其效用函数为：

这里，(u(C)) 表示消费 (C) 给投资者带来的满足程度。通常假设：

表示消费越多，总效用越高。同时还假设：

这表示边际效用递减。边际效用 (u'(C)) 指的是增加一单位消费所带来的额外效用。边际效用递减意味着：当一个人消费水平已经很高时，再增加一元钱带来的满足感较小；当一个人消费水平很低时，增加一元钱带来的满足感较大。

在消费资产定价模型中，SDF 可以写成：

其中：

(M_{t+1}) 是从 (t+1) 期到 (t) 期的随机贴现因子；
(\beta) 是主观贴现因子，通常满足 (0<\beta<1)，表示投资者对未来效用的重视程度；
(u'(C_t)) 是当前消费的边际效用；
(u'(C_{t+1})) 是未来消费的边际效用；
衡量未来一单位消费相对于当前一单位消费的边际价值。

这个公式说明，SDF 来自投资者在今天消费和未来消费之间的权衡。如果未来消费 (C_{t+1}) 较低，未来边际效用 (u'(C_{t+1})) 较高，那么 (M_{t+1}) 较高，未来现金流的当前价值也较高。

因此，SDF 的经济基础是投资者跨期选择和风险偏好的结果。资产之所以有风险溢价，是因为不同资产在不同消费状态下提供现金流的能力不同。

10. SDF 是算出来的，还是人为规定的

SDF 不能被直接观测。市场中可以观测到资产价格、收益率、股利、利率等数据，但无法直接看到“真实的随机贴现因子”。因此，SDF 既不是简单从数据中直接读出来的，也不是完全人为随意规定的。

更准确地说，SDF 可以有三种来源。

第一，SDF 可以来自理论推导。在消费资产定价模型中，研究者设定投资者的效用函数、预算约束和跨期最优化问题，然后从一阶条件中推出 SDF。例如：

这类 SDF 的优点是经济含义清楚，但缺点是对效用函数、消费数据和风险偏好假设较强。

第二，SDF 可以从市场价格中反推。如果给定一组资产的价格和未来现金流，研究者可以寻找一个 (M)，使得：

尽量对所有资产成立。这类方法强调市场隐含的状态价格信息，但实际估计中会受到样本、资产选择和噪声影响。

第三，SDF 可以通过因子模型构造。例如，假设 SDF 可以由若干风险因子线性表示：

其中，可以是市场因子、规模因子、价值因子、盈利因子、投资因子或机器学习提取的潜在因子。CAPM、Fama-French 多因子模型以及很多现代机器学习资产定价模型，都可以理解为在构造或逼近一个能够解释资产收益的 SDF。

因此，SDF 的研究过程通常是：

设定模型形式，估计模型参数，检验定价能力，分析定价误差。

定价误差指的是模型给出的价格或收益关系与真实市场数据之间的偏差。例如，如果某个模型声称 (E[MR]=1)，但在实际数据中某些资产明显不满足这个关系，就说明模型存在定价误差。定价误差越小，说明该 SDF 对资产价格的解释能力越强。

11. SDF 的作用与研究意义

SDF 的最大意义在于，它提供了一个统一的资产定价框架。

在 CAPM 中，资产风险溢价由资产收益与市场组合收益的协动关系决定。换成 SDF 语言，CAPM 相当于用市场组合收益来刻画 SDF。

在消费 CAPM 中，资产风险溢价由资产收益与消费增长或边际效用变化之间的关系决定。换成 SDF 语言，消费边际效用决定了未来状态现金流的价值权重。

在 Fama-French 多因子模型中，市场因子、规模因子、价值因子等被用来解释不同股票收益率的差异。换成 SDF 语言，这些因子是对真实 SDF 的经验近似。如果一个因子能够系统性解释横截面收益差异，就说明它可能捕捉到了某种被市场定价的系统性风险。

在机器学习资产定价中，研究者可能不再预先规定少数几个线性因子，而是让模型从大量特征中学习复杂的非线性 SDF。虽然技术形式更复杂，但核心问题仍然相同：模型是否能构造一个 (M)，使得资产收益满足：

这里，(R_i) 表示第 (i) 个资产的收益率。一个好的 SDF 应该能够同时解释大量资产的收益差异，并且具有较小的定价误差。

因此，SDF 的作用是提供一个理论与实证共同使用的分析框架。它帮助研究者回答：

哪些风险被市场定价；
为什么某些资产具有更高预期收益；
一个因子是否具有真实定价能力；
一个资产定价模型是否存在系统性误差；
不同资产定价理论之间有什么共同结构。

12. 总结与复习框架

12.1 核心概念总结

概念	含义
未来现金流 (X_{t+1})	资产未来一期给投资者带来的总现金流
股票现金流 (D_{t+1}+P_{t+1})	股票未来分红加未来卖出价格
期望 (E[X])	对未来不同结果按概率加权平均
条件期望 (E_t[\cdot])	基于 (t) 时刻信息形成的预期
普通贴现因子	确定性情形下将未来现金流折算到今天的比例
随机贴现因子 (M_{t+1})	不同未来状态下现金流的当前价值权重
总收益率 (R_{t+1})	未来总现金流除以当前价格
无风险收益率 (R_f)	未来所有状态下都确定的收益率
风险溢价 (E[R]-R_f)	风险资产相对无风险资产的额外预期收益
协方差 (\operatorname{Cov}(M,R))	衡量资产收益与 SDF 是否共同变动
效用函数 (u(C))	描述消费带来的满足程度
边际效用 (u'(C))	增加一单位消费带来的额外效用
边际效用递减 (u''(C)<0)	消费越高，额外一单位消费的价值越低
主观贴现因子 (\beta)	投资者对未来效用的重视程度
系统性风险	与整体经济状态相关、难以分散的风险
个体风险	单个资产自身特有、可通过分散化降低的风险
定价误差	模型定价关系与真实市场数据之间的偏差
因子模型	用若干风险因子近似或构造 SDF 的经验模型

12.2 核心公式总结

公式	含义
	期望是未来各状态结果的概率加权平均
	资产价格等于 SDF 加权后的未来现金流期望
	离散状态下，价格是各状态现金流的状态价值加权和
	股票总收益率等于未来价格加股利除以当前价格
	所有被正确定价的资产都应满足收益率定价方程
	无风险收益率等于平均 SDF 的倒数
	风险溢价由收益率与 SDF 的协方差决定
	消费资产定价模型中，SDF 来自跨期边际效用比率