1 积分的定义
积分（integral）包括不定积分（indefinite integral）和定积分（definite integral）两类。
1.1 不定积分
不定积分为求导的逆过程。
其中，F(x) 称为 f(x) 的原函数，f(x) 称为被积函数，x 称为积分变量，C 为任意常数。
若需要确定常数 C 的取值，必须明确原函数的约束条件。例如，规定原函数经过某个特定的点。
很多常用函数（多项式、三角函数、指数函数等）有现成的不定积分结果，具体可参考高等数学资料。
不是所有函数均存在原函数。存在原函数的基本前提为：被积函数是连续的，且仅存在有限个间断点。
1.2 定积分
定积分概念的提出，来自于此类问题：
三个变量之间关系为： z=y*x ，如果 y 和 x 之间存在函数关系 y=f(x) ，如何计算在 x 的某个区间内，z 的变化量？
根据导数和不定积分的定义可知，z 为 y 的原函数，y 为 z 的导数。
此类问题可通过黎曼求和（Riemann summation）的方式进行近似计算。
在区间 (a, b) 内，将整个区间等分为 n 份，则每个子区间的长度均为：
对每个子区间，按照统一规则，取区间内某个特定的函数值。此函数值记为：
在区间 (a, b) 内，黎曼和为：
定积分为区间 (a,b) 趋近于无限细分时的黎曼和极限：
根据牛顿-莱布尼茨公式，定积分可基于不定积分的结果运算：
1.3 多重积分
由于偏微分中，对不同变量求导结果不同，因此无法直接计算多变量函数的不定积分。仅能根据逻辑关系，表述两个变量之间为积分关系。
对于不止一个变量的函数，可将定积分概念扩展到多维空间，引出多重积分（mutiple integral）的概念。
将黎曼求和从一维推广到任意维度，积分区间为多维空间中某个特定区域，则多重积分可定义为：
对于二重积分和三重积分，dV 分别称为面积微元和体积微元。
多重积分的计算，可分解为依次计算定积分的过程：
复杂区域的面积和体积，可采用多重积分计算：
2 在流体力学中的相关概念
流体力学中，不定积分在工程中用得很少，主要是定积分和多重积分。多重积分主要应用局限在二重积分和三重积分，更高维度的多重积分很少见。
定积分应用，如已知速度变化规律，求某个时间段的位移。多重积分应用，如已知密度分布，求总质量。
2.1 物理量的分类
物理量通常可分为广延量和强度量两个类别。
广延量（extensive property）表明了研究对象的系统总体特征，可针对系统不同部分进行求和计算。常见的广延量包括质量、能量、动量等。
部分广延量在某些特定前提下，总量是固定的，物理上称为守恒。流体力学中常见守恒包括能量守恒、质量守恒、动量守恒等。
针对广延量进行积分，通常无实际的物理意义。
强度量（intensive property）表明了研究对象的系统局部特征，不可针对系统不同部分进行求和计算。常见的强度量包括密度、温度、速度、浓度等。
强度量为广延量对时间或者空间求导的结果。如密度为质量对空间求导的结果，表述了空间中的质量分布状态。
2.2 单位制
对于积分运算，原函数的单位，是被积分函数和积分变量的各自单位乘积。
例如，能量为功率对时间的积分，能量和功率、时间之间的单位运算关系为：
多重积分更需要注意单位的运算问题。二重积分，运算结果的单位为积分函数单位和面积的乘积；三重积分，运算结果的单位为积分函数单位和体积的乘积。
例如，经过平面的体积流量，是速度在平面的二重积分，体积流量和速度、面积的单位运算关系为：
质量为密度在空间的三重积分，质量和密度、体积的单位运算关系为：
3 在数值计算中的处理
数值计算中，积分计算简化为求和运算。
对于求定积分问题，如计算某个时间段的积分值，通常借鉴黎曼求和的思路进行计算。常用方法包括梯形法则和辛普森法则（Simpson’s Rule）。梯形法则采用线性插值，而辛普森法则采用抛物线插值。
梯形法则运算：
对于二重积分和三重积分，基于有限体积法的程序，其处理方式为：
上述运算中，不需要每个求和基本单元（如时间步长、单元面积、单元体积）都是相等的。
由于积分本质上是求和运算，存在发散现象，即结果为无穷大。此类情况，无论是数学理论研究还是数值计算中都存在。
在CFD仿真中，一种常见做法为，直接设置上下限，避免数值发散。这个方式对于多数问题均有效果。
