赋范空间 有界线性算子二

赋范空间 有界线性算子二

• 线性算子的有界性与连续性的关系
• 有界线性算子空间
• 有界线性算子范数的次乘性

线性算子的有界性与连续性的关系

设T : ( X , ∥ ⋅ ∥ ) → ( Y , ∥ ⋅ ∥ ) T:(X,\|\cdot\|)\to (Y,\|\cdot\|)T:(X,∥⋅∥)→(Y,∥⋅∥)是线性算子，则T TT是有界的，当且仅当T TT是连续的。
线性算子的有界性和连续性是等价的

若线性算子T : ( X , ∥ ⋅ ∥ ) → ( Y , ∥ ⋅ ∥ ) T:(X,\|\cdot\|)\to (Y,\|\cdot\|)T:(X,∥⋅∥)→(Y,∥⋅∥)在X XX的某点x 0 x_0x0​处连续，则T TT就是连续的

有界线性算子空间

1. 设X , Y X, YX,Y都是K \mathbb{K}K上的赋范空间，B ( X , Y ) B(X,Y)B(X,Y)表示X XX到Y YY的全体有界线性算子的集合， 则B ( X , Y ) B(X,Y)B(X,Y)是线性空间L ( X , Y ) L(X,Y)L(X,Y)的非空子集。

有界线性算子范数的次乘性

如何证明？