Open3D C++实现四元数转欧拉角：原理推导与工程实践-平芜编程栈

1. 项目概述与核心价值

在三维视觉、机器人学和游戏开发领域，姿态的表示与转换是绕不开的基础操作。我们经常需要在不同的数学表示之间来回切换，比如从传感器（如IMU）直接读出的四元数，转换到更直观、便于人类理解的欧拉角。Open3D作为一个强大的三维数据处理库，其C++后端为高性能计算提供了坚实基础。然而，当你真正上手时，可能会发现官方文档或示例中，对于“四元数转欧拉角”这种看似基础的操作，往往一笔带过，或者只提供了函数调用，而隐藏了内部的推导细节与实现陷阱。

这不只是一个简单的函数调用问题。不同的旋转顺序（如ZYX, XYZ）、万向节死锁（Gimbal Lock）的处理、角度定义（固定角 vs. 本体角）以及弧度与角度的转换，每一个环节都可能成为项目中的“暗坑”。直接使用不明所以的库函数，一旦结果与预期不符，调试将异常困难。因此，亲手推导公式并实现转换过程，不仅是为了完成功能，更是为了建立对三维旋转这一核心概念的深刻理解，从而在复杂的系统集成、算法调试中占据主动。

本文将聚焦于使用Open3D C++接口的环境下，从底层原理出发，完整推导从单位四元数到特定旋转顺序（以常见的Z-Y-X外旋顺序为例）欧拉角的转换公式，并给出稳健、可复现的C++实现代码。我们会深入每个计算步骤的背后逻辑，分享在实际工程中积累的注意事项和调试技巧。无论你是正在处理点云配准结果、机器人位姿解析，还是开发三维仿真应用，这篇内容都将为你提供从理论到实践的完整路线图。

2. 核心概念与公式推导

2.1 四元数与欧拉角的数学基础

要推导转换公式，我们必须先统一“语言”。一个单位四元数q可以表示为：q = [w, x, y, z] = w + xi + yj + zk，其中w是实部，[x, y, z]是虚部，且满足w² + x² + y² + z² = 1。它以一种紧凑且无奇异性（除了表示本身）的方式描述三维旋转。

欧拉角则通过绕三个坐标轴依次旋转一定角度来定义姿态。这里存在无数种约定，我们选择在航空航天和机器人学中最常用的Z-Y-X 顺序（即偏航Yaw-俯仰Pitch-横滚Roll）。注意，这是外旋约定，即绕固定的参考坐标系轴旋转。其旋转过程为：

绕固定坐标系的Z轴旋转ψ(yaw) 角。
绕固定坐标系的Y轴旋转θ(pitch) 角。
绕固定坐标系的X轴旋转φ(roll) 角。

对应的三个旋转矩阵为：

R_z(ψ) = | cosψ -sinψ 0 | | sinψ cosψ 0 | | 0 0 1 | R_y(θ) = | cosθ 0 sinθ | | 0 1 0 | | -sinθ 0 cosθ | R_x(φ) = | 1 0 0 | | 0 cosφ -sinφ | | 0 sinφ cosφ |

最终的整体旋转矩阵R是这三个矩阵的逆序乘积（因为外旋是右乘）：R = R_z(ψ) * R_y(θ) * R_x(φ)。

同时，一个单位四元数q = [w, x, y, z]也可以等价地转换为一个3x3旋转矩阵R_q：

R_q = | 1-2y²-2z² 2xy-2wz 2xz+2wy | | 2xy+2wz 1-2x²-2z² 2yz-2wx | | 2xz-2wy 2yz+2wx 1-2x²-2y² |

推导的核心，就在于令R_q与R = R_z(ψ) * R_y(θ) * R_x(φ)相等，从而从R_q的9个元素中解出ψ, θ, φ。

2.2 从旋转矩阵到欧拉角的推导过程

我们将R展开计算：

R = R_z(ψ) * R_y(θ) * R_x(φ) = | cosψ -sinψ 0 | | cosθ 0 sinθ | | 1 0 0 | | sinψ cosψ 0 | * | 0 1 0 | * | 0 cosφ -sinφ | | 0 0 1 | | -sinθ 0 cosθ | | 0 sinφ cosφ | = | cosψ -sinψ 0 | | cosθ sinθ*sinφ sinθ*cosφ | | sinψ cosψ 0 | * | 0 cosφ -sinφ | | 0 0 1 | | -sinθ cosθ*sinφ cosθ*cosφ | = | cosψ*cosθ cosψ*sinθ*sinφ - sinψ*cosφ cosψ*sinθ*cosφ + sinψ*sinφ | | sinψ*cosθ sinψ*sinθ*sinφ + cosψ*cosφ sinψ*sinθ*cosφ - cosψ*sinφ | | -sinθ cosθ*sinφ cosθ*cosφ |

现在我们令这个R等于由四元数得到的R_q。通过观察矩阵特定位置的元素，我们可以找到求解欧拉角的途径。一个经典且数值稳定的方法是比较R[2][0]元素和R[2][1],R[2][2]等元素。

求解俯仰角 θ (pitch)：由R[2][0] = -sinθ。因此，θ = -arcsin(R[2][0])。这里有一个关键点：arcsin的定义域是[-π/2, π/2]，这意味着我们直接求出的θ被限制在了这个区间。这对应着俯仰角在-90度到90度之间，在大多数应用中是合理的。如果姿态需要表示俯仰角超过±90度，则需要使用万向节死锁情况下的特殊处理，这通常是另一个话题。
求解横滚角 φ (roll) 和偏航角 ψ (yaw)：当cosθ ≠ 0（即θ ≠ ±π/2，非万向节死锁状态）时，我们可以利用：
```
R[2][1] = cosθ * sinφ R[2][2] = cosθ * cosφ
```
因此，φ = atan2(R[2][1], R[2][2])。atan2(y, x)函数返回的是点(x, y)与原点连线与正X轴的夹角，其值域为(-π, π]，能自动处理象限问题，非常稳健。同理，利用：
```
R[1][0] = sinψ * cosθ R[0][0] = cosψ * cosθ
```
可以得到：ψ = atan2(R[1][0], R[0][0])。

注意：这里推导出的公式是众多等价形式之一。有些资料会使用矩阵的其他元素组合，最终结果在数学上是等价的，但在数值计算（特别是接近奇异点时）的稳定性上可能有细微差别。我们选择的atan2(R[2][1], R[2][2])和atan2(R[1][0], R[0][0])是实践中广泛采用且稳定的组合。

2.3 万向节死锁的讨论

当俯仰角θ = ±π/2时，我们遇到了著名的万向节死锁。此时，cosθ = 0，上述用于求解φ和ψ的分母为零。从几何上看，此时绕Y轴的旋转达到了90度，导致最初的Z轴旋转和最后的X轴旋转实际上是在绕同一个轴旋转，丢失了一个自由度。在死锁情况下，φ和ψ不再是独立的，它们的和或差是一个定值。通常的处置方法是：

设定一个默认值：例如，令φ = 0，然后通过矩阵的其他元素（如R[0][1]和R[1][1]）来求解ψ。具体公式为：ψ = atan2(-R[0][1], R[1][1])。
在应用中避免：对于需要全姿态空间的应用（如航天器），欧拉角本身就不是一个好的选择，应始终使用四元数或旋转矩阵进行内部计算，仅在需要对外输出或解释时，在已知不会到达死锁区域的条件下进行转换。

在我们的实现中，需要加入对cosθ接近零的判断，并处理死锁情况，以保证函数的鲁棒性。

3. 基于Open3D C++的完整实现

3.1 环境准备与Open3D集成

首先确保你的开发环境已配置好。这里以Visual Studio 2022和vcpkg包管理器为例，这是管理C++库依赖的推荐方式。

安装vcpkg（如果尚未安装）：

git clone https://github.com/Microsoft/vcpkg.git cd vcpkg .\bootstrap-vcpkg.bat # Windows # 或 ./bootstrap-vcpkg.sh # Linux/macOS

安装Open3D：
```
.\vcpkg install open3d[cpp]:x64-windows # 安装64位Windows版本，包含C++接口
```
安装完成后，vcpkg会提示如何集成到CMake或Visual Studio中。对于VS，通常运行：
```
.\vcpkg integrate install
```
创建Visual Studio项目：
- 新建一个“控制台应用”项目。
- 在项目属性中，确保正确包含了vcpkg提供的头文件路径和库文件路径。vcpkg integrate install命令通常已自动配置好这些。
- 在“链接器 -> 输入 -> 附加依赖项”中，添加Open3D.lib（Release模式）或Open3D_d.lib（Debug模式）。

3.2 四元数转欧拉角函数实现

下面我们将推导出的公式转化为C++代码。Open3D提供了Eigen::Quaterniond类型（实际上是Eigen::Quaternion<double>的别名）来表示四元数，这非常方便。

#include <iostream> #include <cmath> #include <open3d/Open3D.h> // 主要头文件 // 定义常量，用于判断是否接近奇异点 const double EPSILON = 1e-12; /** * @brief 将单位四元数转换为Z-Y-X（偏航-俯仰-横滚）顺序的欧拉角。 * @param q 输入的单位四元数 (Open3D/Eigen格式)。 * @param radians 输出角度是否为弧度，默认为true。false则输出角度制。 * @return Eigen::Vector3d 包含三个欧拉角 (yaw, pitch, roll)。 */ Eigen::Vector3d QuaternionToEulerZYX(const Eigen::Quaterniond& q, bool radians = true) { // 1. 将四元数归一化（确保是单位四元数） Eigen::Quaterniond q_normalized = q.normalized(); // 2. 将四元数转换为旋转矩阵 (3x3) Eigen::Matrix3d R = q_normalized.toRotationMatrix(); // 3. 提取旋转矩阵中的关键元素 // 注意：Eigen矩阵索引是(row, col)，从0开始。 double r20 = R(2, 0); // 对应推导中的 R[2][0] double r21 = R(2, 1); double r22 = R(2, 2); double r10 = R(1, 0); double r00 = R(0, 0); // 4. 计算俯仰角 (pitch) theta // 使用 asin，并限制参数在[-1,1]内，防止浮点误差导致NaN double sin_theta = -r20; if (sin_theta > 1.0 - EPSILON) { sin_theta = 1.0; } else if (sin_theta < -1.0 + EPSILON) { sin_theta = -1.0; } double theta = std::asin(sin_theta); // theta ∈ [-π/2, π/2] double phi, psi; // 横滚roll和偏航yaw // 5. 判断是否接近万向节死锁 (俯仰角接近±90度) // 通过检查 cos(theta) 是否接近零来判断 if (std::fabs(r20) < 1.0 - EPSILON) { // 非死锁情况 double cos_theta = std::cos(theta); // 避免除零，虽然理论上cos_theta不为零，但数值计算需谨慎 if (std::fabs(cos_theta) > EPSILON) { phi = std::atan2(r21 / cos_theta, r22 / cos_theta); psi = std::atan2(r10 / cos_theta, r00 / cos_theta); } else { // 实际上，如果走到这个分支，说明 r20 接近 ±1，但未触发上面的死锁判断 // 这是一种边界情况，可以按死锁处理或抛出异常。这里按死锁处理。 phi = 0.0; psi = std::atan2(-R(0, 1), R(1, 1)); } } else { // 死锁情况: theta ≈ ±π/2 phi = 0.0; // 设定横滚角为0（或其他约定值） // 此时，偏航角与横滚角存在线性关系，我们求解psi // 使用公式: psi = atan2(-R[0][1], R[1][1]) psi = std::atan2(-R(0, 1), R(1, 1)); // 注意：在死锁时，theta的符号很重要，它决定了旋转的“方向” // 我们的 theta 已经由 asin 正确计算出是 +π/2 还是 -π/2 } // 6. 角度归一化到 [-π, π) 或 [0, 2π) 区间（可选，根据应用需求） // 这里简单返回，不做额外归一化，因为 atan2 和 asin 的结果已经在主值区间。 Eigen::Vector3d euler_angles(psi, theta, phi); // 顺序: yaw, pitch, roll // 7. 如果需要角度制输出，则进行转换 if (!radians) { const double rad_to_deg = 180.0 / M_PI; euler_angles *= rad_to_deg; } return euler_angles; }

3.3 测试与验证代码

编写测试代码来验证我们实现的正确性。我们可以使用Open3D自带的函数或已知的变换来交叉验证。

void TestQuaternionToEuler() { std::cout << "=== 四元数转欧拉角测试 ===" << std::endl; // 测试用例1: 无旋转 (单位四元数) { Eigen::Quaterniond q_identity(1, 0, 0, 0); // w=1, x=y=z=0 auto euler = QuaternionToEulerZYX(q_identity, true); std::cout << "测试1 - 单位四元数: " << std::endl; std::cout << " 输入四元数: w=" << q_identity.w() << ", x=" << q_identity.x() << ", y=" << q_identity.y() << ", z=" << q_identity.z() << std::endl; std::cout << " 输出欧拉角 (弧度): yaw=" << euler[0] << ", pitch=" << euler[1] << ", roll=" << euler[2] << std::endl; std::cout << " 输出欧拉角 (角度): yaw=" << euler[0]*180/M_PI << ", pitch=" << euler[1]*180/M_PI << ", roll=" << euler[2]*180/M_PI << std::endl; std::cout << " 预期: 接近 (0, 0, 0)" << std::endl << std::endl; } // 测试用例2: 绕Z轴旋转90度 (偏航角90度) { double yaw = M_PI / 2.0; // 90度 Eigen::AngleAxisd rollAngle(0, Eigen::Vector3d::UnitX()); Eigen::AngleAxisd pitchAngle(0, Eigen::Vector3d::UnitY()); Eigen::AngleAxisd yawAngle(yaw, Eigen::Vector3d::UnitZ()); // 注意旋转顺序：这里是按构造顺序，我们最终用四元数乘法来组合 // 对于固定轴Z-Y-X旋转，四元数乘法顺序是 q = q_z * q_y * q_x Eigen::Quaterniond q = yawAngle * pitchAngle * rollAngle; auto euler = QuaternionToEulerZYX(q, true); std::cout << "测试2 - 绕Z轴90度: " << std::endl; std::cout << " 输入四元数: w=" << q.w() << ", x=" << q.x() << ", y=" << q.y() << ", z=" << q.z() << std::endl; std::cout << " 输出欧拉角 (弧度): yaw=" << euler[0] << ", pitch=" << euler[1] << ", roll=" << euler[2] << std::endl; std::cout << " 预期 yaw 接近: " << yaw << " (π/2)" << std::endl << std::endl; } // 测试用例3: 绕Y轴旋转-45度，再绕X轴旋转30度 { Eigen::AngleAxisd rollAngle(M_PI/6, Eigen::Vector3d::UnitX()); // 30度 Eigen::AngleAxisd pitchAngle(-M_PI/4, Eigen::Vector3d::UnitY()); // -45度 Eigen::AngleAxisd yawAngle(0, Eigen::Vector3d::UnitZ()); Eigen::Quaterniond q = yawAngle * pitchAngle * rollAngle; // Z-Y-X顺序 auto euler = QuaternionToEulerZYX(q, false); // 输出角度制 std::cout << "测试3 - 组合旋转 (pitch=-45°, roll=30°): " << std::endl; std::cout << " 输出欧拉角 (角度): yaw=" << euler[0] << ", pitch=" << euler[1] << ", roll=" << euler[2] << std::endl; std::cout << " 预期 pitch 接近: -45, roll 接近: 30" << std::endl << std::endl; } // 测试用例4: 万向节死锁附近 (俯仰角接近90度) { double pitch = M_PI / 2 - 0.001; // 非常接近90度 Eigen::AngleAxisd rollAngle(0.5, Eigen::Vector3d::UnitX()); Eigen::AngleAxisd pitchAngle(pitch, Eigen::Vector3d::UnitY()); Eigen::AngleAxisd yawAngle(1.0, Eigen::Vector3d::UnitZ()); Eigen::Quaterniond q = yawAngle * pitchAngle * rollAngle; auto euler = QuaternionToEulerZYX(q, true); std::cout << "测试4 - 接近死锁 (pitch≈90°): " << std::endl; std::cout << " 输出欧拉角 (弧度): yaw=" << euler[0] << ", pitch=" << euler[1] << ", roll=" << euler[2] << std::endl; std::cout << " 注意：在死锁附近，roll和yaw的值可能对噪声敏感，但pitch应稳定。" << std::endl; } // 测试用例5: 使用Open3D的变换类进行验证 (如果Open3D有相关功能) // Open3D的Transform类包含旋转矩阵，但可能不直接提供欧拉角转换。 // 我们可以用我们的函数和直接构造的欧拉角进行闭环测试。 { Eigen::Vector3d euler_input(0.8, 0.4, 0.2); // 任意弧度值 // 使用Eigen从欧拉角(Z-Y-X)创建四元数 Eigen::Quaterniond q_test; q_test = Eigen::AngleAxisd(euler_input[0], Eigen::Vector3d::UnitZ()) * Eigen::AngleAxisd(euler_input[1], Eigen::Vector3d::UnitY()) * Eigen::AngleAxisd(euler_input[2], Eigen::Vector3d::UnitX()); auto euler_output = QuaternionToEulerZYX(q_test, true); std::cout << "\n测试5 - 闭环验证: " << std::endl; std::cout << " 输入欧拉角: " << euler_input.transpose() << std::endl; std::cout << " 输出欧拉角: " << euler_output.transpose() << std::endl; std::cout << " 差值: " << (euler_output - euler_input).transpose() << std::endl; std::cout << " 应接近零向量 (注意角度2π周期性)。" << std::endl; } } int main() { TestQuaternionToEuler(); return 0; }

4. 关键细节、陷阱与工程实践心得

4.1 数值稳定性与边界处理

这是实现中最容易出错的部分。直接套用公式而不考虑浮点数精度，会导致程序在边界条件下崩溃或产生错误结果。

asin和acos的参数钳制：在计算theta = asin(-r20)时，必须确保-r20的值在[-1, 1]区间内。由于浮点误差，即使理论上是单位旋转矩阵，计算出的r20也可能略超出此范围（如1.0000000002），导致asin返回NaN。代码中的if (sin_theta > 1.0 - EPSILON)...就是处理此问题的标准做法。
死锁判断的容差EPSILON：EPSILON的值选择需要权衡。太小（如1e-15）可能无法捕捉到由误差引起的奇异问题；太大（如1e-6）则可能将本非死锁的姿态误判为死锁，丢失信息。1e-12是一个对双精度浮点数比较合理的选择。最佳实践是：根据你的应用场景和数据精度来调整这个值。如果姿态数据来自传感器且噪声较大，可能需要适当调大。
atan2的使用：永远优先使用atan2(y, x)而不是atan(y/x)。atan2自动处理了x=0的情况，并且返回的角度在正确的象限内，避免了手动判断符号的复杂性和错误。
归一化的必要性：输入的四元数必须是单位四元数。虽然从物理意义上旋转四元数就是单位的，但在数值计算中，经过多次运算后可能累积误差导致模长不为1。在函数入口处调用q.normalized()是一个好习惯，它能保证后续旋转矩阵计算的正确性。

4.2 旋转顺序与角度的定义

混淆旋转顺序是导致结果错误的最常见原因。

明确约定：在代码注释、函数名和文档中，必须明确指出欧拉角的顺序。我们的函数QuaternionToEulerZYX明确表示是Z-Y-X (偏航-俯仰-横滚)顺序。如果你的项目使用X-Y-Z顺序，那么整个推导和矩阵元素对应关系将完全不同。
固定角 vs. 本体角：我们推导的是固定角（外旋）约定，即每次绕固定的世界坐标系轴旋转。还有一种常用的是本体角（内旋），即每次绕自身旋转后的新坐标轴旋转。两者对应的公式不同。绝大多数机器人学和航空航天领域（如ROS、PX4）使用的Z-Y-X是固定角约定。
右手系与左手系：本文默认使用右手坐标系（如OpenGL、ROS、Eigen）。如果你的系统使用左手坐标系（如DirectX），旋转方向和某些公式的符号可能需要调整。

实操心得：在项目开始时，就用一个简单的测试（如绕单轴旋转90度）来验证你的转换函数输出是否符合预期。将结果与已知正确的工具（如MATLAB的quat2eul函数，注意指定顺序）进行对比，是快速定位约定错误的不二法门。

4.3 与Open3D生态的集成

Open3D本身更侧重于几何数据处理和可视化，其核心的Transform类（Eigen::Matrix4d）和Orientation类（Eigen::Quaterniond）直接继承自Eigen，因此我们的实现与Open3D无缝兼容。

数据类型：直接使用Eigen::Quaterniond和Eigen::Vector3d，这与Open3D中表示旋转和平移的数据类型一致。

可视化验证：Open3D强大的可视化功能可以用来验证转换。你可以创建一个坐标系网格，分别用原始四元数和转换后的欧拉角构造变换矩阵，应用到网格上，观察它们是否重合。

auto coord_frame = open3d::geometry::TriangleMesh::CreateCoordinateFrame(1.0); // 创建坐标系 Eigen::Matrix4d transform = Eigen::Matrix4d::Identity(); // 方法1：使用四元数构造旋转部分 transform.block<3,3>(0,0) = q_normalized.toRotationMatrix(); // 方法2：使用欧拉角构造旋转部分 (通过Eigen::AngleAxisd) Eigen::Matrix3d R_from_euler = (Eigen::AngleAxisd(euler[0], Eigen::Vector3d::UnitZ()) * Eigen::AngleAxisd(euler[1], Eigen::Vector3d::UnitY()) * Eigen::AngleAxisd(euler[2], Eigen::Vector3d::UnitX())).toRotationMatrix(); transform.block<3,3>(0,0) = R_from_euler; coord_frame->Transform(transform); open3d::visualization::DrawGeometries({coord_frame});

4.4 性能考量与替代方案

对于实时性要求极高的应用（如高速机器人控制），每次转换都计算asin、atan2和多个三角函数可能成为瓶颈。

查表法：如果角度精度要求不高，可以预先计算正弦、余弦值表进行快速查找。
近似计算：在某些情况下（小角度假设），可以使用泰勒展开进行近似。
直接使用四元数：最好的优化往往是避免转换。在姿态滤波、插值（如SLERP）或连续运算中，尽量保持在四元数域内进行，仅在最终需要输出给人看或与特定接口交互时，才转换为欧拉角。
使用优化库：Eigen库本身已经高度优化，我们的实现依赖的Eigen::Quaterniond::toRotationMatrix()和std::atan2等函数在大多数平台都有不错的性能。

5. 常见问题排查与调试技巧

在实际集成到项目中时，你可能会遇到一些令人困惑的现象。下面是一个快速排查指南。

现象	可能原因	排查步骤与解决方案
转换结果出现`NaN`	1. 输入四元数不是单位四元数，导致旋转矩阵元素超出[-1,1]。 2. 在死锁边界，`cosθ`为零，做除法时未加保护。 3. 浮点误差导致`asin`参数略大于1。	1. 在函数入口处添加`q.normalize()`。 2. 检查死锁判断分支`if (std::fabs(r20) < 1.0 - EPSILON)`是否生效，确保`EPSILON`值合理。 3. 在调用`asin`前，对参数进行钳制（如代码所示）。
角度输出跳变（如从179度跳到-181度）	角度超过了`atan2`或`asin`的主值范围。`atan2`返回`(-π, π]`，`asin`返回`[-π/2, π/2]`。当真实角度连续变化跨越边界时，输出会跳变。	这是欧拉角表示固有的不连续性。如果需要连续的角度输出（如用于控制），需要在外部进行角度解缠绕。比较连续两帧的角度差，如果超过π，则通过加减2π将其校正到连续范围内。
转换后的欧拉角代入公式无法还原原四元数	1.旋转顺序不一致：转换和还原时使用的顺序不同。 2.万向节死锁：在死锁点，一组欧拉角对应无穷多组四元数（丢失了一个自由度），还原不唯一。 3.角度归一化问题：还原时使用的角度可能位于不同的周期（相差2π）。	1.双重检查顺序：确保`QuaternionToEulerZYX`和从欧拉角创建四元数的函数使用完全相同的顺序约定。 2.避免死锁区域：如果应用场景会经过死锁点，考虑使用四元数或旋转矩阵作为内部表示。 3.统一范围：在转换和还原前，将欧拉角规范到同一个区间，如`[0, 2π)`或`[-π, π)`。
与第三方库（如ROS tf2）的结果有符号或象限差异	1.坐标系定义不同：可能是右手系 vs 左手系。 2.旋转方向定义不同：正角度是顺时针还是逆时针。 3.欧拉角序列不同：虽然都叫“偏航-俯仰-横滚”，但可能是Z-X-Y等不同顺序。	1. 使用一个已知的、非对称的旋转进行测试（如`yaw=30°, pitch=20°, roll=10°`）。 2. 将结果四元数或旋转矩阵与第三方库的结果进行对比，这比对比欧拉角更容易发现问题本质。 3. 查阅第三方库的官方文档，明确其欧拉角定义。
俯仰角被限制在±90度内	这是使用`asin`求解俯仰角`θ`的固有特性。`asin`的值域就是`[-π/2, π/2]`。	如果你需要表示`θ`在`[π/2, 3π/2]`的范围，需要使用`atan2`来求解`θ`，例如`θ = atan2(-r20, sqrt(r21r21 + r22r22))`。但要注意，此时`θ`的值域是`(-π, π]`，且需要根据`cosθ`的符号来调整`φ`和`ψ`的计算公式，逻辑会更复杂。在绝大多数应用中，±90度的限制是可接受的。