16、磁场、毕萨定律、高斯磁场定律

1.历史

• 人们早就发现自然界存在磁石，中国拿它来制造司南等指南针器具。
• 1600年，英国科学家威廉⋅\cdot⋅吉尔伯特出版《论磁》，首次将地球本身视为一个巨大磁体，解释了磁针指向南北的原因。
• 1820年，丹麦物理学家奥斯特在一次讲座中演示，当导线通电时，旁边的小磁针发生了偏转。这一发现首次揭示了电与磁之间存在联系，也即：运动电荷产生磁场。

2.毕奥-萨伐尔定律：电流怎样激发磁场

2.1定律的建立

1820年，毕奥与萨伐尔以长直载流导线为对象，测量小磁针振荡周期的变化，得出两个关键结论：

• 磁作用力与导线电流III成正比
• 磁作用力与磁针到导线的垂直距离rrr成反比

拉普拉斯由此假定：任意载流回路的磁场可视为无数微小电流元IdlId\bm{l}Idl所产生的磁场矢量和，并逆推出单个电流元的磁场公式–毕奥-萨伐尔定律。它属于实验定律。

2.2 定律的数学形式

电流元IdlId\bm{l}Idl在空间点PPP产生的磁感应强度微元为：

dB=μ04πIdl×r^r2\boxed{ d\bm{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\bm{l}\times \hat{\bm{r}}}{r^2} }dB=4πμ0​​r2Idl×r^​​

其中：

• r^\hat{\bm{r}}r^是从电流元指向PPP的单位矢量，rrr为距离
• μ0=4π×10−7N/A2\mu_0=4\pi\times10^{-7}N/A^2μ0​=4π×10−7N/A2为真空磁导率

任意载流导线产生的总磁场由其积分得到：

dB=μ04π∫Idl×r^r2\boxed{ d\bm{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{Id\bm{l}\times \hat{\bm{r}}}{r^2} }dB=4πμ0​​∫r2Idl×r^​​

对于以速度vvv运动的点电荷qqq，利用Idl→qvId\bm{l}\to qvIdl→qv，可得：

dB=μ04πqv×r^r2\boxed{ d\bm{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\bm{v}\times \hat{\bm{r}}}{r^2} }dB=4πμ0​​r2qv×r^​​

3.高斯磁场定律

高斯在发现高斯电场定律以后，就开始着手研究类似的磁场定律。与电场不同，电场是有单独的正电荷和负电荷，因此可以变成有源场或有汇场。但是磁场不存在单独的南极和北极，因此磁场总是形成了闭合回路。因此计算其闭合曲面的通量总是0。

3.1积分形式

∮SB⋅dA=0\boxed{ \oint_S\bm{B}\cdot d\bm{A}=0 }∮S​B⋅dA=0​

有进有出，正负相抵，其符号为：

• SSS为任意闭合曲面
• dAd\bm{A}dA为外法向面元矢量

3.2微分形式

微分形式就是我们看其中一个极小的点，它也应是无源无汇的。利用高斯散度定理：∮SB⋅dA=∫V(∇⋅B)dV\oint_S \bm{B}\cdot d{\bm{A}}=\int_V(\nabla\cdot \bm{B})dV∮S​B⋅dA=∫V​(∇⋅B)dV，因为∮SB⋅dA=0\oint_S\bm{B}\cdot d\bm{A}=0∮S​B⋅dA=0，所以：

∫V(∇⋅B)dV=0\int_V(\nabla\cdot \bm{B})dV=0∫V​(∇⋅B)dV=0

所以：
∇⋅B=0\boxed{ \nabla\cdot \bm{B}=0 }∇⋅B=0​

表明磁场处任意一处是无源无汇的管量场。

3.3相量形式（时谐场）

许多工程和物理问题中，电磁场随时间按正/余弦规律（角频率ω\omegaω）变化。此时可将瞬时场表示为复相量实部：

B(r,t)=Re{B~(r)ejωt)} \bm{B}(\bm{r},t)=Re\{\tilde{\bm{B}}(\bm{r})e^{j\omega t})\}B(r,t)=Re{B~(r)ejωt)}

这里B~\tilde{\bm{B}}B~是仅与空间坐标有关的复相量，代入微分方程∇⋅B=0\nabla\cdot \bm{B}=0∇⋅B=0得：

∇⋅Re{B~(r)ejωt)}=0 \nabla\cdot Re\{\tilde{\bm{B}}(\bm{r})e^{j\omega t})\}=0∇⋅Re{B~(r)ejωt)}=0

有：

∇⋅Re{B~(r)ejωt)}=Re{(∇⋅B~(r)ejωt}=0 \nabla\cdot Re\{\tilde{\bm{B}}(\bm{r})e^{j\omega t})\}=Re\{(\nabla\cdot \tilde{\bm{B}}\bm({r})e^{j\omega t}\}=0∇⋅Re{B~(r)ejωt)}=Re{(∇⋅B~(r)ejωt}=0

得：
∇⋅B~=0\boxed{ \nabla\cdot \tilde{\bm{B}}=0 }∇⋅B~=0​

3.4物理意义总结

• 无磁单极子：高斯磁场定律的右端为零，与电场定律∇⋅E=ρfε0\nabla \cdot E=\frac{\rho_f}{\varepsilon_0}∇⋅E=ε0​ρf​​形成鲜明对比。宣告独立磁荷不存在。
• 磁通连续：磁场线无始无终，进入任意区域必须全部流出，基尔霍夫磁路节点定律即源于此。
• **引入磁矢势：**散度为零的场，必可表为另一矢量的旋度。即：存在A\bm{A}A使B=∇×A\bm{B}=\nabla \times \bm{A}B=∇×A。