红色病毒问题 完整递推过程（无乱码、格式清晰、步骤严谨）

红色病毒问题 完整递推过程（无乱码、格式清晰、步骤严谨）

全程梳理状态定义→转移方程→化简推导→通项公式，步骤清晰、公式规范，所有推导可验证，直接对应代码实现。

题目核心要求

构造长度为n的字符串（仅由 A、B、C、D 组成），要求A 出现偶数次（含 0 次）、C 出现偶数次（含 0 次），B、D 无限制，求满足条件的字符串个数（记为a[n]，即最终答案）。

第一步：定义 4 个互斥且全覆盖的状态（递推基础）

按A、C 的奇偶性划分所有字符串，无遗漏、无重复，且 A 和 C 地位完全对称（仅要求均为偶次，无其他区别）。设长度为n时：

1. a[n]：A 偶次、C 偶次（目标答案，需最终求解）
2. b[n]：A 偶次、C 奇次
3. c[n]：A 奇次、C 偶次
4. d[n]：A 奇次、C 奇次

两个基础结论（恒成立，后续全程复用）

1. 总个数结论：长度为n的字符串总个数 = 4 个状态之和，即a[n]+b[n]+c[n]+d[n]=4n（每个位置有 4 种字符选择，n 个位置的总排列数）同理，长度为n-1时：a[n−1]+b[n−1]+c[n−1]+d[n−1]=4n−1。

2. 对称性结论：A、C 地位对称，因此偶 A 奇 C 的数量等于奇 A 偶 C 的数量，即b[n]=c[n]，b[n−1]=c[n−1]。（减少变量，简化后续推导）

第二步：推导状态转移方程（从 n-1 推 n，核心步骤）

长度为n的字符串，可由长度为 n-1 的字符串末尾添加 1 个字符（A/B/C/D）得到。核心规律：添加某字符，仅改变该字符的奇偶性（偶→奇、奇→偶），不影响其他字符的奇偶性。逐一推导 4 个状态的转移方程，明确添加的字符类型 + 可选数量。

转移 1：推导目标状态a[n]（A 偶、C 偶）

要得到n时的 A 偶、C 偶，需从n-1的状态出发，添加字符后最终 A、C 均为偶次：

• 从a[n-1]（A 偶、C 偶）：加 B/D（不改变奇偶性）→ 2 种选择
• 从b[n-1]（A 偶、C 奇）：加 C（C 奇→偶，A 保持偶）→ 1 种选择
• 从c[n-1]（A 奇、C 偶）：加 A（A 奇→偶，C 保持偶）→ 1 种选择
• 从d[n-1]（A 奇、C 奇）：加 1 个字符无法同时让 A、C 变偶→ 0 种选择

结合对称性b[n-1]=c[n-1]，得转移方程：a[n]=2a[n−1]+b[n−1]+c[n−1]=2a[n−1]+2b[n−1]

转移 2：推导b[n]（A 偶、C 奇）

要得到n时的 A 偶、C 奇，同理分析添加字符的选择：

• 从a[n-1]（A 偶、C 偶）：加 C（C 偶→奇，A 保持偶）→ 1 种选择
• 从b[n-1]（A 偶、C 奇）：加 B/D（不改变奇偶性）→ 2 种选择
• 从c[n-1]（A 奇、C 偶）：加 1 个字符无法同时满足 A 偶、C 奇→ 0 种选择
• 从d[n-1]（A 奇、C 奇）：加 A（A 奇→偶，C 保持奇）→ 1 种选择

得转移方程：b[n]=a[n−1]+2b[n−1]+d[n−1]

转移 3：推导d[n]（A 奇、C 奇）

要得到n时的 A 奇、C 奇，同理分析添加字符的选择：

• 从a[n-1]（A 偶、C 偶）：加 1 个字符无法同时让 A、C 变奇→ 0 种选择
• 从b[n-1]（A 偶、C 奇）：加 A（A 偶→奇，C 保持奇）→ 1 种选择
• 从c[n-1]（A 奇、C 偶）：加 C（C 偶→奇，A 保持奇）→ 1 种选择
• 从d[n-1]（A 奇、C 奇）：加 B/D（不改变奇偶性）→ 2 种选择

结合对称性b[n-1]=c[n-1]，得转移方程：d[n]=b[n−1]+c[n−1]+2d[n−1]=2b[n−1]+2d[n−1]

第三步：核心化简（消去冗余状态，得到a[n]单变量递推式）

目标：消去b[n]、d[n]，仅保留目标状态a[n]，推导可直接计算的单变量递推公式。

化简 1：推导a[n]+d[n]与b[n]的关系（关键关系式）

将目标状态a[n]和状态d[n]的转移方程相加，展开并整理：

a[n]+d[n]​=[2a[n−1]+2b[n−1]]+[2b[n−1]+2d[n−1]]=2a[n−1]+4b[n−1]+2d[n−1]=2[a[n−1]+2b[n−1]+d[n−1]]​

此时观察b[n]的转移方程，我们能发现：括号内的部分正好等于b[n]（即b[n]=a[n−1]+2b[n−1]+d[n−1]）。

将这个关系代入上式，可得到一个关键的简化关系式：a[n]+d[n]=2b[n]

同时，这个关系式对n-1也成立（只需将所有n替换为n-1），即：a[n−1]+d[n−1]=2b[n−1]

化简 2：结合总个数结论，消去d[n]

由总个数结论a[n]+b[n]+c[n]+d[n]=4n，结合两个已知条件：

1. 对称性结论：b[n]=c[n]
2. 刚才推导的关键关系式：2b[n]=a[n]+d[n]

将这两个条件代入总个数公式，展开整理：

a[n]+2b[n]+d[n]a[n]+(a[n]+d[n])+d[n]2a[n]+2d[n]a[n]+d[n]​=4n=4n=4n=2⋅4n−1​

同理，这个结论对n-1也成立，即：a[n−1]+d[n−1]=2⋅4n−2

化简 3：得到a[n]的单变量递推式

从化简 1 的结论中，我们知道2b[n-1] = a[n-1] + d[n-1]，再结合化简 2 中n-1的结论（a[n−1]+d[n−1]=2⋅4n−2），将两者联立替换，可得：2b[n−1]=2⋅4n−2⟹b[n−1]=4n−2

将这个结果代入目标状态a[n]的转移方程，最终得到无冗余的单变量递推式：

a[n]​=2a[n−1]+2⋅4n−2=2a[n−1]+4n−1​

初始条件：n=1 时，满足条件的字符串为 B、D，共 2 个 → a[1]=2。

第四步：推导a[n]的通项公式（直接计算，无需递推）

从单变量递推式a[n]=2a[n−1]+4n−1（a[1]=2）出发，用累加法推导通项，全程无跳步。

步骤 1：展开递推式（k≥2）

a[2]−2a[1]a[3]−2a[2]a[4]−2a[3]⋮a[n]−2a[n−1]​=41=42=43=4n−1​

步骤 2：乘系数消去中间项

第 1 式 ×2n−2，第 2 式 ×2n−3，…，第 n-1 式 ×20，得到：

2n−2a[2]−2n−1a[1]2n−3a[3]−2n−2a[2]⋮20a[n]−21a[n−1]​=2n−2⋅41=2n−3⋅42=20⋅4n−1​

将所有式子相加，中间项全部抵消，仅剩首项和末项：a[n]−2n−1a[1]=2n−2⋅41+2n−3⋅42+...+20⋅4n−1

步骤 3：计算右侧等比数列和

将右侧统一底数为 2（4k=22k），整理为等比数列：

右侧​=2n−2⋅22+2n−3⋅24+...+20⋅22(n−1)=2n+2n+1+...+22n−2​

该等比数列首项2n，公比 2，项数 n-1，用等比数列和公式S=a1​⋅q−1qm−1​计算：右侧=2n⋅2−12n−1−1​=22n−1−2n

步骤 4：代入初始条件，得到通项

将初始条件a[1]=2代入，整理得：

a[n]−2n−1⋅2a[n]−2na[n]​=22n−1−2n=22n−1−2n=22n−1−2n−1​

刷题通用化简版通项（直接套代码）

将通项公式转化为底数 4 和 2 的形式，更适合快速幂计算：

a[n]​=24n​−22n​=24n−2n​=4n−1+2n−1​

✅最终刷题通用公式：a[n]=4n−1+2n−1（代码中用快速幂分别计算4n−1%100和2n−1%100，相加后再模 100 即可）。

第五步：验证正确性（代入小 n 值，手动核对）

• n=1：a[1]=40+20=1+1=2 ✅（仅 B、D，共 2 个）
• n=2：a[2]=41+21=4+2=6 ✅（BB、BD、DB、DD、AC、CA，共 6 个）
• n=3：a[3]=42+22=16+4=20 ✅（手动计数验证，结果一致）
• n=4：a[4]=43+23=64+8=72 ✅（经典样例，直接对应代码输出）

最终核心结论（一目了然，直接对应代码）

1. 状态递推式：a[n]=2a[n−1]+4n−1，初始条件a[1]=2；
2. 刷题通用通项：a[n]=4n−1+2n−1（核心公式，代码直接实现）；
3. 代码计算逻辑：快速幂计算4n−1%100和2n−1%100，相加后模 100，即为最终答案。

总结

1. 本次调整移除了容易产生乱码的公式括号标注，改用文字清晰说明关键关系式，推导逻辑保持完整。
2. 核心关系式 a[n]+d[n]=2b[n] 推导过程无跳步，可直接对应后续化简步骤，无歧义。
3. 最终通项公式 a[n]=4n−1+2n−1 是代码实现的核心，可直接结合快速幂模板求解。