考研数学线性代数复习到强化阶段后，很多同学容易出现一种“假性熟练”：题目看着都见过，公式也都背得出，但一做就错、一深问就卡。尤其是在逆矩阵和矩阵运算相关题目上，不少人的问题不是不会算，而是对运算定义和运算律的理解不够扎实。
本篇 Day36 的每日一题，正好聚焦三个高频考点：逆矩阵计算、矩阵运算定义、矩阵乘法运算律。题目本身并不复杂，但它把定义、运算律和可逆性判断放在同一个场景里，非常适合用来检验强化阶段的基础是否真正过关。
如果你正在备考 27 考研数学，或者是大一大二提前接触线性代数的同学，这篇文章建议完整看一遍。文中不仅会给出题目的规范解法，还会把“为什么能这么做”“常见的坑在哪里”一并讲清楚，保证你看完不是只会做这一道题，而是遇到同类题都能找到稳定的分析路径。
1. Day36 题目：一道题覆盖三个核心考点
先看题目：
设 A、B 为 n 阶方阵，且 AB = E（E 为 n 阶单位矩阵）。 证明：A 可逆，B 可逆，且 B = A⁻¹。这道题适合放在两个阶段使用：
- 基础阶段学完逆矩阵定义之后，用来检验对定义的掌握程度；
- 强化阶段刷题初期，用来复习矩阵运算律和可逆矩阵的性质。
很多同学拿到这道题的第一反应是：条件只给了 AB = E，既没有给行列式，也没有给 BA = E，怎么证明 A、B 都可逆？
这个疑问本身就是题目要考的核心。我们先把涉及的基本概念完整回顾一遍，再逐步拆解证明思路。
2. 前置知识回顾：逆矩阵定义的深层逻辑
2.1 矩阵运算中单位矩阵的作用
单位矩阵 E 是矩阵运算中非常特殊的存在。它的对角线元素全为 1，其余元素全为 0。任意矩阵与单位矩阵相乘，结果仍是原矩阵：
AE = A EA = A无论 A 在左侧还是右侧，单位矩阵都不改变 A。正因为 E 具备这种“乘法不变性”，它才在逆矩阵定义中充当“标准参照物”。
简单类比一下：在实数乘法中，任何数乘以 1 都等于它本身，所以 1 是实数乘法中的单位元。单位矩阵 E 就是矩阵乘法中的单位元。判断一个矩阵是否可逆，本质上就是在问：能不能找到另一个矩阵，让两者相乘的结果等于单位矩阵 E。
把 AB = E 中的 E 理解成“矩阵世界里的 1”，题目条件就很直观了：A 和 B 相乘得到了单位元，说明两者之间存在某种“互逆”关系。
2.2 方阵的逆矩阵定义
线性代数教材中，逆矩阵的标准定义如下：
设 A 是 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B，使得 AB = BA = E 则称 A 可逆，B 称为 A 的逆矩阵，记作 B = A⁻¹。注意定义中的关键细节：AB 和 BA 都必须等于 E，两个等式缺一不可。
但在实际做题时，题目往往只给出 AB = E，没有直接给出 BA = E。这就产生了一个自然的问题：只验证单侧等式，能不能说明矩阵可逆？
答案是可以，但前提是 A 和 B 都是方阵。这是需要重点理解的一个细节，后面专门解释。
2.3 为什么方阵只要一侧可逆即可
对于两个 n 阶方阵 A、B，如果 AB = E，则 BA = E 一定成立。也就是说，对有限维方阵而言，左逆和右逆是等价的：
左侧可逆：存在 B，使 BA = E 右侧可逆：存在 B，使 AB = E只要一个是另一个的逆，那么另一个也自动是前者的逆。
严格证明这个结论通常需要行列式或秩的理论支撑。强化阶段，建议先把这个结论当成重要性质记住：
设 A、B 均为 n 阶方阵，若 AB = E，则 A 可逆、B 可逆，且 A⁻¹ = B，B⁻¹ = A。为什么强调“方阵”？因为只有方阵才有行列式和秩的完整理论。对于非方阵，比如 2×3 矩阵和 3×2 矩阵相乘，结果可能是 2×2 单位阵，但矩阵本身谈不上“可逆”，因为可逆性的前提是方阵且存在双侧逆矩阵。非方阵即使存在单侧逆，也没有完整的逆矩阵概念。这一点在概念辨析题中经常出现，值得留意。
2.4 矩阵乘法不满足交换律带来的影响
矩阵乘法与实数乘法最大的区别之一就是：矩阵乘法不满足交换律。
一般情况下：AB ≠ BA但在逆矩阵和单位矩阵参与的特定场景中，交换可能成立：
AE = EA = A AA⁻¹ = A⁻¹A = E也就是说，A 与单位矩阵可交换，A 与自己的逆矩阵可交换。这两个结论在运算中会频繁使用，但不要错误推广成“任意两个矩阵都能交换”。
题目中 AB = E 这个条件的精妙之处在于：它同时暗示了 A 和 B 在乘法意义下互为逆矩阵，而这种互逆关系本身就保证了 AB = BA = E。
3. 核心思路拆解：拿到题目后先想定义
3.1 第一步：判断题目类型
拿到这道题，不建议直接去算行列式，更不建议试图把 A、B 的元素具体表示出来。题目给的是抽象矩阵，只给了 A、B 之间的乘法关系，这种题型通常要回到定义本身去分析。
判断题型的目的，是找到这一题对应的“基本工具”。看到 AB = E，应该立刻联想到逆矩阵定义中 AB = BA = E 的形式。题目虽然只给了 AB = E，但既然涉及 n 阶方阵，就可以把“方阵左逆等于右逆”的结论作为桥梁。
3.2 第二步：明确要证明的目标
题目总共给出了三个结论：
① A 可逆 ② B 可逆 ③ B = A⁻¹这三个结论不是彼此独立的。只要证明了 A 可逆，并且证明了 B 满足 A⁻¹ 的唯一性条件，那么①②③可以整体解决。
关键是找到合适的推理路径。有些同学的思路是：先算 |A| ≠ 0 说明 A 可逆，再算 |B| ≠ 0 说明 B 可逆，最后说明 B = A⁻¹。这种思路方向正确，但在抽象矩阵场景下往往不够直接，因为题目没有给出 A、B 的具体元素，行列式无从算起。
更符合强化阶段要求的思路是定义法。
3.3 第三步：观察 AB = E 等于“直接给出右逆”
由 AB = E 可知，B 是 A 的右逆矩阵。
根据前面的性质，对于 n 阶方阵，存在右逆就意味着 A 可逆，并且该右逆就是 A 的逆矩阵。所以可以直接得到：
B = A⁻¹同理，AB = E 也可以解读为 A 是 B 的左逆矩阵，因此 B 也可逆，并且 A = B⁻¹。
换句话说，题目给出的条件 AB = E 已经同时蕴含了三层信息：
A 可逆 B 可逆 A 和 B 互为逆矩阵很多同学卡住，是因为对“逆矩阵定义中为什么要同时写 AB = BA = E”理解得不够透。定义里写双侧等式，是为了保证定义严谨；但实际判断可逆性时，只要矩阵是方阵，单侧等式就足够推出双侧等式。
3.4 第四步：用行列式辅助验证
如果觉得上面的推理太“抽象”，还可以从行列式的角度再验证一遍。
对 AB = E 两边同时取行列式：
|AB| = |E|由行列式乘法公式：
|A| · |B| = 1两个数的乘积等于 1，说明 |A| ≠ 0 且 |B| ≠ 0。因此 A 和 B 都可逆。
这个证明也非常简洁，而且能够直观地看到 A、B 的可逆性来源于行列式非零。
两种思路都可以，但适用场景略有不同：
| 方法 | 适用场景 | 优点 |
|---|---|---|
| 定义法 | 抽象矩阵、证明题 | 直接衔接 B = A⁻¹，适合证明唯一性 |
| 行列式法 | 有具体元素或需要判断可逆性 | 简洁快速，结果一目了然 |
4. 解法呈现：定义法与行列式法双路径
4.1 方法一：定义法证明（推荐）
完整证明过程如下：
因为 AB = E， 所以 B 是 A 的右逆矩阵。 由于 A、B 均为 n 阶方阵，n 阶方阵的左逆与右逆等价， 因此 A 可逆，且 A 的逆矩阵就是 B，即： A⁻¹ = B 同时，由 A⁻¹ = B 可知 B 也可逆，且 B⁻¹ = A。 所以原题结论成立：A 可逆，B 可逆，B = A⁻¹。如果老师要求严格，还没学到“方阵单侧逆等价于双侧逆”这个结论，可以补充一个基于定义的双侧验证，但需要借助行列式的知识保证 A⁻¹ 的存在性。完整的可逆性论证是绕不开行列式或者秩的理论的。
从考试角度看，Day36 阶段的证明题普遍允许直接使用“AB = E ⇒ A、B 可逆”这一性质，前提是题目明确说了 A、B 为 n 阶方阵。如果题目只说 A、B 是同型矩阵，没说是方阵，则不能直接套用这个结论。
4.2 方法二：行列式辅助证明
如果只想证明 A、B 可逆，不要求证明 B = A⁻¹，则可使用行列式法：
由 AB = E，两边取行列式： |AB| = |E| 根据 |AB| = |A| · |B|，以及 |E| = 1，得： |A| · |B| = 1 因此 |A| ≠ 0，|B| ≠ 0，所以 A 可逆，B 可逆。 又因为 A 可逆，可在 AB = E 两边同时左乘 A⁻¹： A⁻¹(AB) = A⁻¹E 利用结合律： (A⁻¹A)B = A⁻¹ EB = A⁻¹ B = A⁻¹最终得到 B = A⁻¹。
这个推导过程用到了两个关键运算律：
- 乘法结合律：(A⁻¹A)B = A⁻¹(AB)；
- 单位矩阵性质：EB = B。
同时也提醒我们：只有在矩阵乘法满足结合律的前提下，对等式两边左乘同一个矩阵才是合法的恒等变形。
4.3 两种方法的对比与取舍
定义法更贴近“矩阵运算定义”的考查方向，能帮你同时复习可逆、单位矩阵、逆矩阵的表达方式。行列式法则更偏向“用小工具快速解决判断问题”。
实际考试中，如果题目只让你证明可逆，首选行列式法；如果题目进一步要求证明某个矩阵等于另一个矩阵的逆，则两者结合使用：
先用行列式法证明可逆 再用左乘或右乘 A⁻¹ 推导 B = A⁻¹这种组合策略在强化阶段非常实用。
5. 从 AB = E 到 BA = E 的深入思考
5.1 为什么已知 AB = E 可以推出 BA = E
前文反复强调：对 n 阶方阵成立。下面的证明思路不依赖具体元素，依靠行列式与逆矩阵即可完成：
第一步，由 AB = E 两边取行列式： |A| · |B| = 1，故 A、B 都可逆，A⁻¹ 存在。 第二步，在 AB = E 两边同时左乘 A⁻¹： A⁻¹(AB) = A⁻¹E (A⁻¹A)B = A⁻¹ EB = A⁻¹ B = A⁻¹ 第三步，验证 BA： BA = A⁻¹A = E这就完整证明了：由 AB = E 可以推出 BA = E。
5.2 方阵条件不可或缺
如果把“n 阶方阵”改为“m×n 矩阵 A 和 n×m 矩阵 B”，结论可能失效。
举个例子：
取 A = [1 0]，B = [1; 0] （1×2 矩阵 与 2×1 矩阵）计算 AB：
AB = [1 0] · [1; 0] = [1] = E（1 阶单位阵）但 BA：
BA = [1; 0] · [1 0] = [1 0] [0 0]BA 是 2×2 矩阵，并不等于 2 阶单位阵。
这说明非方阵即使满足 AB = E，也不能推出 BA = E。因此，看到 AB = E 就想当然地认为 BA = E，是一种非常危险的习惯。做题前务必确认 A、B 是否为同阶方阵。
5.3 这个结论在题目中的应用价值
在选择题和证明题中，这个结论可以直接缩短推理过程。例如：
例：设 A、B 为 n 阶方阵，AB = E，则下列结论正确的是（ ） A. BA = E B. A 不可逆 C. B 不可逆 D. AB ≠ E根据上面讨论，A、B 均为 n 阶方阵且 AB = E，所以 A、B 都可逆，且 BA = E。正确选项为 A。
如果把选项改成“若 A、B 不是方阵但 AB = E，则 BA = E”，那就不能选，因为非方阵情况下单侧相等推不出另一侧相等。
6. 易错点与高频误区警示
6.1 错误假设 A、B 可逆再去推导
有些同学做这道题时，会先写出“设 A⁻¹ 存在”，然后用 A⁻¹ 去左乘等式。这在逻辑上是循环论证：题目要证的结论就是 A 可逆，你却先把 A 可逆当条件用了。
正确的顺序是：先证明 A 可逆（例如用行列式），再左乘 A⁻¹ 推导 B = A⁻¹。
6.2 左乘、右乘混淆
等式变形时，如果要在两边同时乘一个矩阵，必须明确是左乘还是右乘，并且两边乘的方向要一致。
已知 AB = E，若在两边左乘 A⁻¹： A⁻¹(AB) = A⁻¹E 若在两边右乘 A⁻¹： (AB)A⁻¹ = EA⁻¹左乘得到 B = A⁻¹；右乘得到 A(BA⁻¹) = A⁻¹，形式完全不同。原因就是矩阵乘法不满足交换律，A⁻¹ 不能随意从左边换到右边。
这也是初学线代时最容易翻车的地方，解题时一定要“左手右手分清楚”。
6.3 忽视方阵条件
题目如果写“A、B 为 n 阶方阵”，可以直接推可逆。但若题目只写“A、B 是矩阵”，则 AB = E 不能保证 A、B 都可逆，因为可能是长方形矩阵，逆矩阵概念本身就不一定适用。
考试中常见的陷阱变形有两种：
① 设 A 是 m×n 矩阵，B 是 n×m 矩阵，AB = E_m（m 阶单位阵）。 问 A 是否可逆？ ② 设 A 是 n 阶方阵，存在 n 阶方阵 B，使 AB = E。问 A 是否可逆？第①题不能直接回答可逆，因为 A 不一定是方阵；第②题可以直接回答可逆。
6.4 把 AB = E 等同于 AB = BA
AB = E 是已知条件，但不代表题目告诉了你 AB = BA。事实上，由 AB = E 推出 BA = E 是需要证明的结论，不是可以直接默认的事实。在书写证明过程时，不要把 BA = E 当成已知条件直接使用。
7. 同类题训练：三道题巩固逆矩阵与运算律
7.1 配套练习 1：逆矩阵定义直接应用
设 A 为 n 阶可逆矩阵，B 是满足 AB = A + E 的 n 阶矩阵。 证明：B 可逆，并求 B⁻¹。思路提示：
由 AB = A + E，先观察能否把 A 提出来。 因为 A 可逆，左乘 A⁻¹ 得： A⁻¹AB = A⁻¹A + A⁻¹E EB = E + A⁻¹ B = E + A⁻¹ 这说明 B 是 E 与 A⁻¹ 的和。判断 B 可逆还需要进一步变形，利用 A + E 与 A⁻¹ + E 之间的关系： A⁻¹ + E = A⁻¹(E + A) = A⁻¹(A + E) 因此： B = A⁻¹(A + E) 两边右乘 (A + E)⁻¹ 无法直接说明 B 可逆，更规范的方法是利用 AB = A + E 可化为 A(B - E) = E，说明 B - E = A⁻¹，所以 B = E + A⁻¹。 这里需要准确理解 B⁻¹ 的构造。此类题核心仍是：若两个矩阵乘积等于 E，即可逆且互为逆矩阵。本题不建议死记思路，重点体会“从目标结论倒推”的分析方法。
7.2 配套练习 2：矩阵乘法运算律辨析
设 A、B、C 均为 n 阶方阵，且 AB = AC，A ≠ 0。 问：能否推出 B = C？请说明理由。思路提示：
不能直接推出。 只有 A 可逆时，才能由 AB = AC 左乘 A⁻¹ 得到 B = C。 若 A 不可逆，则即使 A ≠ 0，也可能存在 B ≠ C 使得 AB = AC。 反例思路：取 A 为某类特殊矩阵，使 A(B - C) = 0 但 B - C ≠ 0。这道题和 Day36 形成互补：AB = E 能推出可逆性，但 AB = AC 不能推出 B = C，除非 A 可逆。本质区别在于 E 是满秩矩阵，而 0 矩阵不是。
7.3 配套练习 3：结合单位矩阵运算
设 A、B 为 n 阶方阵，且 AB = E。 证明：A²B 与 AB² 均为可逆矩阵，并分别求它们的逆矩阵。思路提示：
由 AB = E，可得 A²B = A(AB) = AE = A。 因为 A 可逆，所以 A²B 可逆，且 (A²B)⁻¹ = A⁻¹。 同理： AB² = (AB)B = EB = B。 因为 B 可逆，所以 AB² 可逆，且 (AB²)⁻¹ = B⁻¹。做完这道题，你能顺便检验自己是否熟悉乘法结合律的使用。A²B 应理解为 A·A·B，先算后两个还是先算前两个，是结合律发挥作用的地方。
8. 总结与下一步复习建议
Day36 这道题虽然只是一个小题，但它背后串联的知识点并不少。从逆矩阵的定义出发，牵扯出单位矩阵 E 的作用、左乘右乘的不可交换性、方阵单侧逆与双侧逆的关系、行列式与可逆性的联系、AB = AC 能否消去等一系列内容。如果这些点都能自然地想通，说明你对矩阵运算部分已经有了系统认识。
关于逆矩阵，备考中还有一个非常重要的提醒：求逆矩阵要区分“抽象矩阵求逆”和“具体矩阵求逆”两条路线。
抽象矩阵：主要靠定义和运算律，目标是凑出 AB = E 的形式。 具体矩阵：用伴随矩阵法或初等行变换法，按步骤计算。Day36 属于前者，不涉及具体数字，所以重点在分析定义、凑结构。等进入具体计算题阶段，还需要专门训练初等行变换求逆的熟练度，那是另一类基本功。
下一步复习建议，可以按照下面顺序推进：
- 先熟练背诵逆矩阵的性质列表，特别是 (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹；
- 接着练习 5 到 8 道“抽象矩阵证明可逆”的题目，训练如何把已知条件凑成 AB = E；
- 再进入具体矩阵求逆计算，每天保持 2 到 3 道三阶矩阵求逆的练习量；
- 最后回到真题，梳理历年考过的矩阵运算选择题，体会命题人对左乘右乘的考查方式。
如果这篇文章对你有帮助，可以收藏起来，等复习到矩阵运算章节时再回来看一遍。下一题我们会继续围绕矩阵运算的另一个高频考点展开，建议先把今天涉及的定义法证明和行列式法证明亲手写一遍，不要只看不练。线代强化阶段，动笔永远比动眼有效。
