2.3 现代控制理论基础
经典控制理论在单输入单输出线性时不变系统的分析与设计中取得了巨大成功，但其在应对多变量、强耦合、时变及高性能要求的复杂系统时逐渐显露出局限性。以状态空间方法为核心的现代控制理论，为这类系统的分析与综合提供了更为强大和系统的框架。本节将系统阐述现代控制理论的基础，重点介绍状态空间表示、能控性与能观性、状态反馈与观测器设计以及线性二次型调节器等核心概念，并探讨其在机器人控制系统中的应用。
2.3.1 状态空间表示
状态空间模型是现代控制理论的基石，它采用一阶微分方程组直接在时域内描述系统的动态行为。
1. 基本定义与形式
对于一个线性时不变连续系统，其状态空间方程的一般形式为：
x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)(状态方程)y(t)=Cx(t)+Du(t)(输出方程) \begin{aligned} \dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t) \quad &\text{(状态方程)} \\ \mathbf{y}(t) &= \mathbf{C}\mathbf{x}(t) + \mathbf{D}\mathbf{u}(t) \quad &\text{(输出方程)} \end{aligned}x˙(t)y(t)=Ax(t)+Bu(t)=Cx(t)+Du(t)(状态方程)(输出方程)
其中：
- x(t)∈Rn\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^nx(t)∈Rn是状态向量，其分量称为状态变量，它们包含了系统过去动态的全部信息，足以预测未来的行为。在机器人系统中，状态变量通常包括各关节的位置和速度，即x=[q1,…,qn,q˙1,…,q˙n]T\mathbf{x} = [q_1, \dots, q_n, \dot{q}_1, \dots, \dot{q}_n]^Tx=[q1,…,qn,q˙1,…,q˙n]T。
- u(t)∈Rm\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^mu(t)∈Rm是输入（控制）向量，对应施加给各关节的力矩或力。
- y(t)∈Rp\mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^py(t)∈Rp是输出向量，代表可以通过传感器直接或间接测量到的量，如关节位置。
- A∈Rn×n\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}A∈Rn×n为系统矩阵，描述了系统内部状态的自由演化动态。
- B∈Rn×m\mathbf{B} \in \mathbb{R}^{n \times m}B∈Rn×m为输入矩阵，描述了控制输入如何影响状态变化。
- C∈Rp×n\mathbf{C} \in \mathbb{R}^{p \times n}C∈Rp×n为输出矩阵，描述了状态如何映射到可观测的输出。
- D∈Rp×m\mathbf{D} \in \mathbb{R}^{p \times m}D∈Rp×m为直接传输矩阵，通常在全驱动机器人中为零。
与经典控制理论中描述输入输出关系的传递函数相比，状态空间表示法具有以下显著优势：天然适用于多输入多输出系统；揭示了系统的内部结构，便于分析内部状态特性（如能控性、能观性）；易于处理初始条件和非零初始状态；便于计算机实现和数值仿真。
2. 机器人动力学的线性化状态空间模型
一个nnn自由度机器人操作器的完整动力学方程为非线性方程。为了应用线性系统理论，常在期望的轨迹点qd,q˙d\mathbf{q}_d, \dot{\mathbf{q}}_d
