上一课我们解决了排列组合最基础、也是最容易出错的一个问题：
什么时候使用 “加法” ？什么时候使用 “乘法” ？
本课就在此基础上继续学习排列组合中的特殊限制问题，重点是：
捆绑法、插空法，以及“特殊位置”问题。
本课非常适合CSP-J初赛，因为很多题目并不要求孩子真的计算一个特别复杂的组合数，而是考查学生能不能读懂条件、拆分问题、选择正确的方法。
第四十一课：排列组合解题技巧②——捆绑法、插空法与特殊位置
一、先复习上一课的“四个问题”
做排列组合题之前，先问自己：
① 是分类还是分步？
或者 → 加法 然后 → 乘法② 顺序重要吗？
顺序重要 → 排列 顺序不重要 → 组合③ 能不能重复？
能重复 → 每个位置的选择数可能不变 不能重复 → 后面的选择数减少④ 有没有特殊条件？
例如：
必须相邻
不能相邻
必须在一起
某个人必须站在某个位置
某几个元素不能在一起
本课主要解决第四类问题。
二、第一种魔法：捆绑法
我们先看一道非常经典的问题。
例题1
5个人：
A B C D E排成一排。
要求：
A和B必须站在一起。
有多少种排法？
第一步：不要把A、B分开考虑
因为题目说：
A和B必须相邻。
所以我们把他们“绑起来”。
[A B]于是：
A B C D E变成：
[AB] C D E现在一共有4个“东西”：
[AB] C D E第二步：先排列4个整体
4个元素排队：
4!
第三步：AB内部还可以交换
因为：
AB和：
BA都满足“相邻”。
所以内部有：
2!
种。
第四步：相乘
4! × 2！= 24×2 = 48
三、捆绑法到底在做什么？
孩子可以把它理解成：
先把必须在一起的人捆成一个“小团队”，先安排团队的位置，再安排团队内部的人。
例如：
A B C D E变成：
┌─────┐ │ A B │ C D E └─────┘ ↑ 一个整体所以：
整体排列×内部排列
四、如果有3个人必须站在一起呢？
例题2
6个人：
A B C D E F排成一排。
要求：
A、B、C三个人必须连续站在一起。
怎么办？
第一步：捆起来
[ABC] D E F原来6个人，现在变成：
[ABC] D E F一共4个整体。
所以外部排列：
4!
第二步：ABC内部排列
三个人可以：
3!
种排列。
所以：
4! × 3! = 24×6 =144
五、一个非常重要的规律
如果：
n个人排队，其中k个人必须连续在一起。
可以先把这k个人捆成一个整体。
那么：
外部有
n-k+1个整体外部排列：
(n−k+1)!
内部排列：
k!
因此：
当然，这个公式大家不要机械背。
CSP-J初赛更重要的是理解：
为什么要减掉 k-1 个位置？
因为：
A B C三个独立的人：
A B C占3个位置。
捆起来以后：
[ABC]只占1个位置。
所以整体数量减少：
3−1 = 2
六、第二种魔法：插空法
现在换一种完全不同的限制。
例题3
有3个男生：
A B C和2个女生：
X Y5个人排成一排，要求：
两个女生不能相邻。
怎么做？
七、先排谁？
这时候我们不要先排女生。
先排男生。
A B C有：
3!
种排列。
假设某一次排成：
A B C现在看看男生之间和两边有什么位置：
_ A _ B _ C _一共有：
4
个“空”。
八、为什么是4个空？
仔细数：
① A前面 ② A和B之间 ③ B和C之间 ④ C后面也就是：
_ A _ B _ C _ ↑ ↑ ↑ ↑ 1 2 3 4一共：
3+1=4
个空。
九、为什么女生要插空？
因为题目要求：
两个女生不能相邻。
如果我们把女生分别插入不同的空中，就天然不会相邻。
例如：
X A Y B C女生：
X Y不相邻。
但是：
A X Y B C两个女生就在一起了。
所以：
不能相邻 → 尝试把它们插入不同的空。
这就是：
插空法
十、继续计算
男生排列：
3!
4个空中选择2个：
两个女生自己还可以交换：
2!
因此：
计算：
所以答案是：
72
十一、插空法的核心思想
记住这一幅图：
A B C ↓ ↓ ↓ _ A _ B _ C _先把“不受限制的那一类”排好。
然后：
把受到“不相邻”限制的元素插入空隙。
十二、为什么“不能相邻”适合插空？
因为如果：
_ A _ B _ C _每个元素都放到不同的空里：
X A Y B C或者：
A X B C Y女生自然不会相邻。
所以：
插空法的本质，就是用“空隙”主动制造“不相邻”。
十三、捆绑法和插空法的对比
这是本课最重要的比较。
| 条件 | 常用方法 | 思路 |
|---|---|---|
| 必须相邻 | 捆绑法 | 把它们绑起来 |
| 必须连续 | 捆绑法 | 看成一个整体 |
| 不能相邻 | 插空法 | 插进不同空隙 |
| 至少相邻一次 | 常结合分类/补集 | 分情况 |
可以给大家一句非常形象的话：
相邻就“绑起来”，不相邻就“插开来”。
十四、再看一道“特殊位置”问题
例题4
5个人：
A B C D E站成一排。
要求：
A必须站在最左边。
有多少种排法？
A的位置已经确定：
A _ _ _ _所以剩下4个人随便排列：
4!
答案：
24
十五、为什么不是5!？
因为：
A已经不能选择位置了。
普通情况下：
5!
表示5个人都可以自由选择位置。
但现在：
A → 第1个位置已经固定。
所以只剩：
4!
十六、特殊位置的核心思想
遇到：
某个人必须在第一个位置
就：
固定他 ↓ 剩下的人自由排列遇到：
某个人必须在最后一个位置
同样：
固定他 ↓ 剩下的人自由排列十七、如果A必须站在中间呢？
5个人：
_ _ _ _ _中间位置是第3个：
_ _ A _ _A已经固定。
剩下：
4!
所以：
24
十八、两个特殊位置同时固定
6个人：
A B C D E F要求：
A站最左边，B站最右边。
那么：
A _ _ _ _ B中间还有4个人。
所以：
4!
答案：
24
十九、特殊位置的另一种情况：必须在某几个位置之一
例如：
5个人排队，A必须站在第1个或第5个位置。
A有：
2
种位置选择。
剩下4个人：
4!
所以：
这里又回到了上一课：
分类 + 分步
A的位置：
第1个 或者 第5个是分类。
所以：
2
种。
确定位置以后：
再排列剩下的人。
所以：
2 × 4!
二十、一个非常重要的初赛思维
排列组合题不要一看到“必须”就套捆绑法。
例如：
A必须站在第1位。
这是：
固定位置。
不是捆绑。
例如：
A、B必须相邻。
这是：
捆绑法。
例如：
A、B不能相邻。
这是：
插空法或者补集法。
二十一、“至少”怎么办？
这也是CSP-J初赛非常喜欢考的地方。
例如：
5个人排队，要求A、B至少有一个条件满足……
看到：
至少
不要马上计算。
首先想到：
总数−不满足的情况
这就是：
补集思想
这一部分我们会在后面的课程中重点讲。
今天先让大家认识：
“至少”经常可以从反面考虑。
二十二、综合题：捆绑 + 特殊位置
例题5
6个人：
A B C D E F排成一排。
要求：
A、B必须相邻，而且A必须在B的左边。
有多少种？
首先：
AB必须相邻。
所以可以把：
[A B]看成一个整体。
再加：
C D E F一共：
5
个整体。
所以：
5!
但是注意：
A必须在B左边。
所以内部不再有：
BA这种情况。
因此内部只有：
AB一种。
所以答案：
5!=120
二十三、这里有一个非常容易错的地方
如果题目只说：
A、B必须相邻。
答案：
5! × 2!
因为：
AB BA都可以。
但是如果说：
A、B必须相邻，而且A必须在B左边。
那么：
AB唯一。
所以是：
5!
二十四、再看一个插空综合题
4个男生：
A B C D3个女生：
X Y Z排成一排，要求：
女生之间不能相邻。
先排男生：
4!
男生形成：
_ A _ B _ C _ D _共有：
5
个空。
3个女生必须占不同的空。
选择3个空：
女生内部排列：
3!
所以：
二十五、同学们一定要理解“为什么先排男生”
有人可能会问：
为什么不先排女生？
当然也可以尝试，但：
女生数量少时，先排男生会自然产生：
5个空然后把女生插进去。
因此有一个经验：
遇到“某一类元素不能相邻”，通常先把另一类排好，再利用空隙。
尤其当被限制的元素数量比较少时，插空法非常漂亮。
二十六、捆绑法 VS 插空法
我们用两个动画来理解。
必须相邻
A B ↓ [AB]叫：
捆绑
不能相邻
A B C ↓ _ A _ B _ C _把其他元素之间制造出空隙：
X A Y B Z C叫：
插空
二十七、把本课内容整理成一张表
| 题目条件 | 思考方法 |
|---|---|
| A、B必须相邻 | 捆绑 |
| A、B、C必须连续 | 捆绑 |
| A、B不能相邻 | 插空 / 补集 |
| A必须第一位 | 固定位置 |
| A必须最后一位 | 固定位置 |
| A必须在中间 | 固定位置 |
| A只能在第1或第5位 | 分类 |
| A、B相邻且A在B左边 | 捆绑，但内部只有1种 |
| 至少满足一个条件 | 常考虑补集 |
| 至多…… | 常分类或补集 |
二十八、CSP-J初赛的“解题流程”
以后遇到排列组合题，建议大家按照这个顺序想：
排列组合题 ↓ ┌────────┴────────┐ ↓ ↓ 有没有限制？ 没有限制 ↓ ↓ 有 直接算 ↓ ┌─────┼─────┬─────┐ ↓ ↓ ↓ ↓ 相邻 不相邻 固定 至少/至多 ↓ ↓ ↓ ↓ 捆绑 插空 定位 分类/补集二十九、特别提醒：不要死背公式
例如看到：
5个人，A、B相邻。
不要第一反应：
4!×2!
而应该问：
为什么？
因为：
A B C D E被我们转换成：
[AB] C D E这是4个整体。
所以：
4!
然后：
[AB]内部：
AB BA有：
2!
所以是：
4! × 2!
这样即使数字换成：
8个人，3个人必须相邻
你也能自己推出来。
这才是我们最希望达到的状态：
不是背答案，而是学会把复杂问题“变简单”。
三十、本课必背口诀
最后大家请记住：
🪄 排列组合三大魔法
必须相邻怎么办？
👉捆起来！
不能相邻怎么办？
👉插开来！
位置已经规定怎么办？
👉先固定！
相邻 → 捆绑
不相邻 → 插空
固定位置 → 定位
“或者” → 加法
“然后” → 乘法
三十一、课后练习
题1
6个人排成一排，A、B必须相邻。
问：使用什么方法？
答案：
捆绑法
题2
5个男生、3个女生排成一排，要求3个女生必须连续。
问：使用什么方法？
答案：
捆绑法
题3
4个男生、2个女生排成一排，要求两个女生不能相邻。
问：使用什么方法？
答案：
插空法
题4
7个人排队，A必须站在最左边。
问：使用什么方法？
答案：
固定位置。
题5
7个人排队，A只能站在第1位或第7位。
问：使用什么思想？
答案：
分类 + 分步。
题6
8个人排队，A、B相邻，而且A必须在B左边。
问：和“AB相邻”相比，有什么区别？
答案：
“AB相邻”时，内部有
AB、BA两种；“AB相邻且A在B左边”时，内部只有
AB一种。
本课的知识网络
把这两课连起来，大家脑中应该形成这样一张知识网络图：
排列组合 │ ┌───────────┴───────────┐ ↓ ↓ 基础计数 特殊限制 │ │ ┌────┴────┐ ┌───────┼────────┐ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 分类 分步 相邻 不相邻 固定位置 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 加法 乘法 捆绑 插空 定位上一课解决“怎么算”；这一课开始解决“有条件怎么算”。
下一步再进入 “ 至少、至多、排除法、补集思想 ”，排列组合就真正进入CSP-J初赛的综合题阶段了。
