简介：IBM ILOG CPLEX是业界领先的优化求解器，适用于线性规划、整数规划、二次规划及混合整数规划等场景。10个循序渐进的编程案例覆盖从简单线性规划、运输问题到整数规划、二次规划、混合整数规划，再到约束编程、多阶段决策、参数调整、灵敏度分析与API建模应用，帮助运筹优化初学者和工程技术人员理解CPLEX的建模与求解流程。压缩包共361个文件，以实例文件、数据文件和模型工程为主，涵盖dat、mod、oplproject等CPLEX OPL项目格式，另有xml、launch等辅助配置文件，整体仅760KB，轻量易用。目前已有456人学习下载。通过逐个案例的步骤解析、代码示例、结果分析与改进策略，读者能系统掌握变量、约束、目标函数的构建方法，并学会根据不同问题特性调整求解参数，进而灵活应用到实际资源分配与生产计划中。
1. 一套案例拆完 CPLEX：从 LP 到 MIP 再处处是坑的工程建模
一家制造企业同时面对订单、产能、原料三张表：排产吨数是连续变量，设备开不开是 0-1 变量，这就成了混合整数规划。IBM ILOG CPLEX 是这类问题的工业级求解器，能在几十万约束的问题上快速给出最优解与最优性证明。这套 10 个编程案例从线性规划、运输问题、整数规划、二次规划，一路讲到混合整数规划、约束编程、多阶段决策、参数调整、灵敏度分析和 API 建模。适合刚接触运筹优化的 Python 用户建立建模手感，也适合在 MATLAB 里配过 Gurobi、现在要把 CPLEX 接入工程的开发者；前四个案例解决怎么建模型，后六个解决模型为什么慢、解出来怎么解释。
2. 案例一与案例二：线性规划和运输问题的建模底座
先把环境问题解决，再谈建模。CPLEX 的安装分成求解器引擎和编程接口两层，很多教程只提 pip install，结果用户跑起来才发现引擎根本没配好。安装过程的正确顺序，直接影响后面十个案例能不能复现。
2.1 安装、下载与许可证校验
2.1.1 在 Anaconda 里集成 CPLEX
大多数项目我习惯用 Anaconda 管理 Python 环境，把 CPLEX 求解器引擎和 Python API 分开装：求解器引擎是二进制程序，API 只是外壳。从官网下载 CPLEX 安装包时选对平台，Windows 就选 Windows-x86-64，Linux 服务器选 Linux-x86-64；如果只用 Python 建模，直接通过 conda 小宝库装 IBM 维护的包更快：
conda install -c ibmdecisionoptimization cplex pip install docplex先装 cplex 再装 docplex，两者版本要匹配。conda 源里的 cplex 会把求解器引擎一起带进来，docplex 是高层建模库，代码里同时用到import cplex和from docplex.mp.model import Model时，实际依赖关系是 docplex 调用 cplex 的 Python API。我在内网环境部署过这套组合，离线安装需要提前把缓存目录准备好，运行时不会联网校验。
逻辑说明：conda 安装的是引擎包，pip 安装的是建模 API。参数方面，如果没有 conda 环境权限，可以去 IBM 官网下完整安装包，但安装路径不要带空格和中文，否则后续动态库加载会报出诡异的依赖错误。
2.1.2 许可证校验
装好之后先验证 license，这一步能排除后面一半的疑难杂症：
import cplex print(cplex.Cplex().get_version())能打印出版本号说明引擎和 Python 接口都通了。如果报 license 相关错误，检查环境变量ILOG_LICENSE_FILE或CPLEX_STUDIO_DIR是否指向许可证目录。常见做法是运行安装目录下的许可证配置程序重新设置，或者把 license 文件放到默认的~/cplex下。这一步过不去，后续建模代码写得再漂亮也跑不起来。
注意：CPLEX 安装目录包含空格时，部分版本的动态库加载会失败，建议装到纯英文路径。
2.2 案例一：简单线性规划的目标式写法
线性规划是所有案例的底座：目标函数和约束都是线性的，决策变量连续。第一个案例我通常写成生产能力匹配问题，两种产品共享库存和工时。
from docplex.mp.model import Model m = Model("lp_production") x1 = m.continuous_var(name="P1", lb=0) x2 = m.continuous_var(name="P2", lb=0) m.maximize(2 * x1 + 3 * x2) m.add_constraint(x1 + x2 <= 12, "material") m.add_constraint(3 * x1 + x2 <= 30, "labor") info = m.solve() if info: print(x1.solution_value, x2.solution_value, m.objective_value)逻辑说明：continuous_var创建非负连续变量，maximize设定目标方向，add_constraint的第二个参数给约束命名。solve()返回值包含求解状态，打印出来的是每个变量的取值和最优目标值。
参数说明：lb=0是默认下界，如果要允许变量为负，要显式设lb=-cplex.infinity。上面例子是最简单的三条约束两条线，CLP 算法直接得到顶点解，无需分支。把第二个约束下界改成 28 再跑，可行域会发生变化，最优解也落在另一个顶点上，这就是单纯形法的几何直觉。
2.3 案例二：运输问题与网络流建模
运输问题是运筹学的经典模型：多个产地、多个需求地，求最小运输成本。网络流模型的核心是节点平衡约束，比线性规划更贴近业务，因为约束结构里自带"流入等于流出"的语义。
2.3.1 成本矩阵与供需约束
假设两个产地 A1、A2，三个需求地 B1、B2、B3，产量和需求如下表：
| 产地\需求地 | B1 | B2 | B3 | 产量 |
|---|---|---|---|---|
| A1 | 8 | 6 | 10 | 300 |
| A2 | 9 | 12 | 7 | 200 |
| 需求量 | 200 | 150 | 150 | 500 |
这里总产量等于总需求量，是平衡运输问题。如果不平衡，需要引入虚拟产地或虚拟需求地，把不等约束变成等式约束，这是网络流建模里最常见的坑。
2.3.2 字典建模与循环约束
from docplex.mp.model import Model supply = {"A1": 300, "A2": 200} demand = {"B1": 200, "B2": 150, "B3": 150} cost = { ("A1", "B1"): 8, ("A1", "B2"): 6, ("A1", "B3"): 10, ("A2", "B1"): 9, ("A2", "B2"): 12, ("A2", "B3"): 7, } m = Model("transport") x = m.continuous_var_dict(cost.keys(), lb=0) for a in supply: m.add_constraint(m.sum(x[a, b] for b in demand) == supply[a], f"supply_{a}") for b in demand: m.add_constraint(m.sum(x[a, b] for a in supply) == demand[b], f"demand_{b}") m.minimize(m.sum(cost[i] * x[i] for i in cost.keys())) m.solve() print(m.objective_value)逻辑说明：continuous_var_dict给每一对 (产地, 需求地) 创建一个运量变量；第一个循环加供给约束，第二个循环加需求约束。目标函数用sum把运价和运量相乘累加，minimize表明这是成本最小化问题。
参数说明：这里==写成等式约束是因为产销平衡；不平衡时，产量大于需求量的产地用<=，需求量大于产量的需求地用<=，方向不能搞反。这个模型跑完的最优值是 3850，可以手工用最小元素法验算，能看出西北角法给出的初始解和最优解的差距。
3. 案例三与案例五：整数规划与混合整数规划的变量设计
整数规划处理的问题是"决策变量只能取整数值"。第一个误区是把它当线性规划直接求，得到分数解；第二个误区是把分数解四舍五入，结果约束被破坏。这一章用两个案例把整数变量和 0-1 变量的建模差异拆开。
3.1 案例三：先看 LP 松弛再看整数解
假设三个容器，容量分别为 5、8、6，要装下总重量 20，每个容器只能整体装满。先无视整数约束求 LP 松弛：
from docplex.mp.model import Model m = Model("ip_bin") x1 = m.continuous_var(name="x1", lb=0) x2 = m.continuous_var(name="x2", lb=0) x3 = m.continuous_var(name="x3", lb=0) m.minimize(x1 + x2 + x3) m.add_constraint(5 * x1 + 8 * x2 + 6 * x3 == 20) m.solve() print(x1.solution_value, x2.solution_value, x3.solution_value)逻辑说明：目标是最小化使用的容器个数，LP 松弛会给出分数解，比如 x1 接近 1.2、x2 等于 1、x3 接近 0.666。这时候四舍五入会让等式约束不再成立，必须用整数变量。
把变量声明换成整数变量：
x1 = m.integer_var(name="x1", lb=0) x2 = m.integer_var(name="x2", lb=0) x3 = m.integer_var(name="x3", lb=0)整数变量声明之后，CPLEX 内部自动切换为分支定界算法。注意观察求解日志，多出Nodes和Best Integer两列，记录的是分支搜索节点数和当前最优整数解。如果问题规模大，不能直接穷举，要靠 cut 生成去裁剪搜索树。
参数说明：整数变量用integer_var，0-1 变量用binary_var。0-1 变量是整数变量的特例，但约束矩阵裁剪效果差异很大，后面 MIP 案例会看到。
3.2 案例五：混合整数规划中的设备选择问题
生产计划场景里最常见的模型：选择哪些设备开工，一旦开工就有固定成本，连续变量表示产量。设备 A 和设备 B 的产能分别是 40 和 30，固定成本分别是 1000 和 800，单位变动成本分别为 2 和 3，总需求是 50。
from docplex.mp.model import Model m = Model("mip_equipment") A = m.binary_var(name="use_A") B = m.binary_var(name="use_B") a = m.continuous_var(name="ton_A", lb=0) b = m.continuous_var(name="ton_B", lb=0) m.add_constraint(a <= 40 * A, "cap_A") m.add_constraint(b <= 30 * B, "cap_B") m.add_constraint(a + b >= 50, "total_demand") m.minimize(1000 * A + 800 * B + 2 * a + 3 * b) m.solve() print(A.solution_value, B.solution_value, a.solution_value, b.solution_value)逻辑说明：binary_var表示开关，a <= 40 * A是关键约束，A=0 时产量被压到 0，A=1 时产量上限为 40。这叫大 M 约束，M 取产能上限。固定成本进入目标函数，变动成本乘连续变量，这就是混合整数规划的基本范式。
参数说明：大 M 的取值要尽量紧。取 40 而不是 100000，因为 LP 松弛后的可行域更小，分支定界收敛更快。这个模型解出来是 B 开满 30 吨、A 开 20 吨，总成本 1840。如果不用大 M 约束，可行域里会包含"不开机也生产"的不合理解，求解器不会感知固定成本的存在。
| 变量类型 | API | 适用场景 | 求解算法 |
|---|---|---|---|
| 连续变量 | continuous_var | 产量、流量、仓位 | 单纯形 |
| 整数变量 | integer_var | 台数、件数 | 分支定界 |
| 0-1 变量 | binary_var | 开关、选址、分配 | 分支定界 + cut |
注意：大 M 约束的 M 值过大会拖慢分支定界收敛，建议取业务上的真实上限，而不是随手写一个 100000。
4. 案例四与案例六：二次规划和约束编程的适用边界
线性模型之外，还有两类问题经常出现：目标里有变量的平方项，约束里有一堆"互斥、排序"逻辑。前者对应二次规划，后者对应约束编程，两条技术路线的选型逻辑完全不同。
4.1 案例四：二次规划的目标式与凸性
二次规划的目标函数包含变量的二次项。风险平价组合优化是最典型的例子：投资组合方差最小化，权重和为 1，单个权重有上下限。
from docplex.mp.model import Model m = Model("qp_portfolio") x1 = m.continuous_var(name="w1", lb=0) x2 = m.continuous_var(name="w2", lb=0) m.add_constraint(x1 + x2 == 1) m.minimize(0.5 * (x1 * x1 + 2 * 0.3 * x1 * x2 + x2 * x2)) m.solve() print(x1.solution_value, x2.solution_value)逻辑说明：目标里x1*x1等二次项直接写，CPLEX 求解前会做凸性检测。凸二次规划有唯一全局最优解；非凸问题需要额外处理，否则可能会得到局部最优或者直接报错。
参数说明：如果目标写成minimize(x1*x2)这类交叉项，默认求解器可能提示目标非凸。检查方式是把二次项系数矩阵做特征值分解，全为正就是正定凸问题。实际工程中更常见的做法是对协方差矩阵做处理，把特征值钳到正数，这比调求解器参数省事得多。
import numpy as np cov = np.array([[1.0, 0.3], [0.3, 1.0]]) ev = np.linalg.eigvalsh(cov) assert ev.min() > 0, "covariance must be positive definite"这段代码用于在建模前验证二次项的凸性，避免把问题丢给求解器后才发现模型本身不可解。特征值检查和建模代码是两层关注点：前者验证数据，后者表达优化逻辑。
4.2 案例六：约束编程处理逻辑约束
约束编程（CP）和数学规划（MP）思路完全不同：MP 用不等式和目标函数表达问题，CP 用变量域和全局约束表达问题。排班、路径、装箱类问题，约束关系往往是"谁和谁不能同时做""这些位置必须各不相同"，写成 MIP 需要大量 0-1 变量，写成 CP 一个all_different就解决。
from docplex.cp.model import CpoModel m = CpoModel() tasks = m.integer_var_list(4, 1, 10, "task") m.add(m.all_different(tasks)) m.add(m.element(tasks, 0) + 5 <= m.element(tasks, 2))逻辑说明：integer_var_list创建四个取值 1 到 10 的整数变量；all_different保证两两不同；element按索引取变量当前值，构成长短逻辑约束。CP 求解器用约束传播维护每个变量的值域，遇到矛盾就回溯。
参数说明：CP 的变量可以是不连续的整数域。当问题里大量出现互斥、排序逻辑时，优先考虑 CP；当目标是线性函数且规模巨大时，MP 通常更高效。CPLEX 同时提供两个引擎，分别用docplex.mp和docplex.cp模块导入，不需要额外装求解器。
| 维度 | 数学规划 MP | 约束编程 CP |
|---|---|---|
| 变量表达 | 线性目标 + 线性/二次约束 | 任意变量域与全局约束 |
| 强项 | 大规模连续与线性结构 | 排序、互斥、强逻辑约束 |
| 求解机制 | 分支定界 / 单纯形 | 约束传播 + 回溯 |
| 典型场景 | 生产计划、物流网络 | 排班、装箱、路径规划 |
有的复杂项目会混合建模：外层 MIP 选设备，内层 CP 排班，两个模型之间用双阶段接口交换解。这种模式在 10 个案例里没有直接展开，但参数调整一章的思路完全可以套用。
5. 案例七、八、九：参数调整、灵敏度分析与多阶段决策
这三个案例偏工程：模型已经建好，下一步是"怎么算得快"和"解出来的东西怎么解读"。对 5 年以上的人来说，这章才是从会用到会用好的分水岭。
5.1 案例八：按问题特性调整求解参数
不同问题适合不同算法：LP 用单纯形，运输网络用网络单纯形或 barrier，MIP 则依赖预处理、cut 生成和启发式。多数情况下默认参数就好，但遇到长时间不收敛时，我一般优先调整下面几个参数：
| 参数 | 作用 | 常见设置 |
|---|---|---|
| TimeLimit | 硬性求解时限 | 60~600 秒 |
| MIPFocus | 控制搜索策略偏向可行解还是最优性 | 1 偏向可行，2 偏向最优，3 兼顾 |
| EpGap | 最优间隙阈值 | 0.01 表示找到 1% 以内的解就停 |
| Threads | 并行线程数 | 4~8，超过核数反而慢 |
| PreInd | 是否启用预处理 | 默认开，模型病态时关闭 |
在cplex模块中直接设置：
import cplex cpx = cplex.Cplex() cpx.set_log_stream(None) cpx.parameters.timelimit.set(60) cpx.parameters.mip.tolerances.mipgap.set(0.01) cpx.parameters.threads.set(4) cpx.parameters.mip.strategy.search.set(cpx.parameters.mip.strategy.search.values.dynamic)逻辑说明：set_log_stream(None)关掉日志刷屏，参数逐个设置。mipgap是相对最优间隙，找可行解阶段把它放宽，求解时间能降一个数量级；进入验证阶段再收回到 0.01%。
参数说明：mip.strategy.search.dynamic是较新版本 CPLEX（比如 20.x 系列）推荐的分支策略，对不规则模型比固定探针法更友好。注意mipgap和TimeLimit是竞争关系，谁先满足谁停。调参时一次只改一个参数，否则无法定位是哪个设置起的作用。
5.2 案例九：LP 模型看对偶，MIP 模型看场景
灵敏度分析在 LP 中的含义很明确：最优解下，某个约束右端项变化一个单位，目标值的变化量是对偶价格；某个非基变量成本变化到哪个区间，最优基保持稳定。这些通过求解后的对偶值直接读：
# 在 LP 求解成功后访问对偶价格 for cn in m.iter_constraints(): print(cn.name, cn.dual_value) for v in m.iter_variables(): print(v.name, v.reduced_cost)这里的m是前面任一已求解的 LP 或 QP 模型。逻辑说明：dual_value是每单位 RHS 变化的目标边际影响，reduced_cost是让变量进入最优基需要降低成本的下限。生产计划里看到人工工时约束的对偶价格高，说明瓶颈在这里，扩产应该优先改这组约束。
参数说明：MIP 模型没有传统意义的 dual_value，这时候灵敏度分析退化为场景推演：把某个参数上调 5% 重跑一遍，对比目标值和变量取值。我通常写一个小循环，批量改约束的右端项，记录目标值变化曲线，判断解是否稳健。对多阶段决策问题，这个场景推演思路可以直接扩展成随机规划。
5.3 案例七：多阶段决策与随机规划的确定性等价
多阶段问题呈现决策树的形状，最简单的是两阶段随机规划：今天做一次性决策，明天某个随机事件发生后做调整决策，目标是两者期望成本最小。下面是一个缩微例子，两个等概率场景：
from docplex.mp.model import Model m = Model("two_stage") x = m.integer_var(name="first_stage", lb=0, ub=10) y1 = m.integer_var(name="y_scene1", lb=0, ub=5) y2 = m.integer_var(name="y_scene2", lb=0, ub=8) m.add_constraint(x + y1 >= 8) m.add_constraint(x + y2 >= 11) m.minimize(3 * x + 0.5 * (2 * y1 + 4 * y2)) m.solve() print(x.solution_value, y1.solution_value, y2.solution_value)逻辑说明：第一阶段变量x在两个场景中取值相同，场景二阶段变量各自取各自的值，这就是确定性等价模型。CPLEX 对这类稀疏大模型优先开 barrier，因为场景之间耦合度低，矩阵接近块对角。
参数说明：场景数量超过 50 个后，直接把全部场景展开往往内存吃紧，常见做法是用 Benders 分解把场景切分到子问题中。CPLEX 支持自动 Benders 切分，通过参数benders.strategy控制：0 关闭，1 自动，2 手动做场景聚合。案例七提供的是多阶段决策的建模骨架，实际项目里场景概率通常来自历史数据或蒙特卡洛抽样。
6. 案例十：模型构建与 API 使用的高效套路
最后一个案例把前面所有建模经验收拢成一个可复用模板。重点不是写一个能跑的 demo，而是让你换数据、换问题结构时不重写代码。
6.1 可复用的构建模板与模型导出
我习惯把求解逻辑抽象成六个步骤：数据、变量、约束、目标、求解、结果解析。下面这个函数复用了十几次，换数据不换代码：
from docplex.mp.model import Model def solve_production(data): m = Model("production_solver") x = m.continuous_var_dict(data["products"], lb=0) for r, rhs in data["resources"].items(): m.add_constraint( m.sum(data["usage"][r][p] * x[p] for p in data["products"]) <= rhs ) m.maximize(m.sum(data["profit"][p] * x[p] for p in data["products"])) if m.solve(): return m.objective_value, {p: x[p].solution_value for p in data["products"]} raise ValueError(f"solve failed: {m.solve_status}") m.export_as_lp("/tmp/model_debug.lp") m.refine_conflict()逻辑说明：函数只依赖data字典，变量字典、约束循环、目标求和全部抽象成模板。export_as_lp导出模型文件，用文本编辑器肉眼检查约束系数有没有配错；refine_conflict在模型不可行时返回冲突约束的最小集合。
参数说明：模型不可行时，先看冲突集合再动手改数据，比盲目放宽约束高效得多。solve_status里的infeasible和unbounded是两条完全不同的调试路径：前者是约束矛盾，后者是目标方向或变量下界写错。
6.2 多求解器共存时的环境取舍
环境里同时装了 Gurobi 和 CPLEX 并不冲突，两者是独立的动态库和 Python 包，import cplex只会走 CPLEX 的 site-packages。真正会出问题的是 PATH 和 LD_LIBRARY_PATH 被不同安装包的动态库污染。确认当前 Python 实际加载的是哪个包：
import cplex print(cplex.__file__) print(cplex.__version__)如果打印出的路径不是想用的版本，把 site-packages 里多余的 cplex 目录清掉，或者用PYTHONPATH精确指定目录。MATLAB 里关联了 Gurobi 之后，再装 CPLEX 一样可行，只需在 MATLAB 的startup.m里设置 CPLEX 路径，两者通过不同的 Java 包隔离。关键是不要让两个环境同时修改同一个 Python 的 site-packages。
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