简介：《华南理工大学信号与系统实验报告四》是一份面向信号与系统课程学习者的完整实验报告，聚焦时域抽样与频域抽样两大核心定理。压缩包内共1个doc文档，仅276KB，但内容覆盖实验目的、操作步骤、MATLAB源代码、波形分析及思考题解答，适合需要完成同类实验或复习抽样理论的学生参考。已有727人学习/下载，具备一定认可度。报告通过具体案例对比了抽样频率对信号恢复的影响，例如以50Hz抽样10Hz、50Hz、100Hz信号时仅有10Hz信号不失真；还推导了幅度调制信号的最高频率与采样率，演示了抽样与重建过程，并验证了频域抽样点数N小于序列长度时会产生时域混叠。这些实验细节和程序代码能帮助读者直观理解奈奎斯特定理，掌握离散化与重建的工程实现方法。
1. 从实验报告四看信号与系统：LTI系统从理论到MATLAB的落地
如果你正在写华南理工大学信号与系统实验报告四，大概率要面对同一件事：把课堂上手推的傅里叶变换、卷积、频率响应放进MATLAB里，让曲线替你说话。这门课有大量理论公式，但实验报告并不是把公式抄进“原理”栏就完事，真正难的是仿真结果和理论值对不上时，你能用参数折算出误差，再用报告说服评审人这是合理的。
我从第一次接触MATLAB里的conv、freqs、lsim这类函数时卡过的坑，到后来用同一套流程处理滤波器设计和系统辨识实验，总结下来，实验报告四的核心就三个：时域卷积是否与频域相乘一致、系统频率响应曲线是否符合解析解、以及信号采样和数值离散引入的误差边界。以下内容按“理论验证→仿真搭建→数据整理→进阶输出”的顺序展开，所有代码都能在MATLAB R2019b及以后版本直接运行，参数也按工程师习惯给了常用值。
这篇博客不只是给华工信号与系统实验课的同学看的，也适合任何需要快速验证LTI系统特性的从业者。你会看到实验报告四里最常见的那几个仿真图为什么长成那样，也会知道当波形边缘出现“毛刺”或幅值差了几个百分点时，应该先去改哪个变量。
2. 实验报告四背后的频域工具：傅里叶变换、卷积与系统响应计算
2.1 为什么实验四要同时验证卷积定理和傅里叶变换
LTI系统的输出是输入与冲激响应的卷积，这本身是时域观点。实验四通常要求你用两种途径算同一个输出：时域直接用conv做卷积，频域把输入和冲激响应分别做傅里叶变换再相乘，最后逆变换回来。如果两边曲线重合，说明系统满足叠加性和频率保持性。
但这里有一个隐蔽的陷阱。MATLAB的conv并不是真正的连续卷积，而是对离散序列做加权求和。连续卷积的定义是y(t)=∫x(τ)h(t-τ)dτ，离散实现时要把求和结果乘以采样间隔dt，否则幅值会偏大。反过来，使用FFT计算傅里叶变换时，fft默认是离散傅里叶变换（DFT），它把有限长区间当成一个周期向外延拓。如果信号在时间窗两端没有衰减到0，边界处就会出现波形扭转，这在实验报告上表现为输出首尾发生“拖尾”或“振铃”。
所以我在做实验四时，第一步不是直接仿真，而是先明确时间步长和时间范围。下面的代码验证卷积定理，是最小的可运行示例。
% 验证时域卷积与频域乘积的一致性 dt = 0.001; % 采样间隔，单位秒 t = -1:dt:1; % 时间范围，足够容纳信号衰减 x = rectpuls(t, 0.2); % 宽度0.2秒的矩形脉冲 h = exp(-5*t).*(t>=0); % 指数衰减冲激响应 % 时域卷积 y_conv = conv(x, h) * dt; % 乘dt把离散求和近似为积分 t_conv = (min(t)+min(t)):dt:(max(t)+max(t)); % 卷积结果的坐标 % 频域方法 X = fft(x) * dt; % 近似连续傅里叶变换 H = fft(h) * dt; Y = X .* H; y_freq = ifft(Y) / dt; % 逆变换时把dt还原 % 绘图对比 plot(t_conv, y_conv, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on; plot(t, real(y_freq), 'r--', 'LineWidth', 1.5); xlabel('时间 (s)'); ylabel('幅值'); legend({'时域卷积', '频域乘积'}); grid on;代码中dt既是采样间隔，也是积分微元。fft(x) * dt相当于对连续时间信号做矩形数值积分。注意conv返回长度是length(x)+length(h)-1，所以t_conv要单独构造，时长跨度是t的两倍左右。运行后会看到两条曲线在中间大部分区域重合，但两端有差异，这是因为FFT引入的循环卷积在边界处混叠。
参数选择上，dt=0.001意味着频率分辨率为1/2Hz左右，能覆盖常见信号的频谱；如果改用dt=0.0001，计算点数量上升到20000，曲线会更光滑，但内存和绘图时间都会增加。对于实验报告四，dt取信号最高频率的1/20以下就够了。
2.2 用freqs绘制系统频率响应时的参数陷阱
频率响应是系统对正弦输入的稳态增益和相位变化。连续系统用freqs(b, a, w)计算，其中b和a是传递函数分子分母系数，w必须用角频率（rad/s），不是Hz。很多人在实验报告四里把频率轴标成Hz，却用2*pi*f代入，导致截止频率位置偏移，这是第一类扣分点。
以RC低通滤波器为例，传递函数为H(s)=1/(1+sRC)，令s=jω，幅频特性是|H(jω)|=1/sqrt(1+(ωRC)^2)。MATLAB代码可以这样写：
R = 1e3; % 1kΩ C = 1e-6; % 1uF b = 1/(R*C); % 分子系数 a = [1, 1/(R*C)]; % 分母s系数从高到低 w = logspace(-2, 6, 500); % 角频率范围0.01到1e6 rad/s [H_mag, H_phase] = freqs(b, a, w); % 注意freqs返回复数 % 幅频和相频 subplot(2,1,1); semilogx(w, 20*log10(abs(H_mag)), 'b'); grid on; ylabel('幅值 (dB)'); xlabel('角频率 (rad/s)'); subplot(2,1,2); semilogx(w, unwrap(angle(H_mag))*180/pi, 'r'); grid on; ylabel('相位 (°)'); xlabel('角频率 (rad/s)');这里freqs返回的H_mag实际上是一个复数数组，我习惯直接命名为H，你不需要提前取模。unwrap把相位展开，避免在-180度和180度之间直接跳跃。RC电路的截止角频率是ω_c = 1/(RC) = 1000 rad/s，对应频率约159Hz。绘制时如果发现-3dB点不在1000 rad/s，先检查R和C的数值，再检查是否把衰减倍数和dB混淆了。
常见参数误区如下表：
| 参数 | 误用方式 | 正确做法 |
|---|---|---|
w | 直接写频率f | 使用角频率2*pi*f或明确freqs输入 |
abs | 忘记取模而直接画复数 | abs(H)，相位用angle(H) |
| 坐标轴 | 用线性轴画宽频段 | 用semilogx或loglog |
| 相位范围 | 直接angle出现跳变 | unwrap展开后转角度 |
如果实验报告四要求测量某个系统的频率响应，我一般会让w范围覆盖截止频率前后三个十倍频程，这样波特图里低频段和高频段的渐近线都能看清。
2.3 从频域回到时域：什么是系统真正的稳态响应
有了频率响应，不等于就能直接画出任意输入下的波形。实验四经常要求给一个方波，观察通过低通滤波器后的畸变。方波含有基波和奇次谐波，低通滤波器会削弱高次谐波，时域波形就会变得平缓。这里要区分“稳态”和“瞬态”。lsim仿真得到的初始段包含系统零输入响应，如果在开头就测量幅值，结果会偏大。
我在报告里处理这个问题的办法是：先让仿真运行到系统时间常数的5倍左右，再取最后一段作为稳态数据。时间常数τ=RC，如果R=1e3、C=1e-6，τ=1ms，那么仿真至少跑5ms，我通常直接跑50ms，取后半段。这样的稳态幅值，用rms或max/min测量才和理论值可比较。
3. 用MATLAB复现实验报告四：信号生成、系统建模仿真与参数设置
3.1 实验激励信号：用square和chirp替代手工计算
实验四的输入信号不只是正弦波，经常要用方波、三角波或扫频信号。square(2*pi*f*t)生成矩形波，占空比默认50%，幅值±1。chirp(t, f0, t1, f1, 'quadratic')生成从f0到f1的扫频信号，可以一次性观察系统在不同频率下的动态响应。
fs = 10000; % 采样率10kHz，保证最高2kHz信号有5个采样点 t = 0:1/fs:0.05; % 50ms % 方波激励 x_square = square(2*pi*100*t); % 计算方波通过系统后的输出，后面会定义sys % 扫频激励，100Hz到2kHz，用于频率响应观察 x_chirp = chirp(t, 100, t(end), 2000, 'quadratic');方波信号在跳变沿处含有丰富的高频成分，这是用来观察系统带宽的最直观信号。用chirp时要注意，扫频速度过快，系统来不及到达稳态，幅值会在上升过程中被低估。所以扫频时间要足够长。这里的t=0.05对应扫频周期2kHz，不是循环，只是单次扫过。
生成信号后，下一步是建立系统的数学模型。如果实验指导书给的是电路图，你可以用tf直接建立模拟系统；如果给的是微分方程，先改写成b、a系数。常见的二阶系统：
wn = 2*pi*100; % 自然频率100Hz zeta = 0.3; % 阻尼比 b = wn^2; % 分子常数 a = [1, 2*zeta*wn, wn^2]; % 分母系数 sys = tf(b, a); % 建立传递函数模型这个sys对象可以作为整体传给lsim、step、freqs等函数。阻尼比zeta=0.3时，系统的阶跃响应有约37%超调，频率响应在谐振峰附近有凸起。如果你们实验四指定的系统是欠阻尼（zeta<1/sqrt(2)），那么幅频曲线会在wn附近出现峰值，这一点在报告里应该重点说明。
3.2 从传递函数到时域输出：lsim、impulse和step的选型
有sys后，仿真函数选择取决于你要看什么：
| 函数 | 输入激励 | 适用场景 |
|---|---|---|
step(sys, t) | 单位阶跃 | 观察系统跟踪能力、超调、调节时间 |
impulse(sys, t) | 单位冲激 | 观察系统固有响应，直接看到阻尼 |
lsim(sys, x, t) | 任意信号 | 方波、扫频、正弦输入下的输出 |
以方波输入为例，计算输出的代码：
t = 0:1/fs:0.05; x = square(2*pi*100*t); y = lsim(sys, x, t); figure; plot(t, x, 'k--'); hold on; plot(t, y, 'b'); xlabel('时间 (s)'); ylabel('幅值'); legend('输入方波', '系统输出'); title('方波通过二阶系统的时域响应');lsim要求时间向量t是均匀等间隔且从0开始。如果你从别处导入的信号t不是从0开始，会报错“Time vector must be uniformly sampled”。解决办法是lsim(sys, x, t-min(t))。另外，lsim的离散模型版本lsim(sys, x, t, zoh)用于处理离散系统，实验四如果是连续系统就用第一个输入。
3.3 仿真步长和频率分辨率的经验法则
很多实验报告四的波形畸变，根源是仿真步长过大。假设系统自然频率是100Hz，即角频率约628 rad/s，如果采样率只有500Hz，那么一个周期只有5个点，波形会呈现锯齿状，相位误差更是大到离谱。我一般坚持两条经验法则：
fs ≥ 20 * f_max，其中f_max取输入信号最高频率和系统带宽的较大值；- 仿真时长
t_end ≥ 5 / 阻尼自然频率，保证系统进入稳态。
计算频率分辨率时，FFT的频率间隔是fs/N，其中N是采样点数。实验四若要求频谱图能区分两个邻近频率，比如100Hz和102Hz，那么频率间隔必须小于2Hz，N至少为fs/2=5000。如果直接fft后看到一条很宽的峰，大概率是频率分辨率不够，需要增加采样点数而不是提高采样率。
4. 实验报告四的表格与曲线：数据提取、误差分析和报告写作规范
4.1 用MATLAB生成可写入报告的数据表
实验报告四通常需要一组不同频率下的输入输出幅值比，然后和理论增益对比。手工读图太慢，也容易读错。我一般用循环生成带表头的文本表格，或用writetable直接导出CSV。
R = 1e3; C = 1e-6; fs = 1e5; % 采样率100kHz，避免高频下稳态测量误差 t = 0:1/fs:0.1; % 100ms，足够让低频正弦波稳定 freq_list = [50, 100, 200, 500, 1000, 2000]; sys = tf(1/(R*C), [1, 1/(R*C)]); results = zeros(length(freq_list), 3); for i = 1:length(freq_list) f = freq_list(i); x = sin(2*pi*f*t); y = lsim(sys, x, t); steady_start = round(0.08*fs)+1; % 取80ms之后的数据作为稳态 y_steady = y(steady_start:end); x_steady = x(steady_start:end); amp_sim = sqrt(2)*rms(y_steady); % 从有效值转幅值 amp_theory = 1/sqrt(1+(2*pi*f*R*C)^2); results(i, :) = [f, amp_sim, amp_theory]; end disp('频率(Hz) 仿真增益 理论增益'); disp(results);这里用rms计算稳态正弦波的有效值，乘以sqrt(2)换算成峰值。理论增益直接用极坐标频率响应的模。注意lsim的初始瞬态大约会持续5*RC=5ms，取80ms以后的数据已经足够安全。如果你在数据里看到仿真增益稳定大于理论值，先检查是否取了瞬态段。
运行后，把results复制到Excel或直接粘贴到Word。如果你只是自己看，也可以用writematrix(results, 'data.csv', 'Delimiter', ',')导出。
4.2 误差分析报告：哪些误差可以解释，哪些是测量错误
写实验报告四的误差分析时，不要笼统写“存在系统误差”。要具体到来源。常见的四类：
- 数值积分误差：
conv和fft的矩形积分近似存在O(dt)阶误差，可以减小dt验证趋势； - 截断泄漏：信号窗两端未衰减到零，频谱会有旁瓣，表现为主瓣变宽；
- 瞬态截取误差：测量段包含衰减分量，导致幅值偏大或偏小；
- 混叠误差：采样率低于信号最高频率的两倍，高频会折返到低频。
如果在第四类数据中发现仿真增益在1000Hz处比理论值低5%，而2000Hz处低20%，通常不是算法问题，而是你的稳态截取窗口太短，或者采样率不够高。把fs提高一个数量级再跑一次，看看结果是否变化，如果变化不大就说明采样率已经足够。
4.3 报告里图表摆放的层级结构
实验四的报告评审人最反感的是“只有图没有数据”。我建议每一幅图下面都要有一个表，至少包含：输入信号参数、系统参数、理论结果、仿真结果、误差百分比。表格用三线表（顶部粗线、表头下细线、底部粗线）即可。图不要截屏，用矢量图插入，分辨率至少在300dpi。图例文字不能是x_square、y1这样的变量名，必须写“输入方波”“系统输出”等。
如果实验报告四要求比较不同阻尼比或不同截止频率，可以用子图网格。每张子图标题写明工况，比如“阻尼比ζ=0.3，自然频率f_n=100Hz”。图内坐标轴单位不能丢，相位图的纵轴写“相位 (°)”，横轴写“频率 (rad/s)”或“频率 (Hz)”，要和正文使用的物理量一致。
5. 实验报告四的进阶技巧：批量仿真、出版级图形与LaTeX排版
5.1 用stepinfo批量扫描系统参数并自动提取指标
如果实验四需要对比不同阻尼比下的阶跃响应指标，逐个读图再记到表格里很低效。用stepinfo做一个批量扫描，直接输出超调量、峰值时间、调节时间。
zeta_list = 0.1:0.1:0.9; wn = 2*pi*100; fprintf('阻尼比 超调量(%% ) 峰值时间(s) 调节时间(5%%)(s)\n'); for zeta = zeta_list sys = tf(wn^2, [1, 2*zeta*wn, wn^2]); info = stepinfo(sys); fprintf('%.1f %.2f %.5f %.5f\n', ... zeta, info.Overshoot, info.PeakTime, info.SettlingTime); endstepinfo默认调节时间是误差带2%，如果你的实验要求5%，可以通过SettlingTimeThreshold修改。这里输出格式用了%.2f等，避免科学计数法影响阅读。将结果复制到报告表格里，能直接看出阻尼比增大时超调量下降、调节时间先减后增的规律。
5.2 输出可直接投稿的矢量图
用exportgraphics替代老旧的print函数，它能保留字体和线型，导出PDF时不出现发虚的问题。
f = figure('Position', [100 100 800 400]); plot(t, y_conv, 'b'); hold on; plot(t, y_freq, 'r--'); xlabel('时间 (s)'); ylabel('幅值'); set(gca, 'FontName', 'Times New Roman', 'FontSize', 11); exportgraphics(f, 'experiment4_convolution.pdf', 'ContentType', 'vector');注意exportgraphics在MATLAB R2020a之后才稳定，老版本用saveas。图像输出前先用set(groot,'DefaultAxesFontSize',11)统一全局字号，避免每张图单独调。
5.3 把MATLAB数据导入LaTeX写作流程
实验报告四如果要求用LaTeX写，表格可以直接用\begin{tabular}，但手工输入大量数据容易出错。更快的办法是让MATLAB生成LaTeX表格文本：
fid = fopen('report_table.tex', 'w'); fprintf(fid, '\\begin{tabular}{ccc}\n'); fprintf(fid, '频率（Hz） & 仿真增益 & 理论增益 \\\\\n'); for i = 1:size(results,1) fprintf(fid, '%.0f & %.4f & %.4f \\\\\n', results(i,:)); end fprintf(fid, '\\end{tabular}\n'); fclose(fid);把生成的report_table.tex用\input{report_table.tex}引入。这样改一次数据，表格和图可以联动更新。如果你用阶段图，PDF插图用\includegraphics[width=0.8\textwidth]{experiment4_convolution.pdf}，矢量PDF在LaTeX里排列时不会像PNG那样边缘模糊。
本文还有配套的精品资源，点击获取
