均匀梁单元与有限元分析
1. 均匀梁单元
在结构工程中，梁单元常用于构建建筑框架和桥梁。均匀梁单元的运动方程可表示为：
[
\rho \frac{\partial^2 w(x, t)}{\partial t^2} + EI \frac{\partial^4 w(x, t)}{\partial x^4} = f(x, t)
]
其中，(\rho) 是单位长度的质量密度，(E) 是材料的杨氏模量，(I) 是横截面关于通过其质心的中性轴的二阶矩，(f) 是施加的横向分布力。该偏微分方程的齐次部分可通过分离变量法求解，即位移 (w(x, t)) 可表示为两个独立函数的乘积，一个与空间有关，另一个与时间有关。虽然此方程较为简单，可通过分离变量法得到封闭解，但实际中许多代表真实物理系统的偏微分方程并无封闭解，不过变量分离法仍可用于获得近似解。
2. 插值函数
假设位移 (w(x, t)) 可近似表示为：
[
w(x, t) \approx [\varphi_1(x) \quad \phi_1(x) \quad \varphi_2(x) \quad \phi_2(x)]
\begin{bmatrix}
w_1(t) \
\theta_1(t) \
w_2(t) \
\theta_2(t)
\end{bmatrix}
]
其中，(w_1(t)) 和 (w_2(t)) 分别是 (x = 0) 和 (x = \ell) 处的位移，(\theta_1(t)) 和 (\theta_2(t)) 分别是 (x = 0) 和 (x = \ell) 处的旋转角度，旋转角
