33、自旋 - 轨道耦合、原子核壳层模型与氦原子的量子态分析

自旋 - 轨道耦合、原子核壳层模型与氦原子的量子态分析

1. 狄拉克方程与氢原子能量

狄拉克方程具有相对论属性，必然包含相对论效应。求解狄拉克方程得到的氢原子量子化能量中，应包含源于电子自旋的项。狄拉克方程能量本征值的精确表达式为：
[E_{nj} = m_ec^2 \left(1 + \frac{(Z\alpha)^2}{\left[n - \left(j + \frac{1}{2}\right)\right] + \sqrt{\left(j + \frac{1}{2}\right)^2 - (Z\alpha)^2}}\right)]
其中，令(\alpha \to Z\alpha)以体现核电荷对单电子能量的影响。对该式（(z = 1)）进行展开可得：
[E_{nj} = m_ec^2 + E_n^{(0)} + \frac{\alpha^2}{n^2} E_n^{(0)} \left(\frac{n}{j + \frac{1}{2}} - \frac{3}{4}\right) + \cdots]
式中，(E_{nj})的展开式第三项与精细结构修正项相同。由于狄拉克哈密顿量未展开求精确能量本征值，无法确定各项源于相对论动能、自旋 - 轨道耦合还是达尔文修正。狄拉克方程精确解得到的能量本征值具有相对论性质，无法区分单个物理相互作用。因此，自旋 - 轨道项在极限情况下可归结为达尔文项，它们都源于相对论。此外，狄拉克方程精确解得到的氢原子本征值不包含兰姆位移和超精细结构效应，且这两种能量修正均大于(\alpha^4E_n^{(0)})，所以计算上述精确表达式展开式的其余项意义不大。

2. 自旋 - 轨道耦合与原子核壳层模型

自旋 - 轨道相