简介：2024年海淀区中小学生信息学竞赛校级预选赛试题，面向海淀区中小学生的信息学与编程基础选拔，可用于赛前模拟、知识自测与教师命题参考。试题含编程基础知识单选与程序阅读单选两类题型，覆盖变量命名、赋值语句、进制转换、表达式运算、函数与递归、循环控制、数组定义等核心考点；程序阅读部分要求根据给定代码推断输出结果，重点考察逻辑思维与代码调试能力。压缩包内含1个PDF文档，仅422KB，方便打印分发，适合课堂自测或居家练习。目前已有574人学习浏览，便于快速熟悉海淀区校级预选题型与难度。从预览可见，题目不仅考基础概念，还融入排序最少比较次数、分组方案计数等综合应用；程序阅读题涵盖因数计数、最大公约数与最小公倍数、回文数判断、素数筛选等经典算法，能帮助读者熟悉竞赛常见代码套路，提升读题与解题效率。
1. 海淀区这套校级预选赛，到底在筛什么
海淀区中小学生信息学竞赛的校级预选赛，往年最容易被低估。这份 1103 版本的 PDF 试题没有让考生直接写完整程序，而是把单选、程序阅读和问题阅读混在一张卷子里，恰好踩中了从语法入门到算法建模的过渡地带。对教练来说，它能判断一个学生是背了变量名规则，还是真的能在纸面上追踪循环和递归；对学生来说，这是一份极好的“体检报告”。下面按题型逐段拆解每一类题背后的考察意图、手算方法，并给出可复现的验证代码，适合准备海淀区复赛上机、以及想用原题做校内选拔的老师参考。
2. 基础选择：变量、二进制、表达式、循环的常见丢分点
2.1 变量名与赋值语句：C++ 语法的边界判断
校级预选赛的第一道分水岭，是变量名和赋值语句的合法性判断。合法变量名必须以字母或下划线开头，后面只能跟字母、数字、下划线，不能与 C++ 关键字冲突。int 2a;、double a-b;、char void;都是典型错误项。这里的坑往往不是“不知道规则”，而是看到熟悉的单词就放松警惕，比如float不是变量名，main虽然可以合法但容易误导。
赋值语句的考察更偏爱“边界写法”。char c = "a";是错误的，因为双引号表示字符串，不能直接赋给字符型变量；char c = 'a';才是正确写法。还有一类经典错误是混淆赋值号=和相等运算符==，在选择题里经常伪装成“表达式a+b的运算结果”这类说法。可以用下面这个程序快速验证数组初始化和字符赋值：
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { // 合法的变量名：字母或下划线开头 int _ok = 1, ok2 = 2; // int 2ok = 3; // 非法：数字开头 // char class = 'a'; // 非法：关键字 char c1 = 'a'; // 正确：单引号包单个字符 // char c2 = "a"; // 错误：双引号是字符串 int a[3][2] = {2, 3, 4, 5, 6, 7}; cout << a[1][1] << endl; // 输出 5，即第二行第二列 return 0; }代码里注释已经把变量命名和赋值两类坑标出来了。a[3][2]按行优先存储，初始化列表顺序依次填满第一行、第二行、第三行，所以a[1][1]对应第五个元素。这种题目不要求跑程序，但能在纸上画出一个 3 行 2 列的表格，答案就一目了然。
2.2 二进制转十进制与表达式优先级：算得快不如算得稳
二进制转十进制是竞赛入门必考。方法是从低位到高位按权展开，例如1011等于1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 11。许多学生习惯从高位开始算，遇到1001这种对称数字容易漏位。更稳妥的做法是列一张权值表：
| 二进制位 | 1 | 0 | 1 | 1 |
|---|---|---|---|---|
| 权值 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 贡献 | 8 | 0 | 2 | 1 |
结果就是 8+2+1=11。原题里如果给出的是五位或六位二进制，只要把表往后扩展一倍即可。另一个常考概念是字符型变量能否参与算术运算，答案是可以。字符在表达式里会被提升为 ASCII 码，例如'A' + 1的结果是 66。可以用简短代码验证：
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { cout << (7 / 2) << " " << (7 % 2) << endl; // 3 1 cout << ('A' + 1) << endl; // 66 return 0; }注意7 / 2在整数除法下结果是 3，不是 3.5；%取余得到 1。表达式优先级从高到低大致是算术、关系、逻辑、赋值，赋值表达式本身也有值，比如a = b = 3会先给b赋 3，再把 3 赋给a。这类选择题真正的考点不是“会不会算”，而是“能不能在紧张状态下不踩优先级和结合性的坑”。
2.3 循环、数组和函数：概念题里的文字陷阱
循环语句的考察重点在for和while的使用边界。for语句可以实现确定次数的循环，while同样可以，原题中“while 专用来实现不确定次数的循环”是错误的。break的作用是跳出当前循环，continue是跳过本次循环继续下一次，二者在被嵌套循环包裹时尤其容易混淆。
函数相关的概念题也有一个经典说法：C++ 中每个程序有且只有一个主函数，主函数是程序入口；函数支持嵌套调用，但不支持嵌套定义；递归函数是函数自己调用自己。题目里如果出现“函数不支持嵌套”这种表达，要结合上下文判断，通常指的是嵌套定义而不是嵌套调用。数组题则重点看下标从 0 开始，int a[3][2]只有a[0][0]到a[2][1]，访问a[2][2]已经越界，但很多学生下意识认为第二维下标也可以是 2。建议平时做题时把所有数组下标都写成从 0 开始，并且养成“先看边界再看值”的习惯。
3. 程序阅读：手算与机算对照，六段代码的拆解
3.1 因数计数、GCD 与 LCM：别只盯着循环范围
程序阅读第一题输入n，循环for(int i=1; i<n; i++)统计能整除n的i的个数。注意循环从 1 到n-1，不包含n本身。比如输入 12，i=1,2,3,4,6都能整除，输出 5。如果输入 6，输出 3。这里的易错点是漏掉 1，或者把i<n看成i<=n。
第三题是典型的求最小公倍数：c = min(a, b)后从大到小找最大公约数d，最后输出a*b/d。这个方法本身没有问题，但a*b可能溢出，竞赛中更稳的写法是a / d * b。可结合下面的表格理解三题的程序结构：
| 题号 | 核心变量 | 循环边界 | 输出含义 |
|---|---|---|---|
| 1 | n, cnt | i=1..n-1 | n 的除本身外因数个数 |
| 2 | n, m, cnt | i=1..n，cnt==6 提前 break | 同时整除 n 和 m 的因数个数 |
| 3 | a, b, c, d | i=c..1，找到即 break | a 和 b 的最小公倍数 |
第二题里cnt==6就提前结束，这是第一个坑。如果手算时不停下来，会继续数到很多因数。正确的追踪方式是同时列三个变量：当前i、条件是否成立、当前cnt。这样即使题目改成cnt==10也能快速迁移。
3.2 回文数与素数筛：从函数到前缀和
第四题实现了一个回文数判断函数f(x)，主程序统计1..n中回文数的个数。手算时可以从 1 开始枚举：1 到 9 全是回文数，11 到 99 中的回文数有 11、22、……、99。如果输入 11，输出是 10。这个题目的价值在于“函数返回值参与计数”，而不是直接输出判断结果。
第五题是埃氏筛的变种。先用a[i*j]=1标记合数，再做a[i]=a[i-1]+(1-a[i])的前缀和，最终a[n]表示n以内素数的个数。注意代码里先执行了a[1]=1，把 1 排除在素数之外。这个程序表面上是筛法，实际上考察的是“数组复用”：同一个数组先做标记，再做前缀和。可以把它压缩成验证代码：
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int n, a[10010]; int main() { cin >> n; a[1] = 1; for (int i = 2; i <= 10000; i++) { if (a[i] != 0) continue; for (int j = 2; j <= 10000 / i; j++) a[i * j] = 1; } for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = a[i - 1] + (1 - a[i]); cout << a[n]; return 0; }外循环只筛到10000/i，避免重复标记；内层j从 2 开始，所以i本身不会被标记。这个写法比直接j=i; j<=10000; j+=i少做大量无用遍历，但结果一致。需要留意的是，i*j可能超过数组范围，所以循环条件用j <= 10000 / i更安全。
3.3 素性判断与哥德巴赫猜想模拟：分支顺序决定结果
第六题先写了一个素数判断函数f(x)，主程序的分支顺序很讲究：如果f(n)为真输出 1；否则如果n是偶数输出 2；否则如果n-2是素数输出 2；否则输出 3。这个逻辑本质上是验证“奇数能否拆成两个素数之和”。
手算时要注意顺序不能颠倒。比如输入 27，27 不是素数，也不是偶数，但 27-2=25 不是素数，所以输出 3。如果输入 25，25 不是素数，不是偶数，但 25-2=23 是素数，输出 2。这道题几乎不考复杂算法，考的是“你有没有把if/else if当成顺序执行”。很多学生看到f(n)为真就直接选 1，却没有意识到后续分支对非素数也做了判断。
第七题是递归求最大公约数，代码只有六行。看这类递归程序，不要展开所有调用层，应该先找递归出口if(b==0) return a;，再沿参数变化写一行链条。例如输入 12 和 8，调用链是f(12,8) -> f(8,4) -> f(4,0)，结果 4。如果题目输入的两个数比较大，就观察a%b的变化，通常三五步内就能收敛。
3.4 死循环、continue 与因子计数：跟踪 i 的变化
第八题是一个没有显式退出条件的while(1)，它在内部通过break结束。程序先执行i++，再判断i%7!=0，只有 7 的倍数才会进入后面的因子计数。因子计数统计的是2..i-1之间能整除i的个数，也就是i除了 1 和自身之外的因数个数。当这个个数等于 6 时，说明i总共有 8 个因数。
手算时可以列出 7 的倍数并记录因子个数：
| i | 除 1 和自身外的因数 | cnt | 是否 break |
|---|---|---|---|
| 7 | 无 | 0 | 否 |
| 14 | 2,7 | 2 | 否 |
| 21 | 3,7 | 2 | 否 |
| 28 | 2,4,7,14 | 4 | 否 |
| 35 | 5,7 | 2 | 否 |
| 42 | 2,3,6,7,14,21 | 6 | 是 |
所以最终输出 42。这个表本身就是最好的追踪方法。验证代码可以直接复制到本地：
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { int i = 1, ans = 0; while (1) { i++; if (i % 7 != 0) continue; int cnt = 0; for (int j = 2; j < i; j++) if (i % j == 0) cnt++; if (cnt == 6) { ans = i; break; } } cout << ans; return 0; }把i++放在循环体开头，意味着第一次检查的是 2，而不是 1。continue会把非 7 的倍数直接跳过，所以表里只需要关注 7 的倍数。这里最隐蔽的坑是“因子计数个数等于 6”并不代表这个数只有 8 个因数，还要确认 1 和自身是否已经被自动包含，而代码中的cnt确实不包含 1 和i，所以cnt==6等价于总因数个数为 8。
4. 应用题：屏幕翻页、视频压缩、骰子与爬山，建模比写代码更重要
4.1 手机屏幕：位置编号与图标编号要分开算
手机屏幕题给出了应用排列、屏幕容量和启动顺序，但原始数据在试卷里被滤镜抹掉了。真正需要掌握的是一个通用映射：应用位置pos从 1 开始，所在屏幕编号等于(pos-1)/k+1，屏幕内位置等于(pos-1)%k+1。每次启动一个应用，先计算它当前所在屏幕，滚动操作次数就是该屏幕编号与 1 的差值再加启动一次。
启动后还要把该应用的位置与前一位置交换。如果它已经在位置 1，则不交换。这里最容易搞混的是“应用编号”和“位置编号”，位置编号会随着交换变化，应用编号不变。建议维护两个数组：loc[app]表示应用当前在哪个位置，who[pos]表示位置pos上是哪个应用。交换时同步更新两个数组。代码框架如下：
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 1005; int loc[MAXN], who[MAXN]; int main() { int n, m, k; cin >> n >> m >> k; for (int i = 1; i <= n; i++) { int app; cin >> app; who[i] = app; loc[app] = i; } long long total = 0; for (int t = 1; t <= m; t++) { int app; cin >> app; int p = loc[app]; int screen = (p - 1) / k + 1; total += screen; // 滚动到目标屏幕 + 双击启动 if (p > 1) { int prevApp = who[p - 1]; swap(who[p], who[p - 1]); swap(loc[app], loc[prevApp]); } } cout << total; return 0; }total累加的是每次启动所需操作数。这里的简化是假设回到第一屏不需要额外次数，因为题目明确说菜单自动返回第一屏。如果要扩展成“每次从当前屏幕开始”，只需要维护当前屏号，再计算两屏之间的最短滚动距离，但原题语境并不需要。
4.2 多服务器视频压缩：贪心调度与队头等待
视频压缩题给了多个服务器，每个服务器同一时刻只能压一个视频，视频按上传时间排队，有服务器空闲就立即开始。这种模型在操作系统调度里叫“多队列最早可用时间”，实现时不需要真的维护队列，只需要记录每个服务器的“下次空闲时刻”。
设finish_time[i]为第i台服务器的当前空闲时刻。新任务上传时间为t，最早空闲的服务器是finish_time最小的那个，开始时间等于max(t, finish_time[pos])，完成时间等于开始时间加上视频时长，然后更新该服务器。下面的代码可以处理题目中“除第 1 个和第 n 个视频外，其余视频长度相同”的特判：
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXM = 105; long long finish_time[MAXM]; int main() { int m, n; cin >> m >> n; for (int i = 1; i <= n; i++) { long long t; cin >> t; int len = 1; if (i == 1 || i == n) len = 2; // 按试卷模型修改 int pos = 1; for (int j = 2; j <= m; j++) if (finish_time[j] < finish_time[pos]) pos = j; long long start = max(t, finish_time[pos]); finish_time[pos] = start + len; cout << "video " << i << " finish at " << finish_time[pos] << endl; } return 0; }finish_time初始为 0，所以第一个视频上传后立刻开始。max(t, finish_time[pos])处理两种情况：服务器已经空闲但视频还没上传，或者视频已经上传但服务器还在忙。多服务器一起工作时，这个模型天然支持并行，不需要额外判断“是否有空闲服务器”。
4.3 掷骰子与爬山：把组合枚举转成判定
骰子题的核心是“某个骰子上的所有数字都可能出现”。假设有n个骰子，第i个骰子的面数为face[i]，所有骰子同时掷出后总和为S。要判断第p个骰子的某个面值x是否能出现，只需要看其他骰子的最小可能和与最大可能和是否覆盖S-x。其它骰子的最小和是每个骰子的面值 1 相加，最大和是每个骰子的面值上限相加：
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 105; int face[MAXN]; int main() { int n, S; cin >> n >> S; int sumMin = 0, sumMax = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { cin >> face[i]; sumMin += 1; sumMax += face[i]; } for (int p = 1; p <= n; p++) { int otherMin = sumMin - 1; int otherMax = sumMax - face[p]; bool ok = true; for (int x = 1; x <= face[p]; x++) { if (otherMin > S - x || otherMax < S - x) ok = false; } if (ok) cout << "dice " << p << " all faces possible" << endl; } return 0; }参数说明：otherMin是去掉第p个骰子后其余骰子的最小总和，otherMax是最大总和。只要S-x落在这个闭区间内，就存在一种组合。这个判断方法把指数级枚举压缩成一次区间判定，是校赛题里常见的“思维转化”。
小猴爬山题则是典型的一维随机游走。第 1 天和第n天海拔都是 0，相邻两天高度差不超过 1，问最高可能海拔。从极限角度看，想爬到高度H，至少需要H天向上、H天向下，所以H <= (n-1)/2向下取整。比如n=5时最高为 2，路径可以是 0,1,2,1,0；n=4时最高为 1，路径可以是 0,1,1,0。如果题目额外限制某些天必须经过某个高度，就在这个公式基础上用区间交判断，不能直接套结论。
5. 用这套真题组织一次校内选拔：判分、讲评与赛前冲刺
5.1 限时与判分策略
校级预选赛的定位是筛选，不是竞赛，建议把时长控制在 60 到 90 分钟。单选题占三十分钟，程序阅读占三十分钟，综合题最后做。判分时不要只看答案，程序阅读题可以要求学生写出关键变量变化表，例如i=28, cnt=4这种过程记录，能有效防止蒙答案。PDF 原题可以直接打印，也可以用问卷星做成在线版，自动统计每道题的错误率。
5.2 用 G++ 复现答案做交叉验证
上文的每段代码都可以单独保存成check.cpp，用g++编译后通过管道输入测试数据：
g++ check.cpp -o check echo "12" | ./check例如复现程序阅读第一题，输入 12 应输出 5；复现第三题，输入4 6应输出 12；复现第四题，输入 11 应输出 10。老师可以在课前跑一遍，把输出和手算结果对照，快速排查自己是否读错循环边界。注意每个题单独一个cpp文件，变量名重复不影响编译。
5.3 讲评时最值得强调的三个习惯
第一是变量改名。读程序时把cnt改写成“因数个数”，把ans改写成“答案”，能减少一半低级失误。第二是画跟踪表。遇到while和break组合时，列三列：当前循环变量、条件结果、计数变量，一行一行更新，比在脑子里空转可靠得多。第三是“先算范围再猜答案”。综合题里的数字往往故意给得很大，但屏幕题的核心是除法取整，爬山题的核心是公式，视频压缩题的核心是最小堆，复数数据反而是干扰项。把这套题拆完以后，可以按照错误率最高的三道题重新组一张十分钟小卷，下一轮训练直接用它做课前测，效果比整套重做更明显。
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