一种基于伴随方法的物理信息神经网络预处理框架
A matrix preconditioning framework for physics-informed neural networks based on the adjoint method
宋家豪，曹文博，张伟伟*
引用格式：
J. Song, W. Cao, W. Zhang, A matrix preconditioning framework for physics-informed neural networks based on the adjoint method, Physics of Fluids, 37 (2025).
编者按
----------
物理信息神经网络（PINNs）在正问题中的病态仍是限制其迈入复杂工程问题的一大局限。该工作设计了一种针对损失函数的预处理框架，通过降低PDE系统的条件数实现了对PINNs病态的缓解，在目前PINNs相对棘手的问题中取得了好的表现。
一、研究背景
物理信息神经网络（Physics-informed neural networks, PINNs）近年来日益受到偏微分方程（Partial differential equations, PDEs）求解领域的关注。自其提出以来，学者们发展了大量改进方法提升PINNs的表现，使其在流体力学、热传导和电磁学等领域得到了广泛应用。然而，受限于PDE损失函数的病态，PINNs在某些问题上难以获得令人满意的结果[1-3]。
在之前的研究[1]中，我们验证了PINNs的病态与PDE的Jacobian矩阵的紧密联系。具体地， PINNs的收敛随着Jacobian矩阵的条件数增加而变得困难甚至得到错误的结果。因此，本文提出了一种基于伴随方法的PINNs预处理框架，通过降低Jacobian矩阵的条件数来缓解PINNs的病态。
二、研究方法
考虑定义在的定常PDE，
其中表示PDE的解，
表示通用微分算子，
表示边界条件算子。对上式进行有限差分离散，
被一个离散系统
代替（
表示神经网络预测解）。对于线性PDE，
为线性系统。
其中A为Jacobian矩阵J
对于非线性PDE，在经过适当线化后，它也可以表示为线性系统。基于此，PINNs的PDE损失变为
在之前的研究[1]中，我们验证了PINNs的病态与Jacobian矩阵的联系，具体地，PINNs的收敛随着J条件数的增加而变得困难甚至得到错误的结果。因此，本文对PDE离散得到的线性系统做左预处理，假设预处理子为M，线性系统变为
上式表示的线性系统的Jacobian矩阵为，根据预处理理论，
（
表示矩阵的条件数）。因此，基于预处理后的线性系统构建损失函数可以改善PINNs的收敛性和精度。修正后的损失函数为
一个关键问题是获取预处理子M，它通常通过对J进行因子分解得到，例如本文使用的不完全LU分解。因此，我们首先结合自动微分和矩阵染色计算J。对于小规模问题，直接计算是可接受的。然而，对于大规模问题，计算
需要极大的计算和存储成本。因此，在实际中，
通常被求解
替代。例如，本文基于不完全LU分解
将
转化为依次求解
和
。凭借L和U的三角属性，两个线性方程组通过一次代入便可完成求解，成本很低。然而，因为代入过程不支持自动微分，得到的
被从计算图中分离（
表示变量从计算图中分离），这导致无法计算损失函数关于网络参数的梯度，梯度下降无法进行。本文通过引入伴随方法来解决这个问题。
考虑约束优化问题
为将上式转化为无约束优化问题，建立拉格朗日函数
其中λ为拉格朗日乘子，它的必要最优性条件为
其中自然满足,因为
是通过求解
得到。
容易通过
得到。因此，可以获得
关于
的偏导数
。因为
没有显式计算，本文使用计算
的方法类似地计算
。之后，建立新的损失函数，
该损失的数值与其关于网络参数的梯度与原始损失完全相同，并且它更加普适。因此，本文使用它作为预处理方法的损失函数。
三、结果与分析
A.二维Poisson方程
本文首先通过求解二维Poisson方程来验证所提方法的有效性，这个方程被广泛作为PINNs相关研究中的数值实验。
其中源项，解析解为
。我们设置k=15，根据Basir and Senocak的研究[4]，PINNs在这个条件下失效。
图1展示了使用PINNs和所提方法求解此问题的收敛历程。可以观察到尽管两种方法的损失下降了相同数量级，但预处理方法的误差比PINNs低一个数量级以上。类似的现象可以在[1, 2]中观察到，根据现有研究，由于PDE损失的病态，PINNs损失的下降并不意味着解精度的提升，它可能陷入错误的局部最优。
B.Navier-Stokes equations
本文进一步在Navier-Stokes方程上进行了测试，考虑顶盖驱动方腔流动。我们分别在雷诺数400和3200的条件下进行了流场求解，图3与图4分别展示了两种状态下PINNs与预处理方法的收敛历程。可以观察到，当Re=400时，PINNs经过1000个epoch误差降至5%，而引入预处理后仅需50个epoch便可将误差降至1%。而当Re=3200时，PINNs的误差始终维持在100%附近，尽管它的损失在不断下降。而引入预处理后可以将误差降至3%，图4展示了两种方法获得的速度幅值。
结论
本文提出了一种预处理方法以缓解PINNs的病态并提升其收敛性。结合矩阵染色和自动微分，我们首先设计了一种高效方法来计算Jacobian矩阵。之后，预处理子通过对Jacobian矩阵进行不完全LU分解获得。为了以低成本实现预处理，关于预处理子的解析求逆被基于不完全LU分解的三角求解代替，同时伴随方法被引入以解决网络参数梯度缺失的问题。通过求解多尺度和高雷诺数问题，验证了所提方法的有效性。
参考文献
[1] W. Cao, W. Zhang, An analysis and solution of ill-conditioning in physics-informed neural networks, Journal of Computational Physics, 520 (2025) 113494.
JCP|西工大曹文博、张伟伟：物理信息神经网络的病态分析与病态解决方案
[2] P. Rathore, W. Lei, Z. Frangella, L. Lu, M. Udell, Challenges in training PINNs: A loss landscape perspective, arXiv preprint arXiv:2402.01868, (2024).
[3] A. Krishnapriyan, A. Gholami, S. Zhe, R. Kirby, M.W. Mahoney, Characterizing possible failure modes in physics-informed neural networks, Advances in Neural Information Processing Systems, 34 (2021) 26548-26560.
[4] S. Basir, I. Senocak, Critical investigation of failure modes in physics-informed neural networks, in:AIAA SCITECH 2022 Forum, 2022, pp. 2353.
公众号原文链接（文末附论文资源）：
POF | 西北工业大学宋家豪、张伟伟等：一种基于伴随方法的物理信息神经网络预处理框架
注：文章由作者原创供稿，并获得作者授权发布。
