第 31 章 · 特征值分解

第 20 章讲了特征值的概念，本章讲如何在 Eigen 里求解特征值和特征向量，以及它们的应用。

31.1 对称矩阵：SelfAdjointEigenSolver

对称矩阵（Aᵀ=A）的特征值全是实数，用SelfAdjointEigenSolver：

#include<Eigen/Dense>#include<Eigen/Eigenvalues>#include<iostream>intmain(){Eigen::Matrix3d A;A<<2,1,0,1,3,1,0,1,2;// 对称矩阵Eigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::Matrix3d>solver(A);if(solver.info()!=Eigen::Success){std::cout<<"分解失败"<<std::endl;return1;}Eigen::Vector3d eigenvals=solver.eigenvalues();// 特征值（升序）Eigen::Matrix3d eigenvecs=solver.eigenvectors();// 每列一个特征向量std::cout<<"特征值（升序）= "<<eigenvals.transpose()<<std::endl;std::cout<<"特征向量（每列一个）：\n"<<eigenvecs<<std::endl;return0;}

存成ch31.cpp，按附录 C.3 编译运行，实际输出：

特征值（升序）= 1 2 4 特征向量（每列一个）： 0.57735 -0.707107 0.408248 -0.57735 9.02056e-17 0.816497 0.57735 0.707107 0.408248

中间那一列的9.02056e-17就是 0（浮点残渣）。特征向量是单位长度的，(0.57735, -0.57735, 0.57735)的长度正好是 1——这就是 0.57735 = 1/√3 的由来。

要点：

• eigenvalues()：特征值，按从小到大排序
• eigenvectors()：特征向量，每列对应一个特征值

31.2 验证 A·v = λ·v

Eigen::Vector3d v=solver.eigenvectors().col(0);// 第 1 个特征向量doublelambda=solver.eigenvalues()(0);// 第 1 个特征值std::cout<<"A*v =\n"<<A*v<<"\n";std::cout<<"λ*v =\n"<<lambda*v<<"\n";// 两者应相等

31.3 一般矩阵：EigenSolver

非对称矩阵的特征值可能是复数，用EigenSolver：

Eigen::Matrix2d B;B<<0,-1,1,0;// 旋转 90° 矩阵Eigen::EigenSolver<Eigen::Matrix2d>gen(B);std::cout<<"特征值（复数）=\n"<<gen.eigenvalues()<<std::endl;// 输出 (0,1) 和 (0,-1)，即 ±i

eigenvalues()返回的是复数类型std::complex<double>，所以能表示虚数特征值。

31.4 判断矩阵是否正定

正定矩阵= 所有特征值都 > 0 的对称矩阵：

doubleminEigen=solver.eigenvalues()(0);// 最小特征值if(minEigen>0){std::cout<<"A 是正定矩阵"<<std::endl;}else{std::cout<<"A 不是正定矩阵"<<std::endl;}

正定判断在优化、力学里很重要。

31.5 应用：主成分分析（PCA）的直觉

PCA 是机器学习里降维的核心方法，本质就是求协方差矩阵的特征值和特征向量：

• 最大特征值对应的特征向量 = 数据"方差最大"的方向（第一主成分）
• 依次递减，就是第二、第三主成分

// 概念示意：数据 X 的协方差矩阵，求其特征分解Eigen::MatrixXd X=...;// n 个样本，每个 d 维Eigen::MatrixXd centered=X.rowwise()-X.colwise().mean();// 中心化Eigen::MatrixXd cov=(centered.transpose()*centered)/(X.rows()-1);// 协方差Eigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::MatrixXd>es(cov);// 最大的特征值对应的特征向量就是第一主成分

理解这个思路，你就知道特征值分解在机器学习里为什么这么重要了。

31.6 小结

• 对称矩阵：SelfAdjointEigenSolver，特征值升序，特征向量每列一个。
• 一般矩阵：EigenSolver，特征值可能是复数。
• 验证：A·v = λ·v。
• 正定 = 所有特征值 > 0。
• 应用：PCA 的核心就是特征值分解。

下一章，学习几何模块——旋转、四元数、刚体变换。

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练习题

1. 求对称矩阵 [3 1; 1 3] 的特征值和特征向量。
2. 验证 A·v = λ·v。
3. 求旋转矩阵 [0 -1; 1 0] 的特征值，观察是不是复数。
4. 判断一个矩阵是否正定。
5. 说说 PCA 和特征值分解的关系。