29、关于极大实分裂环面及二次曲线束分类的研究

关于极大实分裂环面及二次曲线束分类的研究

1. 极大实分裂环面相关理论

设 $\theta$ 是群 $G$ 在 $k$ 上的嘉当对合，$\sigma$ 是 $k$ - 对合，且满足 $\sigma\theta = \theta\sigma$。有如下重要命题：
- 给定 $G$ 的任意 $\sigma$ - 稳定的极大 $k$ - 分裂环面 $A$，存在 $h\in H_k$ 使得 $hAh^{-1}$ 是 $\theta$ - 稳定的。
- 任何 $\theta$ - 稳定的 $k$ - 分裂环面是 $\theta$ - 分裂的。
- 任何 $G$ 的极大 $\theta$ - 分裂 $k$ 环面是极大 $(\theta, k)$ - 分裂的。

由此可知，$G$ 的任何 $\sigma$ - 稳定的极大 $\mathbb{R}$ - 分裂环面可视为 $G$ 的 $(\sigma, \theta)$ - 稳定的极大 $\mathbb{R}$ - 分裂环面（或 $\theta$ - 分裂环面）。

设 $K$ 是 $\theta$ 的不动点群，$H$ 是 $\sigma$ 的不动点群的 $k$ - 开子群，$H^+ = H\cap K$，则有：
$P_k\setminus G_k/H_k\sim=\bigcup_{i\in I}W_{G_k}(A_i)/W_{H^+_k}(A_i)$
其中 ${A_i\mid i\in I}$ 是 $G$ 中 $(\sigma, \theta)$ - 稳定的极大 $k$ - 分裂环面的 $H^+_k$ - 共轭类的代表元。

2. 标准对合的刻画

2.1 标准