图像处理算法入门（38）：滤波器组与可分离滤波器优化

系列：图像处理算法入门 · 模块四「空间域滤波与图像增强」第 10 期（共 12 期）
前置：029 卷积基础 → 030 均值 → 031 高斯 → 032 中值 → 033 双边 → 034 方框+导向 → 035 锐化 → 036 Sobel → 037 自定义滤波 →本期 038→ 039 积分图
环境：Python 3.13 · OpenCV 5.0 · NumPy · Matplotlib（全部代码可直接复制运行）

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一、摘要

031 期我们埋过一句伏笔：“高斯核可分离，O(K²) 能降到 O(2K)”。本期把这笔账彻底算清——任何核拿到手，先问一句"它可分离吗"，答案直接决定你写的滤波代码是 1 倍速还是 30 倍速。

• 可分离判据：二维核 K 能写成两个一维核的外积K = a ⊗ b时，二维卷积可拆成"先横一趟、再竖一趟"。判定只要一步：算矩阵秩——rank(K) = 1 当且仅当可分离（SVD 奇异值只有第一个非零）；
• 反直觉：对角运动模糊核（斜线上全是 1）秩 = 7，不可分离——“一条