前言
在计算机硬件体系当中，所有信息都不能以我们人类熟悉的十进制数字、汉字、符号直接存在硬件里面。不管是数字计算、文本信息，最后全部要转换成为二进制比特串。第二章作为整本书承上启下的关键章节，一边衔接第一章计算机系统概述的硬件基础，另一边为后面第三章存储器、第四章指令系统打下底层基础。本章主要分为两大模块，第一模块是各类数据的表示方式，包含定点数、浮点数、四种机器编码、字符汉字编码、校验码；第二模块围绕定点、浮点运算展开，讲解运算规则、硬件实现思路。
一.数据格式
定义：数据格式用来规定二进制编码当中小数点所处的位置，计算机分为定点数与浮点数两大类型。**小数点在二进制编码里面并没有真实硬件存储点位，**依靠人为约定规则确定位置。这是很多同学容易踩坑的考点：小数点是逻辑约定，不是真实存在某一个bit位。
1. 定点数
定点数：指小数点位置是预先固定约定好，在运算全过程当中小数点位置不会发生任何改变。定点数又细分为定点整数与定点小数。
**定点整数：**约定小数点位置，在全部数值比特的最右侧。所有二进制位全部用来表示整数的数值，**符号位放在最高位。**举例子，8位字长定点整数，最高1位符号位，剩下7位存数值，能够表示整数范围‑127~+127（原码）。
**定点小数：**约定小数点位置，放在符号位和数值位中间。也就是说最高位是符号，紧接着就是逻辑小数点，后面全部比特代表小数部分，定点小数只能够表示绝对值小于1的小数。
概念因果推导：
✅优点：定点数硬件实现电路十分简单，控制逻辑少，硬件成本低。
❌缺点：**表示数值的范围非常有限。**如果既要处理很大整数，又要处理很小小数，定点数很难兼顾。
互推关系：硬件追求简单低成本 ⇒ 使用定点数；需要处理跨度很大的数值，定点数就会出现溢出，需要引入浮点数。
2.浮点数
现实场景当中，科学计算会遇到极大或者极小数字，定点数远远不够使用，于是设计浮点数。
**M：**尾数，代表有效数字部分；
**E：**阶码，代表小数点移动多少位，决定数值范围。
尾数本身是一个定点小数，阶码是定点整数。浮点数把数值拆分成两部分独立存储。
**规格化浮点数：**为充分利用尾数有效比特，规定尾数最高数值位必须为1。规格化的目的，避免有效数字浪费，保证同一个数字只有唯一编码。
推导关系：
阶码E位数越多 ⇒ 可以表示的数值范围越大；
尾数M位数越多 ⇒ 数值精度越高；
浮点数硬件代价：需要分别对阶码、尾数两套部件运算，对比定点数，电路复杂度明显上升。
3. 原码、反码、补码、移码
**定义：**机器码，真值就是我们日常书写十进制数字；机器码是真值映射之后，存储在计算机内部二进制编码。同一个真值，可以拥有四种不同机器码形式：**原码、反码、补码、移码。**考试高频计算题，经常要求四种编码互相转换。
1. 原码
**正数：符号位填0，**后面数值位直接抄写真值绝对值二进制。
**负数：符号位填1，**后面数值位抄写真值绝对值二进制。
原码特点：原码不能直接做减法运算。如果硬件直接使用原码减法，电路设计会非常复杂。
2. 反码
正数的反码与原码完全一模一样。
负数反码：符号位保持1不变，所有数值位逐位按位取反，0变1，1变0。
重点：**反码不会被计算机硬件直接拿来运算，**它仅仅是一个中间过渡编码，作用是用来求取补码。很多同学做题会混淆，误以为计算机运行依靠反码，这是典型易错考点。
3. 补码（计算机实际使用编码）
正数补码和原码、反码三者完全相等。
负数补码：符号位不变，数值位取反之后整体再加1。
补码两大核心优势：
第一点，零的编码唯一，不存在正负两个0；
第二点，可以把减法运算等价转换成为加法运算。
重大推导关系：补码 ⇒ 减法变加法 ⇒ CPU硬件只需要一套加法器，不需要单独设计减法器，极大简化ALU硬件。这就是现代计算机全部采用补码存储运算的根本原因。
4. 移码
移码也叫增码，计算方式：真值加上一个固定偏移量。
移码和补码关系：两者除符号位完全相反，其余全部比特一模一样。
移码专门给浮点数阶码使用。为什么阶码要用移码？因为移码可以直接使用无符号数硬件比较大小，不需要额外判断符号，硬件判断阶码大小更加简单高效。
4. 字符与字符串的表示方法
计算机不仅仅要处理数字，还需要处理字母、符号这类非数值数据。字符本身是图形符号，硬件只能保存二进制，因此必须完成编码映射。
**ASCII码：**7位二进制编码，一共128个编码。其中包含大小写英文字母、阿拉伯数字，还有回车、退格等不可见控制字符。在内存存储的时候，一个ASCII字符占用完整1字节8bit，最高位补0填充。
字符串，就是一串连续的ASCII字符，在内存当中按照顺序连续存放。不同编程语言，字符串结束标记规则不一样，有的增加结束符，有的单独记录字符串长度。
概念流转关系：可视化字符符号 → ASCII二进制编码 → 内存字节连续存储，形成字符串。
5.汉字的表示和编码
汉字系统远比英文ASCII复杂，汉字数量巨大，几千常用汉字。一套编码无法同时搞定输入、交换、存储、显示打印，因此划分四类编码，每一类编码对应一个工作阶段，各司其职。很多考题会考四类编码的作用、互相之间转换关系。
1. 输入码：面向人输入使用。我们键盘打字，拼音、五笔都属于输入码。同一个汉字，可以拥有多种不同输入码。输入码任务：把键盘按键序列，转换成对应的汉字。
**2. 国标码：**汉字信息交换编码。作用：不同电脑、不同设备之间传递汉字数据，统一交换标准。
**3. 机内码：**计算机内存里面实际存放汉字的编码。国标码经过字节偏移处理得到机内码。一台计算机内部全部使用机内码保存汉字。
**4. 字形码：**点阵图形编码。机内码仅仅代表是哪一个汉字，但是看不到长什么样子。字形码保存汉字点阵像素信息，屏幕显示、打印机输出的时候，调用字形码画出汉字。
完整因果链条：键盘敲击产生输入码 → 转换为国标码 → 偏移得到机内码存入内存；输出汉字时，拿机内码去查找字形码，渲染点阵图形输出。
6. 校验码
**定义：**存储器读写、数据总线传输过程，电路会受到电磁干扰，二进制比特有可能发生翻转，0变成1，1变成0。校验码就是附加一组冗余二进制位，用来检测数据传输存储过程当中是否出现错误。
二.奇偶校验码
在原始数据基础上增加1位奇偶校验位。奇校验：整体二进制里面1的总个数为奇数；偶校验：整体1总个数为偶数。接收端重新统计1的数量判断是否出错。
局限性：仅仅能够检测奇数个比特发生翻转，如果同时两位出错，奇偶校验无法发现。奇偶校验只检错，没有纠错能力。硬件简单，成本低。
三.CRC循环冗余校验码
原始数据后面追加多位校验余数。检错能力远强于奇偶校验，广泛用于磁盘、网络通信。部分场景不仅检测错误，还可以自动纠正部分比特错误。
推导逻辑：硬件信道存在噪声干扰 ⇒ 比特存在出错概率 ⇒ 需要增加冗余校验码提升系统可靠性。校验码靠增加额外比特冗余，换取可靠性提升。
四. 定点加法、减法运算
计算机内部全部运算基于补码完成。定点数运算，就是对补码形式二进制进行运算.
1. 补码加法
运算规则：符号位和数值位完全同等看待，一起参与二进制加法运算。相加之后得到的结果，依旧是补码格式，直接可以拿来继续参与后续运算。不需要分开处理符号和数值，这是补码一大优势。
2. 补码减法
求[-y]{补}操作：对[y]{补}全部二进制位，包括符号位在内，逐位取反，整体再加1。这个操作称之为求补运算。
**核心逻辑：**减法运算不在硬件单独实现，把减法等价转换成加上减数负数的补码。加法器一套硬件，同时实现加法与减法，简化ALU硬件设计。
3.溢出概念与检测方法*
**定义：**溢出，运算结果超出当前机器字长可以表示数值范围，得到错误运算结果。⚠️一定要区分：进位不等于溢出。进位只是最高位向外多出比特；溢出代表结果数值已经失真错误。
溢出两种判断手段：
**1. 符号位判断法：**只有两个同符号数相加才会溢出。正数+正数，结果符号变成负数；负数+负数，结果符号变成正数，判定溢出。推论：一正一负两个数字相加，永远不会发生溢出。
**2. 进位判断法：**观察符号位产生进位，和最高数值位产生进位。**两者不相等，**判定溢出。
易错点：溢出属于考试高频选择题，很多同学把进位当成溢出，做题反复出错。
五. 加法器
加法器是ALU最核心基础部件，所有加减乘除最终都依赖加法器。
1. 行波进位加法器*
低位产生进位，一级一级向高位传递。低位算完产生进位，高位才可以开始计算。
因果特点：电路简单，硬件门数量少。但是运算延迟大，二进制位数越多，等待进位时间越长，运算速度慢。
2. 先行进位加法器（并行进位）
不再等待低位进位传递，依靠额外组合逻辑电路，直接提前一次性算出全部位进位信号。
推导关系：增加更多与或门硬件开销，消除进位等待时间，大幅度提升加法运算速度。现代CPU当中普遍使用先行进位方案。
3. 定点乘法运算（原码一位乘法）
计算机硬件不会直接设计复杂乘法电路，为节约硬件，乘法运算拆解为重复加法加上移位操作。原码一位乘法，符号位与数值部分分开处理。
符号位：两个乘数符号位进行异或运算，得到乘积最终符号。
数值部分：取两个数绝对值，循环执行加法、右移操作。
运行逻辑：依次查看乘数每一位，如果当前位为1，就把被乘数加到部分积；如果为0，不加。完成之后整体右移，循环直到乘数全部比特处理结束。
推导关系：乘法 ⇋ 多次加法+移位，复用加法器硬件，不需要专门独立乘法硬件。
4. 定点除法运算
除法同样复用加法器硬件，转化成为加减运算配合移位操作。分为恢复余数法、不恢复余数法（加减交替除法）。
**1. 恢复余数法：**每一步拿余数减除数，如果得到余数小于0，代表不够减，必须把除数再加回来，也就是恢复余数，之后再移位。缺点：流程步骤不固定，控制逻辑复杂，硬件实现麻烦。
**2. 不恢复余数法，又叫加减交替除法。**不再做恢复余数步骤。余数为负，不需要恢复，直接移位之后下一步改成加除数。整套算法步骤规整统一，控制电路简单，是计算机硬件实际使用方案。
概念互推：除法运算等价反复加减、移位操作，复用ALU加法器硬件资源。
5. 定点运算器的组成
**定义：**定点运算器是CPU内部负责算术运算、逻辑运算的硬件部件。三大核心组成：ALU算术逻辑单元、通用寄存器组、内部总线。
**1. ALU算术逻辑单元：**运算核心，既可以做加减算术运算，也可以完成与、或、非、异或逻辑运算。
**2. 通用寄存器组：**存放原始操作数、运算中间结果。访问速度远远快于内存。
**3. 内部总线：**一组公共的数据传输通路。各个部件通过总线互相传递数据，减少独立信号线数量，简化硬件布线。
完整数据流动流程：通用寄存器的数据放到内部总线，输送给ALU；ALU完成运算，运算结果再经由内部总线写回到通用寄存器。数据来回流动，完成整套运算。
6. 浮点运算方法和浮点运算器
浮点数 N=M*2^E，M尾数，E阶码；尾数规格化存储，阶码使用移码保存。浮点数加减法，不能直接尾数相加，必须严格执行固定五步流程。
**1. 对阶：**两个浮点数阶码不一样，尾数不能直接加减。把阶码统一，规则：**小阶向大阶对齐，尾数右移。**禁止大阶向小阶对齐，会直接丢失高位有效数字，数据彻底失真。
**2. 尾数加减：**尾数本身是定点小数，使用补码完成加减法运算。
**3. 规格化处理：**加减之后尾数有可能不再满足规格化要求，需要左规或者右规，调整尾数和阶码，重新回到规格化格式。
**4. 舍入处理：**尾数右移的时候，低位比特被丢弃，需要舍入算法补偿误差，常见0舍1入法。
**5. 溢出判断：**浮点数溢出只看阶码，和尾数无关。尾数出现溢出，可以通过规格化修复；阶码超出存储范围，才是真正浮点数溢出。
高频考点总结：尾数溢出可修复；阶码溢出代表浮点数真正溢出。
第二章章节小结
第二章整体知识链路：现实数值 → 二进制编码 → 四种机器码 → 定点加减乘除运算 → 运算器硬件结构 → 浮点数整套运算流程。
补码核心意义：减法转换加法，硬件只需要加法器。
乘除法硬件思想：转化加法+移位，复用ALU。
溢出区分进位；浮点数溢出看阶码。
汉字四类编码分工不同，输入码、国标码、机内码、字形码各司其职。
校验码依靠冗余比特检测传输存储错误。
（本篇实际字数：4462）
