简介：面向自动控制学习者与研究人员的ADRC二阶系统仿真资料，围绕自抗扰控制理论，重点演示扩展状态观测器（ESO）与Bode图分析在二阶系统中的应用。压缩包共5个文件，涵盖MATLAB脚本与Simulink模型（mdl、slx）：m脚本覆盖ADRC/ESO算法实现及Bode图绘制程序，mdl/slx文件用于搭建二阶系统仿真模型，整体仅41KB，轻量易用。目前已有809人学习浏览。通过学习该案例，读者可从二阶系统建模、ESO参数整定到控制器设计形成完整认知，掌握利用ADRC抑制内外扰动、提升响应速度的仿真方法，并为后续机械、电气或航空航天等领域的工程实践提供可复用的分析工具。
1. 一套能跑的ADRC二阶仿真：LESO脚本、Bode图与两个Simulink模型
ADRC二阶仿真，最怕的不是看不懂理论，而是拿到模型后第一步就报错。这套压缩包恰好给出了一组完整可复现的组合件：两个Simulink模型（Motion_acc03.mdl、acc_2003.slx）配合三个MATLAB脚本（acc2003.m、LESO_step.m、LESO_bode.m），把扩张状态观测器的阶跃响应和Bode图都补齐了。它适合正在做ADRC课程设计、想快速跑通二阶对象闭环的学生，也适合那些想用Bode图验证观测器带宽、不把参数整定当玄学的从业者。整包不依赖额外工具箱，基础MATLAB/Simulink环境就能跑，重点是把二阶对象、LESO和控制律三块串成一条能对照理论公式的链路。
2. 拆开压缩包：五个文件的角色、入口顺序与Simulink模型驱动逻辑
拿到压缩包后先别急着双击.slx。这套文件里有模型、有脚本，谁先谁后直接决定你能不能跑出结果。以我拆老项目压缩包的习惯，第一步永远是列一张文件清单，标清楚每个文件的职责和入口，避免在某个旧模型上浪费时间。
2.1 五个文件分别负责什么：从.mdl到.m的分工表
| 文件 | 类型 | 在整套资源里的角色 |
|---|---|---|
| Motion_acc03.mdl | Simulink模型（旧版文本格式） | 二阶对象与ADRC闭环回路，适合查看模块连接关系 |
| acc_2003.slx | Simulink模型（新版压缩格式） | 与.mdl功能对应的可运行模型，通常优先打开它 |
| acc2003.m | MATLAB初始化脚本 | 预置对象参数、控制器带宽、LESO增益到工作区 |
| LESO_step.m | MATLAB脚本 | 用连续时间状态方程单独跑LESO，看扩张状态对扰动的估计 |
| LESO_bode.m | MATLAB脚本 | 绘制LESO或闭环回路的Bode图，校验带宽与裕度 |
模型文件负责搭回路，脚本负责给参数和出图。Motion_acc03.mdl和acc_2003.slx大概率是同一套仿真在不同Simulink版本下的两种存档格式，前者是旧版文本格式，后者是新版打包格式。如果你的环境是R2012a之后的版本，直接跑.slx即可；若打开.mdl报版本不支持，也不用慌，另存为.slx或按模型文本重建都行。
2.2 入口顺序：哪些文件先跑，哪些文件自动加载
我一般会按“初始化脚本→Simulink模型→独立验证脚本”的顺序来复现。核心原因是.mdl和.slx里的参数通常不是写死的，而是通过工作区变量引用。比如模型里的增益块可能写的是b0、kp、beta1这样的名字，变量必须由acc2003.m一次性写入工作区。
%% 拆包后的执行顺序（常见做法） acc2003; % 一次性执行初始化，灌入对象与ADRC参数 open_system('acc_2003'); % 打开模型，或直接双击 .slx这段代码逻辑很简单，但很多人会栽在第一句上。直接在MATLAB当前目录打开模型，而不先执行acc2003.m，模型里的变量全是空的，点了仿真直接报未定义变量。我自己的习惯是尽量不靠手动执行脚本，而是在模型属性里写一个PreLoadFcn回调，把初始化脚本接到模型加载事件上，后面每次打开都不会忘。
2.3 .mdl与.slx新旧格式：什么时候用哪一个
判断依据很简单：你的MATLAB版本能不能直接打开、有没有兼容提示。旧版.mdl是纯文本格式，遇到高版本Simulink有时会有兼容警告，但好处是diff非常方便，改动一个增益可以直接在文本里看到；.slx是二进制压缩格式，体积小、加载快，但没法肉眼读diff。若你只是复现仿真结果，用.slx；若你想看清模块如何连接、或需要给模型做版本迁移，先用.mdl打开文本内容会更直观。
Simulink模型里的代数环是另一个隐藏入口问题。ADRC控制器里LESO的输出z3会反馈到控制律，控制律又去驱动对象，如果模型的连续块之间没有积分环节隔开，求解器容易形成代数环。遇到这类情况，常见做法是在反馈通路里加一个极小时间常数的一阶惯性环节，或者让LESO的离散版本使用单位延迟。
2.4 连续域与离散域的选择：先分清再复现
这包文件里的.mdl名称带Motion_acc03，看起来是连续域对象模型。连续域的好处是理论推导直接对得上LESO方程，但实际部署时控制器几乎都是离散实现的。复现时如果发现仿真步长必须设到1e-4以下才能稳定，说明模型里可能存在高频动态，这时候要么把LESO也离散化，要么改用ode15s，不要死磕ode45。两者换一下求解器，结果往往就稳定了。
3. 二阶对象接入ADRC：模型结构、LESO方程与参数初始化脚本
ADRC的核心不是把PID换一组新增益，而是把对象看成“二阶积分串联加总扰动”。这一步决定了你在Simulink里看到的对象模型到底该怎么画，也决定了LESO为什么要做成三维状态。
3.1 二阶系统的数学模型与“总扰动”的观测器视角
二阶对象最常见的形式是\ddot{y}=f+b0*u，其中f包含模型不确定性和外部扰动。若被控对象是质量-弹簧-阻尼，它可以写成J*\ddot{θ}=u-c*\dot{θ}-k*θ+d，归一化后就变成\ddot{y}=f+b*u。ADRC不追究f的具体表达式，而是把它当成第三个状态，用LESO在线估出来，最后在控制律里减掉。
这一视角的工程意义在于：不需要精确建模，也不需要扰动模型，只要b0的符号和大致量级对，LESO就能把剩余误差和扰动一起补偿掉。Simulink里搭模型时，对象部分用传递函数块或者积分器搭积分链都可以。我推荐用积分器搭，因为观察中间状态更方便，也方便给LESO引出y_dot的参考信号。
3.2 acc2003.m参数初始化：带宽比和b0怎么设
初始化脚本是整套资源的“总闸”。参数整定的顺序我习惯固定为：先定对象工况、再定控制器带宽ωc、再定观测器带宽ωo、最后微调b0。这里的顺序不能反过来，因为观测器带宽依赖控制器带宽，而b0的误差容忍度由观测器带宽兜底。
%% acc2003.m 参数初始化（对照常见ADRC二阶设置） % 二阶对象: G(s) = k / (s^2 + a*s)，k为增益，a为阻尼项系数 k = 2.0; % 对象稳态增益 a = 1.5; % 对象阻尼项系数 b0 = 2.0; % 控制增益估计值，允许与实际增益有偏差 wc = 5; % 控制器带宽，单位 rad/s，决定跟踪速度 wo = 25; % 观测器带宽，通常取 wc 的 5~10 倍 kp = wc^2; % 控制律比例增益 kd = 2*wc; % 控制律微分增益 beta1 = 3*wo; % LESO 增益 β1 beta2 = 3*wo^2; % β2 beta3 = wo^3; % β3这里最关键的是b0。它的含义是你对“控制输入到二阶加速度”的增益估计。ADRC对b0的误差有一定容忍度，b0偏大容易引起振荡甚至发散，b0偏小则补偿不足、扰动抑制变慢。符号必须和实际对象一致，这一点没有商量余地。ωo和ωc的比例也不是越大越好，观测器带宽大了，高频测量噪声会被放大，Bode图上会看到明显的高频抬升。
3.3 Simulink里控制器与观测器的连接关系
在模型里，ADRC通常会体现为三个相互连接的子结构：对象、LESO、控制律。对象输出y接到LESO的输入，LESO三个输出z1、z2、z3分别代表估计的y、估计的导数、估计的扰动。控制律用的是u=(kp*(r-z1)-kd*z2-z3)/b0。注意，控制律减的z3是LESO对总扰动的估计，不是真实扰动。许多人在模型里把z3直接加到对象内部去抵消扰动，这种画法在Simulink里也能仿真，但会掩盖观测器收敛过程，不利于分析。建议保持“对象不含补偿、补偿只在控制律”的经典结构。
我还会特意在模型里加两个To Workspace块，把y和控制量u导出来，方便和LESO_step.m的结果做交叉对比。若模型里已经带了Scope，也可以不改，但To Workspace的数据更便于做数值指标计算。
另一个常见细节是LESO阶数和对象阶数的关系。二阶对象需要估计的状态是位置、速度和总扰动，所以LESO是三维的，极点配置在同一个实极点-ωo上。如果对象是二阶而你把LESO也写成二阶，那就只能估计两个状态，扰动完全没有观测通道，控制律里的z3也就不存在，整个ADRC退化成状态反馈加积分。判断LESO结构是否正确，最简单的方法是看LESO_step.m里状态变量是不是三个。
4. 运行LESO_step.m：看扩张状态观测器怎样估计总扰动
LESO_step.m是我觉得整个压缩包里最值得先跑的文件。它不依赖Simulink，把LESO方程直接放在MATLAB脚本里用求解器跑，能很清楚地看到“扰动是怎么被估计出来的”。对新手来说，这个文件比模型更容易读懂。
4.1 脚本的仿真逻辑与代码骨架
LESO_step.m的核心逻辑是构造一个包含被控对象和观测器的连续时间状态方程，然后用ode45数值积分。常见做法是把对象真实模型写成一个函数，把LESO写成另一组微分方程，最终合成一个状态向量。
%% LESO_step.m 核心骨架（数值验证用） % 状态定义: [y, dy, f, z1, z2, z3] function dx = leso_demo(t, x, b0, beta) y = x(1); dy = x(2); ft = 0.5*sin(2*pi*0.3*t) + (t>=2); % 扰动: 正弦+阶跃 u = 0; % 开环观测模式 dx(1) = dy; dx(2) = b0*u + ft; % 对象真实模型 dx(3) = 0; % 真实扰动变化率 e = x(1) - x(4); % LESO输出误差 dx(4) = x(5) + beta(1)*e; dx(5) = x(6) + beta(2)*e + b0*u; dx(6) = beta(3)*e; end脚本里把对象和观测器写在同一个函数里，直接比较z3和真实f的时间序列。这个写法有个好处：对象和观测器可以共用一个输入u，完全模拟闭环里“LESO只拿到y和u”的信息流。参数beta通常由wo按乘积关系生成。看到z3曲线逼近ft曲线时，就说明LESO的扩张通道设计对了。
4.2 怎么看收敛：稳态误差、恢复时间、峰值毛刺
判断LESO调得好不好，不要只看最后稳态。三个指标我每次都会导出来：扰动发生后的恢复时间、稳态误差、扰动瞬间的峰值偏差。观测器带宽wo从10调到30，恢复时间会明显缩短；但如果你把噪声加进测量输出，会发现wo越高，y毛刺越大。这就是观测器设计和噪声抑制的天然矛盾，也是后面LESO_bode.m要解决的核心问题。
4.3 wo=10/30/50三组对比：参数改多少能看到差异
| wo (rad/s) | 扰动后恢复时间 | 稳态误差量级 | 对测量噪声的放大 |
|---|---|---|---|
| 10 | 约1.2s | 10^-2 | 较小 |
| 30 | 约0.4s | 10^-3 | 中等 |
| 50 | 约0.15s | 10^-4 | 明显 |
这张表不是固定结论，但它反映的规律是通用的。我一般会跑三组数据，再把输出曲线叠加到一张图上，看z3是否在可接受时间内跟上真实扰动。看到恢复时间和噪声放大一对比，你对wo该取多少会比我直接给建议更清楚。
4.4 从开环观测改成闭环补偿的快速验证
另外，脚本里的扰动形式也值得动手改一改。默认如果有阶跃，改为斜坡ft=0.5*t可以检验LESO对斜坡扰动的跟踪能力，因为扩张状态观测器的第三维能估计常值扰动，但对快速时变扰动会有相位滞后。想看补偿效果时，把u从0改为(kp*(r-z1)-kd*z2-z3)/b0，LESO_step.m就从一个开环观测器变成了完整闭环仿真，这也是验证“先观测、后补偿”最快的方式。
5. LESO_bode.m 与避坑手册：Bode图验证和五个常见仿真事故
Bode图在这个资源里的作用是给LESO带宽一个“可测量的定义”，而不是凭感觉取wo。LESO_bode.m我拿到后通常会做两件事：画LESO从y到z3的传函，再看闭环回路有没有异常峰值。两步做完，参数整定就有了客观依据。
5.1 Bode图上看什么：观测器带宽、峰值与抗噪边界
LESO从y到z3的传递函数可以按观测器增益写出来，常见形式是Z3(s)/Y(s)=β3/(s^3+β1*s^2+β2*s+β3)。用bode绘制后，低频段增益趋于0dB，代表z3能准确估计常值扰动；频率接近ωo时开始衰减，这就是观测器的有效带宽。
%% LESO_bode.m 核心绘图段（基于观测器增益） wo = 25; beta1 = 3*wo; beta2 = 3*wo^2; beta3 = wo^3; num = [beta3]; den = [1 beta1 beta2 beta3]; sys = tf(num, den); bode(sys, {0.1, 100}); grid on;这段代码不长，但能直观看出带宽选择是否合理。如果幅频曲线在远低于wo的地方出现鼓包，说明观测器增益矩阵配置有问题；如果在高频段曲线下降斜率过缓，说明噪声会被传入控制律。看到这两个现象，就该回头查β1、β2、β3，不是继续盲调。重点提醒一句：Bode图是线性频域分析工具，只反映频段特性，最终还是要和LESO_step.m的时域曲线对照。
5.2 避坑记录：五个常见ADRC仿真事故
现象：打开.slx后直接点仿真，报错
Undefined function or variable 'b0'。原因：初始化脚本没在模型加载前写入工作区，Simulink里变量全是空的。解决：先运行acc2003.m，或在模型属性Callbacks的PreLoadFcn里写一行acc2003;。现象：LESO_step.m跑完后，z3始终不等于真实扰动，差一个固定比例。原因：b0与实际对象增益差异过大，补偿幅度系统性偏差。解决：先确认b0符号与实际对象一致，再把b0调到接近真实值的1.5~2倍以内观察误差变化。
现象：Bode图幅频曲线高频段出现抬升，仿真里闭环噪声大。原因：观测器带宽wo取太高，把测量噪声直接放大。解决：降低wo，或给LESO输入加一阶低通滤波，但要注意低通滤波会引入相位滞后，需要重新看Bode图。
现象：Simulink用ode45变步长仿真跑到某一步就发散。原因：对象和LESO之间的时间常数差异太大，或者存在代数环。解决：换ode15s试跑，若立刻稳定，优先考虑是不是带宽比过大；若仍然发散，检查反馈路径是否有代数环。
现象：.mdl文件在高版本Simulink打不开，提示版本过旧或格式不支持。原因：.mdl是老格式，版本迁移有兼容限制。解决：用低版本MATLAB另存为.slx，或基于acc_2003.slx重建；不要直接改后缀。
5.3 Bode图和STEP结果对不上时怎么排查
如果LESO_step.m显示z3收敛很好，但Bode图显示的带宽明显偏低，多半是你看的Bode图不是同一个传函。z3到y的传函反映观测能力，而从r到y的闭环传函才反映整体跟踪性能。先确认当前图中画的是哪条传递函数，再看仿真激励幅值是否足够大。小信号仿真时非线性摩擦等因素占主导，Bode预测的线性行为会偏离，这种情况把工作点移到线性区间再验证。
6. 从二阶固定对象到扰动自适应：给ADRC加时变扰动并验证补偿效果
二阶对象模型跑通之后，我就已经不想只做固定扰动的测试了。我一般会做的第一件事，就是把扰动从“常值阶跃”改成时变扰动，例如幅值和频率都在变化的信号，再看ADRC的补偿能力。这样做能快速判断你调出来的观测器带宽到底够不够用。
%% 修改LESO_step.m中的扰动：时变+参数偏差联合验证 ft = 0.5*sin(2*pi*0.3*t) + 0.1*cos(2*pi*1.5*t) + (t>=2); b0 = 1.6; % 故意偏离真实值2.0，检验LESO补偿能力改这两行之后重新跑，你会发现z3的相位滞后开始显现。低频正弦扰动基本能被补偿，高频分量则明显跟不上。此时就需要把这一路高频扰动的频段与LESO_bode.m里测出的带宽对应起来。扰动频率超过观测器带宽，补偿效果就会下降。知道这个边界后，再遇到“为什么扰动抑制效果差”的反馈，你就知道该查对象的扰动频谱，而不是继续加大wo。
进一步的做法是把LESO离散化，为后续生成嵌入式代码做准备。连续域LESO的极点配置在-ωo，离散化时直接把三阶观测器写成差分方程，采样周期取对象控制周期的1/5到1/10。MATLAB的c2d函数能直接给出离散状态空间对象，再把控制律换成离散形式，整个模型就能在Simulink里用定步长求解器跑，避免连续求解在快速仿真中带来的步长问题。
最后一个技巧是把wo和wc的整定结果记录成一张简单的表格，每改一次参数就把Bode峰值、恢复时间、稳态误差、噪声水平填进去。我最初调ADRC参数时全靠看Scope曲线，后来发现同一个观察误差会被视觉放大，换成数值表格后，参数选择就稳定多了。从那以后，我每次复现这类ADRC源码包，都会强制先跑初始化脚本、再画Bode图、再做时变扰动试验，绕开过不少弯路。希望帮到你。
本文还有配套的精品资源，点击获取
