二次型这个东西，课本上讲完合同变换就翻篇了，真正上手做题或者写代码的时候，坑全藏在细节里。我见过太多人配方配到一半变量替换写不出来，正交变换求出特征向量忘了正交化，初等变换做完行变换忘了配列变换，最后结果差一个负号还理直气壮地说“等价就行”。二次型的标准化其实只有三条主流路线——拉格朗日配方法、正交变换法、初等变换法，但每一条都有自己的脾气：配方法快但要用对顺序，正交变换法稳但要算特征多项式，初等变换法机械但极易操作失误。这篇就把三条路线全部拆开，每种方法给完整演算、给可逆变换的证明写法、给验算技巧，顺带把课本上一笔带过的那些细节补上。不管你是正在啃线性代数准备考试的学生，还是需要把二次型化简用到二次曲面拟合、二次规划、图像处理里 Hessian 分析上的工程人员，看完都能直接照着做。
1. 二次型标准化这件事，工程里到底在哪用得上
很多人学二次型的时候会有个疑问：一堆 $x_ix_j$ 的交叉项，把它弄成平方和，除了做题还能干嘛。实际用途比想象中多。最直接的是二次曲面分类——三维空间里一个二次方程 $x^TAx + b^Tx + c = 0$ 到底是个椭球、双曲面还是锥面，光看方程根本看不出来，必须通过正交变换把交叉项消掉，化成标准形才能一眼看出形状。其次是最优化问题里的判定：一个多元函数的 Hessian 矩阵对应的二次型如果正定，那这个驻点就是极小值点，而判定正定最快的办法之一就是配方法看能不能配成全正平方和。再往工程里走，主成分分析里协方差矩阵的对角化、结构力学里的主应力方向、控制理论里的二次型 Lyapunov 函数，本质上都是同一件事。
所以二次型标准化的核心诉求很明确：用可逆线性变换把含交叉项的二次型化成只含平方项的形式。这里两个关键词，一个是“化成平方项”，一个是“可逆”。前一个决定结果好不好用，后一个决定这个变换是不是合法的、信息有没有丢失。很多人只盯着前者，后者随手写个“显然可逆”就过去了，这是最容易被扣分也最容易在工程里埋雷的地方。
1.1 从二次型到矩阵：一张表看懂对应关系
在动手之前，先把二次型和对称矩阵的对应关系钉死。$n$ 元二次型
$$f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j$$
写成矩阵形式 $f = x^TAx$，其中 $A$ 必须是对称矩阵。写 $A$ 的规则只有一条：平方项系数直接放在对角线上，交叉项系数除以 2 放在对称的两个位置上。
| 二次型中的项 | 矩阵中的位置 | 常见错误 |
|---|---|---|
| $a x_i^2$ | $a_{ii} = a$ | 无 |
| $b x_i x_j\ (i \ne j)$ | $a_{ij} = a_{ji} = b/2$ | 直接把 $b$ 填进去，导致 $x^TAx$ 算出来是 $2b x_ix_j$ |
| 某个变量完全没出现 | 对应行列全为 0 | 漏写这一行这一列，矩阵维度不对 |
拿一个具体例子过一遍。设
$$f = 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 6x_2x_3$$
这里面一个平方项都没有，全是交叉项。按规则：$2x_1x_2$ 贡献 $a_{12}=a_{21}=1$，$2x_1x_3$ 贡献 $a_{13}=a_{31}=1$，$-6x_2x_3$ 贡献 $a_{23}=a_{32}=-3$，对角线全是 0。于是
$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & -3 \ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}$$
这个矩阵非常关键，后面三种方法都会拿它当练习对象。记住一句话：交叉项系数一定要除以 2，这一步错了后面全盘皆输，而且因为矩阵还是对称的，检查的时候不容易发现。
1.2 三条路线的取舍逻辑
三种方法都能把二次型化成平方和，但它们的“代价”和“产出”完全不同，选错了就是自找麻烦。
| 方法 | 核心操作 | 对角元是什么 | 变换矩阵 $C$ 长什么样 | 什么时候优先用 |
|---|---|---|---|---|
| 拉格朗日配方法 | 代数恒等变形，逐项配平方 | 任意实数 | 一般是三角矩阵或三角矩阵的乘积，手工可写 | 只需要标准形、求惯性指数、判断合同 |
| 正交变换法 | 求特征值、特征向量、正交化、单位化 | 恰好是 $A$ 的特征值 | 正交矩阵 $Q$，$Q^TQ = I$ | 需要保持几何形状、二次曲面分类、主成分分析 |
| 初等变换法 | 对 $A$ 成对做行变换和列变换 | 与配方法同（可能差一个缩放） | 累积在右侧的单位阵位置上 | 矩阵维度高、想程序化操作、怕配方配乱 |
这个表背后有三个必须理解的点。
第一，配方法不保持矩阵的迹和行列式。比如上面那个 $A$，迹是 0，行列式算一下是 $-6$，但配完方之后得到的对角阵可能是 $\mathrm{diag}(2,-2,6)$，迹是 6，行列式是 $-24$，两个都不相等。这不是算错了，而是配方法用的变换矩阵 $C$ 满足 $\det(C) \ne \pm 1$，所以 $\det(C^TAC) = \det(C)^2\det(A)$，行列式被缩放了。理解这一点，你就不会拿迹去验算配方法的结果。
第二，正交变换法保持迹和行列式。因为 $Q$ 是正交矩阵，$Q^TAQ$ 既是合同变换也是相似变换，特征值不变，所以对角元之和等于原矩阵的迹，对角元之积等于原矩阵的行列式。这两个性质是极好的验算工具，后面会专门讲怎么用。
第三，三种方法得到的标准形不唯一，但正负惯性指数唯一。这是惯性定理的内容。也就是说，不管你用哪种方法、配方顺序怎么调，最后正平方项的个数 $p$ 和负平方项的个数 $q$ 是定死的，$p+q$ 就是矩阵的秩。工程上判断正定性、判断两个二次型是否合同，靠的就是这两个数，而不是具体的系数。
2. 可逆线性变换与合同关系
在进入具体方法之前，得把“可逆线性变换”这件事说透，因为标题里专门提到了可逆变换证明，而这恰恰是最容易含糊过去的部分。
2.1 为什么“可逆”这两个字不能省
设 $x = Cy$，代入 $f = x^TAx$ 得
$$f = (Cy)^TA(Cy) = y^T(C^TAC)y$$
新的矩阵是 $B = C^TAC$。这时候如果 $C$ 不可逆，会发生什么？最直接的后果是秩可能变小。举个极端例子，取 $C$ 是全零矩阵，那 $B$ 就是零矩阵，秩从 2 掉到 0，原来的二次型信息全部丢失。你确实把它化成了“平方和”（全是 0），但这个结果毫无意义，因为它对应的是一个恒等于零的函数，和原来的二次型根本不是同一个东西。
所以可逆性保证的是变换前后是同一个二次型，只是换了一组坐标来描述。这就要求 $C$ 必须可逆，也就是 $\det(C) \ne 0$，也就是从 $y$ 能唯一地反解出 $x$。
这里还有个容易混淆的点：可逆线性变换不保持矩阵的秩以外的很多东西。它可以改变行列式（缩放 $\det(C)^2$ 倍），可以改变迹，可以改变特征值（除非 $C$ 是正交矩阵）。它唯一保证不变的是秩和正负惯性指数。
注意：秩在合同变换下不变，这个结论反过来也常用——如果你配完方发现非零平方项个数和原矩阵的秩对不上，那一定是某一步算错了，不用往后做，直接回头查。
2.2 合同、相似、等价：三个词别串了
这三个概念在教材里前后脚出现，特别容易混。用一张表理清楚。
| 关系 | 定义 | 保持什么不变 | 典型场景 |
|---|---|---|---|
| 等价 | 存在可逆 $P,Q$ 使 $B = PAQ$ | 秩 | 一般的矩阵化简、解方程组 |
| 相似 | 存在可逆 $P$ 使 $B = P^{-1}AP$ | 秩、迹、行列式、特征值 | 线性变换在不同基下的表示 |
| 合同 | 存在可逆 $C$ 使 $B = C^TAC$ | 秩、正负惯性指数 | 二次型换坐标 |
二次型用的是合同，不是相似。只有当 $C$ 恰好是正交矩阵时，$C^T = C^{-1}$，合同才退化成相似，这时候迹、行列式、特征值全都保住。这也是为什么正交变换法在几何问题里特别受宠——它不光化简了二次型，还保持了长度和角度。
一句话记忆：相似看特征值，合同看惯性指数，等价只看秩。
2.3 合同变换的代数语言
把合同变换写成矩阵语言，就是找一串可逆矩阵 $P_1, P_2, \dots, P_k$，使得
$$P_k^T \cdots P_1^T A P_1 \cdots P_k = D$$
其中 $D$ 是对角阵。令 $C = P_1P_2\cdots P_k$，就有 $C^TAC = D$。因为每个 $P_i$ 都可逆，它们的乘积也可逆，所以 $C$ 一定可逆。
这个式子看起来抽象，但它把三种方法统一起来了：
- 配方法：每一步的 $P_i$ 是一个“单位三角矩阵”或者“两变量相加相减”的矩阵
- 正交变换法：$P_i$ 全是正交矩阵，最后合并成一个 $Q$
- 初等变换法：$P_i$ 是初等矩阵，一个个往单位阵上乘
理解了这一层，三种方法就不再是三套互不相干的技巧，而是同一个思想的不同实现。你会发现它们的可逆性证明思路也高度一致——都是证明每一步的变换可逆，然后说有限个可逆变换的复合仍可逆。
3. 拉格朗日配方法：有平方项与缺项两套打法
配方法是三种方法里最“手工”的，但也是最快的。它的思路非常朴素：把含某个变量的所有项凑成一个完全平方，减掉多余的部分，然后对剩下的变量重复这个过程。
3.1 有平方项时的标准动作
如果二次型里至少有一个平方项，动作就很简单：
- 挑一个平方项系数不为零的变量（一般挑第一个），把它和所有含它的交叉项凑成一个完全平方
- 减掉多出来的项，剩下的部分只含其它变量
- 对剩下的部分重复第 1、2 步
- 直到所有变量处理完，把省略掉的变量补上（系数为 0）
这个流程的关键在第 1 步的“挑”。我的经验是：优先挑和其它变量交叉项最多的那个，这样一次配方能消掉最多的项，后面的工作量最小。当然挑第一个系数非零的也不会错，只是可能多算两步。
举个有平方项的例子：
$$f = x_1^2 + 2x_2^2 + 5x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 6x_2x_3$$
对应的矩阵是
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 3 \ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}$$
3.2 演算：三步配完，写出可逆矩阵
先处理 $x_1$。把含 $x_1$ 的项全部拎出来：
$$x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - x_2^2 - x_3^2 - 2x_2x_3$$
验证一下展开：$(x_1+x_2+x_3)^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$，减掉 $x_2^2 + x_3^2 + 2x_2x_3$ 正好剩下 $x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3$。对得上。
代回原式：
$$f = (x_1+x_2+x_3)^2 + x_2^2 + 4x_3^2 + 4x_2x_3$$
现在只剩 $
原理与线性超平面推导详解)
