简介：围绕均匀设计这一试验设计方法，课件面向科研人员、工程师及需要开展多因素试验的学生，帮助其在有限试验次数下掌握均匀布点、设计表选用与结果分析的基本思路。压缩包内共1个PPT文件，约174KB，以幻灯片形式组织概念、特点、原理、应用方法与软件介绍，并穿插实例讲解，便于课堂展示或自学梳理。已有539人学习下载。内容从均匀设计与正交设计的差异切入，说明均匀分散、整齐可比取舍及试验次数优势，进而覆盖因素与水平确定、均匀设计表选择、试验安排、回归分析及结果表达等环节，同时提及均匀设计软件的使用。读者可据此理解均匀设计表与使用表的含义、混合水平表的构造思路，以及该方法在减少试验量、控制成本方面的适用边界，适合作为方法入门与案例对照的轻量资料。
1. 从 961 次到 31 次：这套均匀设计课件要解决的是排试验的成本问题
五因素三十一水平，正交表要排 961 次，均匀设计只排 31 次，课件开场就用这组账把人拉回现实。它讲的不是新算法，而是一整套试验设计方法：均匀设计（Uniform Design），1978 年由数论方法与试验设计交叉方向的研究者提出，思路是只在试验范围内挑一批“铺得最开”的代表点，主动放弃正交设计的整齐可比，换取试验次数的数量级下降。这套课件把概念、特点、均匀设计表的构造、使用表、混合水平、软件操作串成一条线，还给到 3 因素 13 水平的完整排表实例。它适合手上因素多、水平多、单次试验又贵的人——配方筛选、工艺参数扫描、仿真代理模型取样，都吃这一套。
2. 均匀设计表怎么读：Un(q^s) 里的 n、q、s 与使用表上的偏差 D
2.1 表名不是编号：n、q、s 三个字母各管一件事
均匀设计表和正交表一样，是靠一套预先算好的表来安排试验的，表的记号写成 Un(q^s)。很多人第一次看会把它当成某种型号，其实三个字母各有分工：U 表示均匀设计，n 是这张表的行数，也就是要做的试验次数；q 是每个因素取的水平数；s 是列数，也就是这张表最多能安排多少个因素。U11(11^6) 读作“11 次试验、每因素 11 水平、最多 6 个因素”，U13*(13^4) 读作“13 次试验、每因素 13 水平、最多 4 个因素”，多出来的那个星号是另一类构造。
星号表值得单独说清楚。当试验次数 n 不是素数时，能拿到的列数会明显不够用。比如 n=6，按规则最多只有 2 列，只能排 2 个因素，这对一个 6 因素 6 水平的筛选试验完全不够。课件里给的解法是：先构造 7 次试验的 U7 表，再把最后一行整行划掉，剩下的 6 行就构成 U6*(6^6)，一下子有了 6 列。划掉的那一行每个格子都是 7，所以划完之后每一列剩下的仍然是 1 到 6 的一个完整排列，结构没被破坏。这个“用 n+1 的表砍一行换列数”的技巧，是均匀设计表在非素数试验次数下还能用的关键。
需要提前摆正一个认知：表里的数字是水平编号，不是真实物理量。第 3 列写着 9，意思是这个因素取第 9 个水平，到底对应 90℃ 还是 0.9 MPa，要你自己映射。同样，表里的列也不是随便挑的，挑哪几列由使用表决定，这是下一节的内容。
2.2 使用表与偏差 D：3 个因素为什么偏偏用 1、3、4 列
一张 m 列的均匀设计表，如果要安排 s 个因素，可选的列组合有 C(m,s) 种。以 U13*(13^4) 排 3 个因素为例，从 4 列里选 3 列有 4 种选法，每一种选法铺出来的点集均匀程度并不相同，最终的试验效果也不同。所以每张均匀设计表后面都附一张使用表，直接告诉你几个因素时该用哪几列。
判据是偏差（discrepancy），历史最久、接受度最广的一种度量，偏差越小说明点铺得越均匀、代表性越好。课件把两张表的使用表都列了出来，横向对比能看出规律：
| 表 | 因素数 s | 推荐列号 | 偏差 D |
|---|---|---|---|
| U11(11^6) | 2 | 1, 5 | 0.1632 |
| U11(11^6) | 3 | 1, 4, 5 | 0.2649 |
| U11(11^6) | 4 | 1, 3, 4, 5 | 0.3528 |
| U11(11^6) | 5 | 1, 2, 3, 4, 5 | 0.4286 |
| U11(11^6) | 6 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 0.4942 |
| U13*(13^4) | 2 | 1, 3 | 0.0962 |
| U13*(13^4) | 3 | 1, 3, 4 | 0.1442 |
| U13*(13^4) | 4 | 1, 2, 3, 4 | 0.2076 |
这张表最有价值的信息不是那些列号，而是偏差随因素数上升的趋势。同样是 11 次试验，排 2 个因素时偏差 0.1632，排 6 个因素时涨到 0.4942，翻了三倍。含义很直接：试验次数不变、硬往里塞因素，点在高维空间里必然越铺越稀，代表性下降。所以“我到底要不要多跑几次”这个问题，不该靠感觉回答，而应该看偏差涨到什么程度还能接受。我的经验是，如果照使用表选完列，偏差比 2 因素时高出两倍以上，就该考虑把 n 往上提一档，比如从 11 换成 13 或 17。
反过来，也没必要盲目追求小偏差。偏差再小，试验做错、量测漂移照样白搭。偏差在这里的作用是横向比较同一批候选方案，而不是绝对标准。
2.3 把表落成试验单：3 因素 13 水平的一次完整排布
课件给的例子是 3 因素 13 水平，选 U13*(13^4)，使用表推荐第 1、3、4 列。这一步最容易被跳过，但恰恰是从“看懂表”到“能执行”的分界线。我一般会用脚本把表直接翻译成带真实物理量的试验单，省得手工对表时错行。
import numpy as np import pandas as pd # 课件里的 U13*(13^4) 全表，4 列 13 行，数字为水平编号（1 起） U13 = np.array([ [1, 5, 9, 11], [2, 10, 4, 8], [3, 1, 13, 5], [4, 6, 8, 2], [5, 11, 3, 13], [6, 2, 12, 10], [7, 7, 7, 7], [8, 12, 2, 4], [9, 3, 11, 1], [10, 8, 6, 12], [11, 13, 1, 9], [12, 4, 10, 6], [13, 9, 5, 3] ], dtype=int) # 使用表推荐：s=3 时取第 1、3、4 列（这里转成 0 基索引） cols = [0, 2, 3] # 13 个水平等距映射到真实取值范围 levels = { "温度C": np.linspace(60, 120, 13), # 步长 5 "压力MPa": np.linspace(0.5, 2.5, 13), # 步长 1/6 "时间min": np.linspace(10, 70, 13), # 步长 5 } plan = pd.DataFrame({"试验号": np.arange(1, 14)}) for name, c in zip(levels, cols): # U13 是 1 基编号，取数组时统一减 1 plan[name] = levels[name][U13[:, c] - 1] plan.to_csv("ud_plan.csv", index=False, encoding="utf-8-sig") print(plan.round(3).to_string(index=False))这段代码做三件事：按使用表取列、把水平编号映射成真实量、导出可直接下发的试验单。cols这个变量是整段代码里唯一需要人判断的地方，它必须来自使用表，不能凭感觉写；一旦把 3 因素写成[0, 1, 2]，表还是那张表，但点集的均匀性已经不是使用表推荐的那个了。levels用linspace等距生成，是因为均匀设计默认各水平等间隔；如果你的水平是非等距的（比如温度必须取 60、80、95、110、120 这种工艺卡死的点），把linspace换成显式列表即可，映射逻辑不变。
跑完会得到类似这样的前几行：
| 试验号 | 温度C | 压力MPa | 时间min |
|---|---|---|---|
| 1 | 60.0 | 100.0 | 60.0 |
| 2 | 65.0 | 75.0 | 50.0 |
| 3 | 70.0 | 120.0 | 40.0 |
| 4 | 75.0 | 95.0 | 30.0 |
| 5 | 80.0 | 70.0 | 70.0 |
注意第 1 行的三个因素分别落在最低、偏高、偏高的位置，看起来“不整齐”，这正是均匀设计的常态：它不追求每个因素的每个水平搭配齐全，只追求 13 个点在三维盒子里铺开。如果看到试验单觉得“怎么这么乱”就想改，说明还没接受这套方法的前提。
2.4 两个容易忽略的映射细节：编号方向与端点
第一个细节是水平编号的方向。回归建模时，因素必须用真实取值而不是 1 到 13 的编号，否则回归系数的量纲没有物理意义，而且当你的水平是非等距时，用编号会把非线性硬生生拉直，拟合出来的趋势是假的。第二个细节是端点。U13 的 13 个水平正好把 60 和 120 两个端点都覆盖到，这对确定响应面的边界很有用；但如果你用的表水平数和取值范围不是整除关系，端点可能取不到，做外推判断时要格外小心。这两点都不难，但每年都能见到有人在这里翻车。
3. 好格子点法：从生成向量 h 到一张能用的均匀设计表
3.1 生成向量 h 与 gcd(h, n)=1 的硬约束
课件里给了构造方法的名字：好格子点法（Good Lattice Point）。整套构造只依赖一个向量 h=(h1,…,hm)，叫生成向量。规则很短：先定试验次数 n，再找比 n 小、且与 n 的最大公约数为 1 的正整数，这些数组成候选集合，从里面挑若干个就构成 h。
“与 n 互素”这个约束不是形式主义。它保证第 j 列按 u_ij = i·h_j mod n 递推时，能走遍 1 到 n 的每一个值各一次，形成完整排列。如果 h_j 和 n 不互素，比如 n=12 取 h=4，那么 i·4 mod 12 只能取到 4、8、12 三个值循环，这一列就废了，等于这个因素只做了 3 个水平。所以拿到任何一张均匀设计表，第一件事就是验一下每列是不是 1 到 n 的完整排列，这是最便宜也最有效的自检。
3.2 递推公式与欧拉函数 E(n)：为什么素数 n 最划算
实际生成时用递推更省事：u_1j = h_j；之后 u_{i+1,j} = u_ij + h_j（若不超过 n），否则 u_ij + h_j − n。这本质上就是同余运算，只是避免了每次取模。
给定 n，可用的列数上限 m 由欧拉函数 E(n) 决定，分三种情况：
- n 为素数时，E(n) = n − 1，列数最多；
- n 为素数幂 n = p^l 时，E(n) = n(1 − 1/p)；
- 一般情况 n = p1^l1 · p2^l2 … 时，E(n) = n·Π(1 − 1/p_i)。
代入几个数就明白为什么课件里翻来覆去是 U11、U13：E(9) = 9(1−1/3) = 6，9 水平最多 6 列；E(12) = 12(1−1/2)(1−1/3) = 4，12 水平只剩 4 列；E(6) = 2，6 水平只有 2 列，这就是上一章说的“必须靠 U6* 救场”的根源。而 11 和 13 是素数，E(11) = 10、E(13) = 12，列数宽裕得多。所以排表时优先把试验次数定成素数，是一个几乎零成本、收益很实在的习惯。我通常会在 11、13、17、19 这几个数里挑，既能覆盖因素数，试验量也不至于失控。
3.3 用 Python 生成表并做三项自检
手头没有现成表、或者 n 取得比较偏时，直接用代码生成比翻手册快。下面这段实现了好格子点法，并顺带做三项自检。
import numpy as np from itertools import combinations def ud_table(n, h): """好格子点法：给定试验次数 n 与生成向量 h，返回 Un(n^m) 表""" m = len(h) U = np.zeros((n, m), dtype=int) for j, hj in enumerate(h): for i in range(1, n + 1): r = (i * hj) % n U[i - 1, j] = n if r == 0 else r # 余数为 0 时取 n，保证落在 [1, n] return U # n=11 是素数，1..10 全部与 11 互素 cand = [h for h in range(1, 11) if np.gcd(h, 11) == 1] print("候选生成元:", cand) # 应为 1..10 U11 = ud_table(11, [1, 2, 3, 4, 5, 6]) # 自检一：每列必须是 1..11 的完整排列 for j in range(U11.shape[1]): assert sorted(U11[:, j]) == list(range(1, 12)), f"第{j+1}列不是排列" # 自检二：同一行内不应出现重复水平（同一次试验里两个因素撞水平） for i in range(U11.shape[0]): assert len(set(U11[i])) == U11.shape[1] or True # 仅提示，不强约束 # 自检三：生成元必须与 n 互素 assert all(np.gcd(h, 11) == 1 for h in [1, 2, 3, 4, 5, 6]) print(U11)ud_table里那个n if r == 0 else r是关键一行。取模运算的结果范围是 0 到 n−1，而均匀设计表的水平编号是 1 到 n，余数为 0 时必须补成 n，否则整张表会多出一个 0 水平、少一个 n 水平，后面映射真实值时第一个水平永远取不到。这个 bug 我在别人的脚本里见过不止一次，表现是试验单第一行永远是同一个值。
三项自检里，第一项是硬性的，不通过就说明 h 选错了；第二项只是提示，因为均匀设计并不保证同一行内各因素水平互不相同；第三项等价于第一项的前提。真正要养成习惯的是第一项，几行代码，能省掉一整轮返工。
3.4 偏差 CD2 的实现与读数
没有使用表时，可以自己算偏差来选列。中心化 L2 偏差（CD2）是常用的一种，公式不复杂，代码也就十来行。
def cd2(U, q): """中心化 L2 偏差，U 为 1 基水平编号，q 为水平数；值越小越均匀""" X = (U - 0.5) / q # 映射到 (0,1) 区间的格心 n, s = X.shape term1 = (13 / 12) ** s # 单点项 term2 = 0.0 for i in range(n): d = np.abs(X[i] - 0.5) term2 += np.prod(1 + 0.5 * d - 0.5 * d ** 2) term2 *= 2 / n # 点对项 term3 = 0.0 for i in range(n): for k in range(n): d = np.abs(X[i] - X[k]) term3 += np.prod(1 + 0.5 * d - 0.5 * d ** 2) term3 /= n * n return term1 - term2 + term3 # 枚举 6 列组合，挑偏差最小的一组 best = None for combo in combinations(cand, 6): d = cd2(ud_table(11, list(combo)), 11) if best is None or d < best[0]: best = (d, combo) print("最小偏差组合:", best)X = (U - 0.5) / q把编号映射到每个水平格子的中心，这一步决定了偏差的数值量级；直接拿 1 到 n 的编号去算，结果没有可比性。term1是理论项，term2是单点偏离中心的惩罚，term3是点对之间的排斥项，三项合起来衡量的就是“点铺得散不散”。算出来的数值不用和课件表格精确对齐，那是不同偏差定义之间的差异，看量级和相对排序就够了。
需要提醒的是：这段代码是兜底手段，不是首选。有现成使用表就用现成使用表，那是经过验证的推荐列；自己枚举出来的最优组合，在 n 较大、s 较小时可能和使用表一致，s 一大就未必，这时候以使用表为准更稳妥。
4. 混合水平：拟水平法把一张表掰成两种水平数
4.1 什么时候必须换表：水平数不齐的三个信号
前面讲的都是各因素水平数相等的情况，实际项目里这几乎是奢望。温度能取 5 个水平，时间只有 3 个，浓度受溶解度限制只能取 6 个，三个因素水平数各不相同，这时候均水平表就套不上了。判断要不要走混合水平路线，看三个信号：因素之间的水平数差距超过一倍；水平数少的那个因素是被硬约束卡死的（设备档位、原料批次）；试验总次数已经被成本锁死，不可能为了凑齐水平数往上加。
三个信号里中任意两个，就该考虑拟水平法。它的思路不复杂：拿一张试验次数为 n 的均水平表，把某个因素的水平合并，从 n 个压到 m 个（n 必须是 m 的整数倍），合并后的表就是混合水平表。
4.2 合并规则与代码：i 从小到大分 m 组
课件的规则写得很清楚：设 i 为该因素的第 i 个水平（i = 1, 2, …, n），把 i 从小到大分成 m 组，每组 n/m 个，用 i 所在组的组号替代设计表里的 i。翻成代码只有三行。
def to_mixed(col, n, m): """把 n 个水平合并成 m 个；要求 n 能被 m 整除""" assert n % m == 0, "n 必须是 m 的整数倍" step = n // m # 1..step 归第 1 组，step+1..2*step 归第 2 组，以此类推 return [(v - 1) // step + 1 for v in col] 原始列 = [1, 2, 3, 4, 5, 6] print(to_mixed(原始列, 6, 3)) # [1, 1, 2, 2, 3, 3] print(to_mixed(原始列, 6, 2)) # [1, 1, 1, 2, 2, 2]step = n // m是每组的大小，(v - 1) // step + 1是组号，整体是标准的等距分箱。这段代码本身没有难度，难的是分组之前要想清楚：哪些水平该并到一起。机械地按编号相邻合并，是最省事也最容易出问题的做法，下一节会讲代价。
4.3 合并的代价：自由度、交互与结论颗粒度
合并水平不是免费的。第一，自由度丢了。原本 6 个水平在回归里能提供 5 个自由度，压成 3 个只剩 2 个，如果这个因素本来就是个关键因子，模型很可能因此漏掉它的曲率。第二，组内信息被抹平。把水平 1 和 2 并成一组，意味着模型从此认为这两个水平对指标的影响完全一样，如果它们在物理上效果相反，合并后的结论会非常难看。第三，合并后这一列不能再当连续变量处理。组号 1、2、3 只是分类标签，直接当数值丢进线性回归，等于强行假设组间等距，这个假设通常不成立。
我的做法是：合并只对次要因素做，关键因素宁可少取几个水平也不合并；分组方向按物理趋势走，上升趋势一致的水平并在一起；合并后的列在模型里用哑变量或者有序因子表示，不用裸数字。
4.4 一个 6 因素 6 水平压成 3+6 的完整例子
课件里给的场景是 6 因素 6 水平，因为 E(6) = 2，直接生成只能出 2 列，所以走 U6*(6^6) 路线：先造 U7(7^6)，再划掉最后一行。原始 U6* 的前三行是：
| 行 | 第1列 | 第2列 | 第3列 | 第4列 | 第5列 | 第6列 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 |
| 3 | 3 | 6 | 2 | 5 | 1 | 4 |
现在假设前 3 个因素是次要因素，只需要 3 个水平，后 3 个因素保留 6 水平。对前 3 列调用to_mixed(col, 6, 3)，结果变成：
| 行 | 因素A(3水平) | 因素B(3水平) | 因素C(3水平) | 因素D(6水平) | 因素E(6水平) | 因素F(6水平) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 2 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 1 | 2 | 3 | 1 | 3 | 5 |
| 3 | 2 | 3 | 1 | 5 | 1 | 4 |
| 4 | 2 | 1 | 3 | 2 | 6 | 3 |
| 5 | 3 | 2 | 1 | 6 | 4 | 2 |
| 6 | 3 | 3 | 2 | 3 | 2 | 1 |
这张表能直接下发。但有个副作用要盯住：原始表第 1 列本来就是 1 到 6 顺序排列，合并后变成 1、1、2、2、3、3，仍然单调，看起来没问题；可如果合并的是第 2 列，原始序列是 2、4、6、1、3、5，合并后变成 1、2、3、1、2、3，与第 1 列的相关性会明显上升，两个因素在数据里就分不开了。所以合并完一定要回头算一下合并列与其他列的相关系数，超过 0.7 就换个合并方式或者换一列。
5. 排查：从排表到回归，五个最容易翻车的地方
5.1 现象：模型 R² 很高，但因素一个都不显著
这是新手最容易慌的一幕：拟合优度 0.9 以上，逐个看 P 值全大于 0.05，于是怀疑软件坏了。原因几乎总是残差自由度不够。13 次试验，如果模型里塞了常数项加 3 个一次项、3 个二次项、3
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