第二十夜 · 当数字遇见自己-平芜编程栈

第二十夜当数字遇见自己

上一夜的末尾，我留了一道题。从 12496 出发，反复数出真因数、求和、走到那个和，问走到第几步回到出发点。你若是走了，此刻已经知道，第五步，它回到原地。五个数手拉手围成一个圈，谁也不掉队。这样的圆满要靠伙伴，五个数一个都不能少。这一夜要见的这一族不结伴。它们站在水边，不找别人，只把自己数回自己。数字王国的水巷就在这一夜开门。

进水巷之前，先说巷名的来历。数字王国的人说，很久以前有个少年，长得极好，全城的人都喜欢他，他谁也不理会，唯独在一泓清泉边停住了。水里有一张脸看着他，他伸手去够，水面一碎，那张脸也碎了。他守在水边不肯走，渐渐枯了，最后化作一株花，后人叫它水仙。讲这故事的人还说，爱着少年的那位仙女因为不会说自己的话，只会重复别人的尾音，被罚成了山谷里的回声。传说是传说，神话是神话，可这一族数的名字真的从少年身上来，天下人叫它自幂数，也叫水仙花数，英文里的 narcissistic，字面就是自恋，词源正是那个守着泉水不放的少年。它还有一个户口上的别名，阿姆斯特朗数。这位阿姆斯特朗不是踏上月球的那位。1966 年，美国肯塔基大学的一堂计算课上，这道题出现在考卷里，三个学生各自解了出来，老师便拿最先交卷那位学生的姓称呼这一族数。那位迈克尔·阿姆斯特朗后来成了一个教计算机的老师，2020 年过世。登月的那位比课堂晚了三年才踩上月球。一样的姓，一个去了天上，一个留在课堂，这一夜讲的是课堂里这位。

水仙花数是三位数的名分。一个三位数，把它每一位数字的立方加起来，加回来的竟然是它自己。三位数里这样的数恰好四个。

$$153=1^3+5^3+3^3$$

$$370=3^3+7^3+0^3$$

$$371=3^3+7^3+1^3$$

$$407=4^3+0^3+7^3$$

这算不上稀奇的本事，稀奇的是这个花谱接着往下开。四位数照四次方，三位数里开四朵，四位数里只开三朵，天下人叫它们四叶玫瑰。

$$1634=1^4+6^4+3^4+4^4$$

$$8208=2^4+8^4+0^4+8^4$$

$$9474=9^4+4^4+7^4+4^4$$

五位数照五次方，又是三朵，叫五角星。六位数照六次方，只剩独苗一朵，叫六合。

$$54748=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5$$

$$548834=5^6+4^6+8^6+8^6+3^6+4^6$$

七位开四朵，天下人叫北斗七星，其中一朵是

$$1741725=1^7+7^7+4^7+1^7+7^7+2^7+5^7$$

两位数一片荒漠，一朵也不开。花谱越往后越稀，开到三十九位，彻底开完。全部自幂数拢共 88 朵，最大的一朵有 39 位。

$$115132219018763992565095597973971522401$$

把这 39 位数字各自的 39 次方加起来，加回来的还是它自己。再往后不会再有了，40 位开外，各位数字的幂和追不上数自己长大的速度，这样的相遇从一开始就不可能。1985 年有人把这句话做成了证明，88 朵，到此为止，一朵不多。

花谱里最值得停下来的是第一朵。153 除照镜子，还有两层身份。第一层，它是三角形数，把 1 加到 17，不多不少正好是它。

$$1+2+3+\cdots+17=153$$

第二层在经书里。《约翰福音》记耶稣受难之后在湖边向门徒显现，门徒打了一夜的鱼一无所获，照他说的再撒一次网，拉上来 153 条大鱼。经文只记了数，没说为什么是 153，两千年来解经的人各有各的读法。四世纪的奥古斯丁读出了上面那道加法，10 加 7，他说 10 是十诫，7 是圣灵的七样恩赐。同世纪的耶罗姆另有读法，他说希腊的博物学家数过，天下的鱼种恰好 153 种，满网的 153 条就是万国万族。谁也说不服谁，这个数照旧安静地躺在那页经文里。倒是数学家在两千后替它添了一笔谁也驳不倒的注，凡是 3 的倍数，把它各位数字的立方加起来得到新数，再对新数照做，反复下去，最后必到 153。

$$27\to351\to153$$

$$33\to54\to189\to1242\to81\to513\to153$$

999 要走六步，999999 反而只要四步，一百万以内的 3 的倍数我全数了一遍，个个都回到原点，走得最远的也只用了 14 步。道理有两层，立方和与原数除以 3 的余数永远相同，所以 3 的倍数走不丢；立方和总比大数小，所以路总在变短。两头一夹，终点只有一个。153 不但照得见自己，还把一整个家族往自己身上引。

花谱讲完，该见这户人家的近亲。水仙花照的是幂，近亲照的是积，天下人叫它 Lily，百合。把数字从中间掰开，所有掰法的两部分各自相乘，乘积加起来等于自身的，就是这一族。

$$655=6\times55+65\times5$$

$$1461=1\times461+14\times61+146\times1$$

这是一道面试考题的原题，题目只说了一句，求出五位数中的所有 Lily Number。答案我在这一夜末尾的程序里跑出来了，五位数里恰好五朵。跑出来你又会不会多看一眼，这五朵是 14610，16420，23610，34420，65500，全是四位那五朵的十倍。掰开乘一乘，它们的家族也照得出代际。

顺着水巷往里走，第二户开着一家镜子铺。铺里挂的数正着读反着读都一样，121，1331，353。天下人叫它们回文数。山谷里那位只会重复别人的仙女在这里等到的是对手，回文数不需要别人的话，它自己就是自己的回声。镜子铺里真正的玩法不在这里，你随便挑一个数，把它倒过来写，两数相加，再把和倒过来写，再加。多数数走不了几步，就会撞出一个回文数。89 是这条路上走得最远的两位数，它走了整整二十四步。

$$89+98=187$$

$$187+781=968$$

$$968+869=1837$$

$$1837+7381=9218$$

$$9218+8129=17347$$

$$17347+74371=91718$$

$$91718+81719=173437$$

$$173437+734371=907808$$

$$907808+808709=1716517$$

$$1716517+7156171=8872688$$

$$8872688+8862788=17735476$$

$$17735476+67453771=85189247$$

$$85189247+74298158=159487405$$

$$159487405+504784951=664272356$$

$$664272356+653272466=1317544822$$

$$1317544822+2284457131=3602001953$$

$$3602001953+3591002063=7193004016$$

$$7193004016+6104003917=13297007933$$

$$13297007933+33970079231=47267087164$$

$$47267087164+46178076274=93445163438$$

$$93445163438+83436154439=176881317877$$

$$176881317877+778713188671=955594506548$$

$$955594506548+845605495559=1801200002107$$

$$1801200002107+7012000021081=8813200023188$$

二十四步，13 位，8813200023188，正着读反着读都是它。89 从两位走成十三位，一路上每一步都在长大，最后一行里那个数回头看一眼出发时的自己，已经完全不认得了。巷子里还有一位更倔的。196 加 691 得 887，再倒再加，人们推着它往前走了几十亿次，它长到了上亿位，始终没有照出回文。它是谁，为什么回不到原点，这一夜不掀，让它留给未解之谜的那一夜。

镜子铺另有一桩白送的便宜事。凡是偶数位的回文数，都躲不开 11。

$$1221=11\times111$$

$$123321=11\times11211$$

道理藏在 11 的整除判别法里，奇位数字的和与偶位数字的和相减，差是 0 就是 11 的倍数。回文数两头对称，偶数位时每一对对称的数字恰好一个站奇位一个站偶位，加减相消，一分不剩。奇数位的回文数没这个待遇，353 除以 11 余 1。

数字王国的回文到这里，文字王国还有一座更高的山。一千六百多年前，前秦有一位叫苏蕙的女子，字若兰，丈夫窦滔被流放，她把要说的话织进一方八寸的锦缎，840 个字排成纵横各 29 字的方阵，纵横反斜、退一字迭一字读，都能读成诗，后人数出几千首，武则天为它写过序。这方锦叫璇玑图，是文字王国的回文之巅。数字的回文正读反读只有一条路，璇玑图的回文能走出几千条。两座山放在一起看，数字还是小学生。顺手留一句给你，上海自来水来自海上，这句上联至今没有公认的下联，数字王国的回文你这一夜已经会造了，文字王国的这一句，评论区见。

水巷尽头住着第三户。这一户不照幂也不照镜，它们守的在自己的尾巴上。一个数平方之后，末几位竟然还是它自己，天下人叫它自守数，也有人叫它同构数。

$$5^2=25$$

$$6^2=36$$

$$25^2=625$$

$$76^2=5776$$

$$376^2=141376$$

$$625^2=390625$$

$$9376^2=87909376$$

$$90625^2=8212890625$$

盯着这列等式看，尾巴一节一节对上了。这样的数不止离散的几颗，它们排成两条无穷的链，一条尾巴始终是 5，一条尾巴始终是 6。

$$5\to25\to625\to0625\to90625\to890625\to2890625$$

$$6\to76\to376\rightarrow9376\to09376\to109376\to7109376$$

每条链每往前走一位，新接上的数字只有一个可能，两条链我都接到了 20 位，没有一步分过岔。第二条链的第五位甚至是一个 0，09376，谁头一回看见都以为写错了，可 $9376^2=87909376$ 的尾巴里它就站在那里。为什么恰好两条，为什么从不分岔，这一问的答案你要是熟，此刻应该已经笑了。第十一夜韩信点兵，三个余数定一个数，靠的是模数两两互质。自守数的定义翻成同余的话就是 $x^2\equiv x\pmod{10^k}$，10 拆成 2 和 5，各管各的。末位是6的数的原理是，对2的幂取模等于0，对5的幂取模等于1。

$$9376\equiv 0\pmod{16},\qquad 9376\equiv 1\pmod{625}$$

末位是5的数正相反，对16取模等于1，对625取模等于0。两条链一边一条，各占一个位置，永不换房，所以每一步接哪位数字，余数早就定死了，想分岔也没有第二个名额。数过大半生，第十一夜那套口诀在这里又显了一回灵。

水巷的故事讲完了。巷子里玩的这套拆数位的手艺，出了巷子有一份正经差事。1954 年，IBM 有一位工程师叫卢恩，他给拆数位、隔位加倍、求和、看个位的这一套动作注册了专利，用来查号码抄写时手误，这套手续今天叫 Luhn 算法。你每次刷卡，机器在你号码上跑一遍，几毫秒，不通过就拒付。商品条码、身份证件的末位校验，跑的都是同一族手艺，用的都是同一个模。卢恩后来还捣鼓出另一件更了不得的物件，散列表，那是工业算法的地界，日后有自己的夜。水巷是数字王国的游乐场，游乐场里磨的刀，出厂后被装进了你钱包里的每一张卡。

那少年守着泉水枯去，化成一株花。数没有这个烦恼，它们照了一万年，一位都没老。当数字遇见自己，水仙照水，照见一朵花，回文照镜，照见两个自己，自守数一算平方，尾巴里坐着的还是自己。圆满有时住在彼此身上，像 220 与 284，有时它就住在自己身上，住得安安稳稳，一步都不用挪。

这一夜的三户人家，都写进了下面这个能跑的程序。

importjava.math.BigInteger;/** * 第二十夜 当数字遇见自己，水巷三户全部当众照一遍镜子。 * 花照水（水仙花系与 Lily）、镜照人（回文）、影随身（自守）， * 外加拆位机器出厂前的一次试车（Luhn）。 */publicclassNight20Mirrors{// ===== 一、花照水：水仙花与花系全家桶，3 到 8 位全暴力扫描 =====// 幂和：每一位数字的位数次方之和，幂查表，不调库staticlongdigitPowerSum(longn,intlen,long[][] powTable){longs=0;for(inti=0; i < len; i++) {intd=(int) (n %10); s += powTable[d][len]; n /=10; }returns; }staticvoidscanNarcissistic(){ System.out.println("== 一、水仙花与花系全家桶（3 到 8 位，幂 = 位数）==");long[][]powTable=newlong[10][9];for(intd=0; d <=9; d++) { powTable[d][0] =1;for(intp=1; p <=8; p++) powTable[d][p] = powTable[d][p -1] * d; }for(intlen=3; len <=8; len++) {StringBuildersb=newStringBuilder();intcount=0;for(longn=(long) Math.pow(10, len -1); n < (long) Math.pow(10, len); n++) {if(digitPowerSum(n, len, powTable) == n) { sb.append(n).append(' '); count++; } } System.out.println(len +" digits ("+ count +"): "+ sb.toString().trim()); }// 花谱最末一位：39 位的自照冠军，把它各位的 39 次方加一遍，看它认不认自己Stringbiggest="115132219018763992565095597973971522401";BigIntegersum=BigInteger.ZERO;for(inti=0; i < biggest.length(); i++) {intd=biggest.charAt(i) -'0'; sum = sum.add(BigInteger.valueOf(d).pow(39)); } System.out.println("39-digit champion mirrors itself: "+ sum.toString().equals(biggest)); }// ===== 二、花照水：Lily，把数字掰开乘积求和（3 到 5 位全扫）=====staticvoidscanLily(){ System.out.println("== 二、Lily 全集（3 到 5 位）==");for(intlen=3; len <=5; len++) {StringBuildersb=newStringBuilder();intcount=0;intlo=(int) Math.pow(10, len -1), hi = (int) Math.pow(10, len);for(intn=lo; n < hi; n++) {Strings=String.valueOf(n);longsum=0;for(intcut=1; cut < s.length(); cut++) {longfront=Long.parseLong(s.substring(0, cut));longback=Long.parseLong(s.substring(cut)); sum += front * back; }if(sum == n) { sb.append(n).append(' '); count++; } } System.out.println(len +" digits ("+ count +"): "+ sb.toString().trim()); } }// ===== 三、153 吸引子：3 的倍数反复立方和，全部回到原点 =====staticlongcubeSum(longn){longs=0;while(n >0) {longd=n %10; s += d * d * d; n /=10; }returns; }staticvoidtrap153(){ System.out.println("== 三、153 吸引子（3 的倍数，扫到一百万）==");longmaxSteps=0, argMax =0;for(longn=3; n <=1_000_000; n +=3) {longx=n;intsteps=0;while(x !=153) { x = cubeSum(x); steps++;if(steps >200) { System.out.println("COUNTEREXAMPLE: "+ n);return; } }if(steps > maxSteps) { maxSteps = steps; argMax = n; } } System.out.println("all multiples of 3 up to 1000000 fall into 153; max steps "+ maxSteps +" at "+ argMax);for(longseed :newlong[]{27,33}) {StringBuildersb=newStringBuilder();longx=seed; sb.append(x);while(x !=153) { x = cubeSum(x); sb.append(" -> ").append(x); } System.out.println(sb); }// 153 的双重身份：三角形数，1 加到 17System.out.println("triangular check: 17*18/2 = "+ (17*18/2)); }// ===== 四、镜照人：89 的二十四步，回到原点 =====staticlongreverse(longn){longr=0;while(n >0) { r = r *10+ n %10; n /=10; }returnr; }staticbooleanisPal(longn){returnreverse(n) == n; }staticvoidladder89(){ System.out.println("== 四、89 的二十四步 ==");longx=89;intstep=0;while(!isPal(x)) {longr=reverse(x); System.out.println("step "+ String.format("%2d", ++step) +": "+ x +" + "+ r +" = "+ (x + r)); x += r; } System.out.println("palindrome reached: "+ x +" steps="+ step +" x%11="+ (x %11)); }// ===== 五、镜照人：196 露脸，不掀布 =====staticBigIntegerbigReverse(BigInteger x){returnnewBigInteger(newStringBuilder(x.toString()).reverse().toString()); }staticbooleanbigIsPal(BigInteger x){Strings=x.toString();returns.equals(newStringBuilder(s).reverse().toString()); }staticvoidblack196(){ System.out.println("== 五、196 ==");BigIntegerx=BigInteger.valueOf(196);for(inti=1; i <=5; i++) {BigIntegerr=bigReverse(x); System.out.println("step "+ i +": "+ x +" + "+ r +" = "+ x.add(r)); x = x.add(r); }intsteps=5;while(steps <10000&& !bigIsPal(x)) { x = x.add(bigReverse(x)); steps++; } System.out.println("after 10000 steps: palindrome? "+ bigIsPal(x) +" digits now "+ x.toString().length()); }// ===== 六、影随身：自守两条链，每步唯一延伸 =====staticvoidautomorphic(){ System.out.println("== 六、自守两条链（长到 20 位，每步唯一延伸）==");BigIntegerten=BigInteger.TEN;for(longseed :newlong[]{5,6}) {StringBuildersb=newStringBuilder();BigIntegerx=BigInteger.valueOf(seed); sb.append(x);intdigits=1;while(digits <20) { digits++;BigIntegermod=ten.pow(digits);BigIntegerfound=null;intfoundCount=0;for(intt=0; t <=9; t++) {BigIntegercand=x.add(ten.pow(digits -1).multiply(BigInteger.valueOf(t)));if(cand.multiply(cand).mod(mod).equals(cand)) { found = cand; foundCount++; } }if(foundCount !=1) { System.out.println("UNIQUE EXTENSION BROKEN at "+ digits +" digits: "+ foundCount +" candidates");return; } x = found; sb.append(" -> ").append(String.format("%0"+ digits +"d", x)); } System.out.println(sb); }// 落到纸面的平方System.out.println("376^2 = "+ BigInteger.valueOf(376).pow(2)); System.out.println("625^2 = "+ BigInteger.valueOf(625).pow(2)); System.out.println("9376^2 = "+ BigInteger.valueOf(9376).pow(2)); System.out.println("90625^2 = "+ BigInteger.valueOf(90625).pow(2));// 同余身份：尾 6 链模 2 的幂交 0、模 5 的幂交 1，尾 5 链对调System.out.println("9376 % 16 = "+ (9376%16) +" ; 9376 % 625 = "+ (9376%625)); System.out.println("625 % 16 = "+ (625%16) +" ; 625 % 625 = "+ (625%625)); System.out.println("109376 % 32 = "+ (109376%32) +" ; 109376 % 3125 = "+ (109376%3125)); }// ===== 七、白送的定理：偶位回文必被 11 整除 =====staticvoideleven(){ System.out.println("== 七、偶位回文 % 11 ==");for(longp :newlong[]{1221,123321,1234554321L}) { System.out.println(p +" % 11 = "+ (p %11)); } System.out.println("odd-length counter: 353 % 11 = "+ (353%11)); }// ===== 八、拆位机器出厂试车：Luhn =====staticbooleanluhnCheck(String num){intsum=0;for(inti=0; i < num.length(); i++) {intd=num.charAt(num.length() -1- i) -'0';if(i %2==1) { d *=2;if(d >9) d -=9; } sum += d; }returnsum %10==0; }staticvoidluhn(){ System.out.println("== 八、Luhn =="); System.out.println("4111111111111111 -> "+ luhnCheck("4111111111111111")); System.out.println("4111111111111112 -> "+ luhnCheck("4111111111111112")); }publicstaticvoidmain(String[] args){ scanNarcissistic(); scanLily(); trap153(); ladder89(); black196(); automorphic(); eleven(); luhn(); } }

实跑输出如下。

== 一、水仙花与花系全家桶（3 到 8 位，幂 = 位数）== 3 digits (4): 153 370 371 407 4 digits (3): 1634 8208 9474 5 digits (3): 54748 92727 93084 6 digits (1): 548834 7 digits (4): 1741725 4210818 9800817 9926315 8 digits (3): 24678050 24678051 88593477 39-digit champion mirrors itself: true == 二、Lily 全集（3 到 5 位）== 3 digits (1): 655 4 digits (5): 1461 1642 2361 3442 6550 5 digits (5): 14610 16420 23610 34420 65500 == 三、153 吸引子（3 的倍数，扫到一百万）== all multiples of 3 up to 1000000 fall into 153; max steps 14 at 12558 27 -> 351 -> 153 33 -> 54 -> 189 -> 1242 -> 81 -> 513 -> 153 triangular check: 17*18/2 = 153 == 四、89 的二十四步 == step 1: 89 + 98 = 187 （中间二十二步与正文阶梯逐行一致，此处从略） step 24: 1801200002107 + 7012000021081 = 8813200023188 palindrome reached: 8813200023188 steps=24 x%11=0 == 五、196 == step 1: 196 + 691 = 887 step 2: 887 + 788 = 1675 step 3: 1675 + 5761 = 7436 step 4: 7436 + 6347 = 13783 step 5: 13783 + 38731 = 52514 after 10000 steps: palindrome? false digits now 4159 == 六、自守两条链（长到 20 位，每步唯一延伸）== 5 -> 25 -> 625 -> 0625 -> 90625 -> 890625 -> 2890625 -> 12890625 -> 212890625 -> 8212890625 -> 18212890625 -> 918212890625 -> 9918212890625 -> 59918212890625 -> 259918212890625 -> 6259918212890625 -> 56259918212890625 -> 256259918212890625 -> 2256259918212890625 -> 92256259918212890625 6 -> 76 -> 376 -> 9376 -> 09376 -> 109376 -> 7109376 -> 87109376 -> 787109376 -> 1787109376 -> 81787109376 -> 081787109376 -> 0081787109376 -> 40081787109376 -> 740081787109376 -> 3740081787109376 -> 43740081787109376 -> 743740081787109376 -> 7743740081787109376 -> 07743740081787109376 376^2 = 141376 625^2 = 390625 9376^2 = 87909376 90625^2 = 8212890625 9376 % 16 = 0 ; 9376 % 625 = 1 625 % 16 = 1 ; 625 % 625 = 0 109376 % 32 = 0 ; 109376 % 3125 = 1 == 七、偶位回文 % 11 == 1221 % 11 = 0 123321 % 11 = 0 1234554321 % 11 = 0 odd-length counter: 353 % 11 = 1 == 八、Luhn == 4111111111111111 -> true 4111111111111112 -> false

① 真伪核对逐条照实登记。

Ⅰ 那喀索斯与回声少年临泉自照、憔悴化水仙，仙女回声只会重复他人尾音，出自奥维德《变形记》卷三（神话，登记）；narcissistic（自恋）一词确由少年之名而来（真，词源）；本夜水巷场景为演绎层虚构。

Ⅱ 阿姆斯特朗数人名 Michael F. Armstrong（1941 至 2020），美国数学教育者；名字通行的来历是 1966 年肯塔基大学一堂计算课的考试，三名学生独立解出，讲师以最先解出者之姓命名（通行说法层，MathWorld 口径，登记）；与登月宇航员尼尔·阿姆斯特朗同姓，非其人（真）。

Ⅲ 自幂数总量十进制下自幂数恰有 88 个，最大者 39 位，1985 年 D. Winter 证明总量有限；60 位开外幂和必追不上数本身（真，已联网核查；3 至 8 位本机全扫描核对，39 位冠军本机验幂和自照成立）。

Ⅳ 花谱别名独身数（一位）、水仙花数（三位）、四叶玫瑰数（四位）、五角星数（五位）、六合数（六位）、北斗七星数（七位）、八仙数（八位），中文趣味数学读物通行口径（已联网核查，通行命名层登记）；严格说水仙花数仅指三位自幂数。

Ⅴ 153 条鱼《约翰福音》第二十一章第十一节记 153 条大鱼（真，经文）；奥古斯丁以三角形数解之（10 加 7 各有所指），耶罗姆以鱼类共 153 种解之（解经传说层，登记）；153 为第 17 个三角形数（真，实算）。

Ⅵ 153 吸引子凡 3 的倍数，反复做各位立方和，必落于 153（真定理）；论证两层，立方和与原数模 3 同余、立方和小于大数（真）；一百万以内全部 3 的倍数本机验证，最远 12558 走 14 步（真，JDK 21 实跑）。

Ⅶ Lily Number 面试机试原题照录，致谢原出题方（题面原样）；三位 1 朵、四位 5 朵、五位 5 朵为本机全扫描所得（真，实跑）；五位五朵皆为四位五朵之十倍系本机观察（真，实跑所见，未展开证明）。

Ⅷ 89 与 196 89 经 24 步倒序相加得回文 8813200023188（真，实跑）；196 倒序相加一万步未得回文、数值已 4159 位（真，实跑）；更大规模的验证已有社区纪录推至十亿步开外，Lychrel 一词为 Wade VanLandingham 约于 2002 年以其女友之名 Cheryl 变形而来，196 是最小候选，二进制下已证明不存在此类数（真，已联网核查）；196 能否永不变回回文，未解，留给第二十二夜。

Ⅸ 璇玑图苏蕙，字若兰，前秦人，织锦回文寄夫窦滔，840 字纵横各 29 字，武则天作序记其事，后世读法逾数千首（真，已联网核查；具体可读诗数各家统计不一，登记）；中心增一心字成 841 字为后世纪载一说（存疑并记）。

Ⅹ 自守数 $n^2$ 的末几位恰为 $n$（真）；两条无穷链每步延伸唯一，本机接到 20 位无分岔（真，实跑）；四位成员 0625 与 09376 的前导零为写法口径，数值上即 625 与 9376（真）；与 $x^2\equiv x\pmod{10^k}$ 的幂等元及中国剩余定理的关系（真）；中文口语别名同构数（登记）；历史首倡者不可考，照民间流传口径登记。

Ⅺ Luhn 算法 Hans Peter Luhn，IBM 工程师，1954 年发明此校验法，专利 1960 年授权（真，已联网核查）；今广泛用于信用卡号校验（真）；Luhn 亦为早期哈希与信息检索的奠基者之一（真，已联网核查）。

Ⅻ 演示件 Night20Mirrors 八路实跑（花谱 3 至 8 位扫描、39 位冠军验幂和、Lily 三至五位全集、153 吸引子百万内全验、89 二十四步、196 一万步、自守两条链 20 位、偶位回文模 11、Luhn 一正一反），输出与文中一致（真，JDK 21 实跑验证）。

② 术语对照卡本夜新增五条，定义不含比喻。

Ⅰ 自幂数（水仙花数） n 位数等于其各位数字的 n 次幂之和，如 153。十进制共 88 个。别名阿姆斯特朗数；三位者习称水仙花数。

Ⅱ 回文数正读反读相同的自然数，如 121。偶数位的回文数必为 11 的倍数。

Ⅲ 利克瑞尔数疑为经反复倒序相加永不能得到回文数的自然数，196 为最小候选，尚未证明。第二十二夜正主。

Ⅳ 自守数（同构数）平方的末几位恰为自身的自然数，如 9376。等价于同余方程 $x^2\equiv x\pmod{10^k}$ 的非平凡解，成两条无穷链。

Ⅴ Luhn 算法从右起隔位加倍、求和后核个位的校验算法，用于识别号码的抄写差错。

③ 今夜习题三道加一句征对，评论区见。

Ⅰ 999 走了六步回到原点，999999 只走了四步。挑一个你自己的 3 的倍数，把它立方和走过的每一步写下来，看它是不是也到 153。

Ⅱ 6 链走到 9376，再往前接一位时，程序把 0 到 9 各试了一遍。写这个程序，看有几个数字接得上，接上的那个是几。

Ⅲ 308056789012345 是一张虚构卡号的前 15 位。写程序算出第 16 位校验位，再把末位改掉一位拿去验证，看机器放不放行。