简介：这份2024年海淀区中小学生信息学竞赛校级预选赛试题，面向准备参加信息学竞赛的中小学生及带队指导教师，用于赛前自测与知识点查漏补缺。试卷分为编程基础知识单选题和程序阅读单选题两部分：前者覆盖变量命名规则、赋值语句正误、数据类型、二进制与十进制转换、表达式运算、逻辑判断、函数定义与调用、循环语句及二维数组元素定位；后者给出完整C++代码片段，要求推断取余计数、最大公约数、回文数统计、素数筛法等程序的输出结果，侧重代码阅读与逻辑推演能力。资源包共1个PDF文件，约422KB，下载后可直接打印或在线练习。已有588人学习，适合作为校级预选赛模拟卷，帮助考生熟悉题型、检验基础概念掌握程度，并训练按程序执行过程逐步推导答案的习惯。
1. 从一份校级预选赛 PDF 说起：它到底适合谁刷、刷到什么程度
一份 2024 年区级中小学生信息学竞赛校级预选赛试题 PDF，乍看像“低龄语法卷”，真正拉开差距的却是程序阅读和长题干建模。它把编程基础知识单选题、程序阅读单选题、问题阅读单选题放在同一张卷子里，考的不是背概念，而是能不能在有限时间里把变量、循环边界、状态变化和输入范围读准。适合三类人：准备校级预选赛的学生、带竞赛入门的老师、想补代码阅读基本功的初学者。不适合想刷复杂算法模板的进阶选手。它解决的是“语法会一点、读程序就发懵、长题干抓不住条件”的典型问题。
2. 拆开三类题型：从语法细节到长题干建模的刷题顺序
2.1 编程基础知识单选题：语法细节与概念边界
基础知识题看起来最像“送分题”，实际最容易因为概念边界不清丢分。试题里出现了变量命名、赋值语句写法、二进制转十进制、表达式运算结果、函数调用、循环语句、数组下标等内容。这些点单独看都不难，但命题人喜欢在“合法/一定错误/不正确/错误的是”这些限定词上做文章。刷这类题，不能只判断“大概对不对”，要把每个选项为什么错写出来。
我一般会让学生先做一张知识点归因表，不按题号归因，按错因归因。比如变量命名错，是错在首字符、关键字、长度还是大小写；赋值语句错，是错在分号、引号、类型不匹配还是表达式缺右值；二进制转换错，是权位加错还是把二进制当十进制读。归因表比抄答案有用，因为下一套卷子还会换皮考同一个点。
| 知识点 | 常见考法 | 高频错因 | 训练动作 |
|---|---|---|---|
| 变量命名 | 判断合法变量名 | 首字符用数字、撞关键字、混入符号 | 每题写出“首字符+字符集+关键字”三项检查 |
| 赋值语句 | 判断一定错误的写法 | 把分号、引号、空字符串混进赋值 | 把每个选项改写成合法形式再对照 |
| 进制转换 | 二进制转十进制 | 权位从 0 开始数错 | 手写 2 的幂次表，逐位相加 |
| 表达式运算 | 判断结果类型和值 | 关系表达式、赋值表达式、逻辑表达式混淆 | 先标类型，再算值 |
| 函数与递归 | 判断函数特性 | 把“可以嵌套调用”和“可以嵌套定义”混为一谈 | 用一句话复述每个选项的反例 |
| 循环语句 | 判断 for/while/break/continue | 把“确定次数”和“不确定次数”绝对化 | 给每个循环写一个最小反例 |
这类题的可执行步骤很固定：第一遍限时做，第二遍只改错题，第三遍把错题选项改写成正确表述。限时建议 30 秒一题，超过 30 秒说明概念不熟，先标记再回看。第二遍不要只看正确答案，要把错误选项的“错点词”圈出来，例如“必须”“只有”“都可以”“一定”。第三遍用一张 A4 纸写“如果我是出题人，下一题会怎么挖坑”，这个动作对校级预选赛特别有效，因为题型重复率高，坑位也相似。
提示：基础知识题不要追求刷题量，先把错因标签打到能复述。标签越细，后面程序阅读题越不容易把语法问题误判成逻辑问题。
2.2 程序阅读单选题：把代码当黑匣子做输入输出推演
程序阅读题是这份试题里最值得动手复现的部分。题目给了若干段 C++ 程序，包括统计约数个数、求两个数的最大公约数并输出最小公倍数、判断回文数、筛法后做前缀统计、判断一个数能否拆成两个质数、递归求 gcd、循环找第一个有 6 个因子的数等。这些程序都不长，但阅读时容易在三个地方翻车：循环边界是<还是<=，break和continue影响哪一层，变量初值和自增位置有没有看漏。
读这类题，我习惯用“黑匣子三列法”。第一列写输入假设，第二列写每轮循环后的关键变量，第三列写输出。不要一上来推整个程序，先找变量职责：cnt是计数还是累加，ans是答案还是临时值，a数组是标记数组还是前缀数组。职责找对，推演速度会快很多。
以试题中“统计约数个数”的程序为例，核心逻辑是for(int i=1;i<n;i++) if(n%i==0) cnt++;。它统计的是小于n的约数个数，不包含n本身。如果输入是 6，约数有 1、2、3、6，但循环只到 5，所以cnt是 3。很多同学会按“约数个数”直接选 4，这就是把“变量名语义”当成了“程序语义”。程序阅读题永远以代码为准，不以题面词语为准。
再比如求最小公倍数的程序，先用c=min(a,b)从较小值往下找最大公约数，找到后break，最后输出a*b/d。这里d是最大公约数，输出的是最小公倍数。读的时候要盯住d的更新位置：它在if(a%i==0 && b%i==0)里面被赋值为i，然后立刻break，所以d保存的是从大到小找到的第一个公约数，也就是最大公约数。如果break看漏，就会误以为d会被覆盖成最小公约数。
程序阅读题的可执行训练步骤可以拆成四步：
- 先标变量职责，不急着算数。
- 用最小输入手推一轮，确认循环边界。
- 再换一个能触发
break或continue的输入，观察分支走向。 - 最后把程序敲进本地环境跑一遍，对照手推结果。
第 4 步很关键。纸面推演容易自我说服，本地跑一遍能看到真实输出。常见做法是建一个read_program/目录，每道题一个.cpp文件，输入用重定向，输出贴回错题表。这样错题表里不只有“答案是 B”，还有“我推出来是 C，程序跑出来是 B，差在i<n还是i<=n”。
2.3 问题阅读单选题：长题干建模与边界条件提取
第三类题是长题干单选题，包括手机菜单图标滚动、服务器压缩视频、掷骰子求和、小猴爬山记录等。这类题题干长、变量多，很多学生读完第一遍只记住“有个手机”“有个服务器”，做题时凭感觉选。实际它考的是建模顺序：先分清变量角色，再找状态变化规则，最后检查边界。
手机菜单题的关键是“应用编号”和“图标位置”是两个变量。题目给的是初始位置排列，启动的是应用编号，启动后还要交换图标位置。读题时先写两个数组：pos[app]表示应用当前在哪，at[position]表示某个位置上是哪个应用。每次启动先算滚动次数，再算双击的 1 次操作，然后按规则交换。滚动次数不是按应用编号算，而是按当前位置算。这个区分不写清楚，后面全错。
视频压缩题的关键是时间线。服务器按上传顺序取视频，每个服务器有压缩速率，视频长度不同，完成时间取“到达时间”和“服务器空闲时间”的较大值，再加上压缩耗时。题干里单位容易混：秒、分钟、视频长度、服务器速率。我一般要求先统一单位，再列表。表格列固定为：视频编号、上传时间、长度、分配服务器、开始时间、完成时间。列一拉出来，错误选项就很容易排除。
骰子题和爬山题考的是约束范围。骰子题给每个骰子的面数，问哪些数字可能出现，核心是“固定某个骰子取某个值后，剩余骰子的和是否落在最小值和最大值之间”。爬山题给起点、终点和相邻两天海拔差限制，问可能最高海拔，核心是从左到右推可达上界，再从右到左推可达上界，最后取两者较小值。长题干题不要一上来算答案，先把“变量表”和“约束表”写出来，再动笔。
| 题型 | 核心变量 | 状态变化 | 边界检查 |
|---|---|---|---|
| 手机菜单 | 应用编号、图标位置、每屏容量 | 启动后交换当前位置与前一个位置 | 位置为 1 时不交换；最后一屏可能不满 |
| 视频压缩 | 服务器数、视频数、上传时间、视频长度 | 服务器空闲即取队首视频 | 同一秒多个视频到达；单位统一 |
| 骰子求和 | 骰子数、面数、目标和 | 固定一个面后检查剩余和区间 | 每个骰子最小值 1，最大值是面数 |
| 小猴爬山 | 天数、起点、终点、相邻差限制 | 从左推上界，从右推上界 | 起点终点固定；相邻差不超过给定值 |
3. 把程序阅读题跑起来：本地复现环境与批量对照脚本
3.1 编译环境与最小目录结构
这份 PDF 是试题文档，不是源码包，所以复现重点不是“安装某个框架”，而是把题目里的程序片段变成可编译、可对照的最小工程。常见做法是建一个平铺目录，每道程序阅读题一个源文件，输入输出用文本文件保存。编译器用常见的 C++ 环境即可，标准选 C++17 就够，题目里的语法没有更特殊的要求。
mkdir -p contest_pdf/{src,cases,out,notes} cd contest_pdf touch src/p01_divisor_cnt.cpp touch src/p02_gcd_lcm.cpp touch src/p03_palindrome_cnt.cpp touch cases/p01.in cases/p01.expected touch cases/p02.in cases/p02.expected这段命令只做三件事：建目录、建源文件、建用例文件。src/放题目程序，cases/放输入和期望输出，out/放实际输出，notes/放错题表。参数上不需要花哨命名，题号加语义就够了，比如p01_divisor_cnt表示第 1 题约数计数。目录越简单，后面批量脚本越好写。
注意：不要把所有题目塞进一个
main.cpp。程序阅读题之间变量名和逻辑容易串，分开文件才能单独编译、单独对照。
3.2 用 C++ 复现题目程序并做输入输出对照
以试题中“统计小于 n 的约数个数”和“求最大公约数后输出最小公倍数”两段程序为例，复现时不要改题目逻辑，只补头文件和输入输出。这样跑出来的结果才能和卷面答案对照。下面这段代码把两个程序放在不同命名空间里，避免main冲突，实际训练时也可以拆成两个文件。
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; namespace p01 { int n, cnt; void solve() { cin >> n; // 题目循环到 i < n，统计的是小于 n 的约数个数 for (int i = 1; i < n; i++) { if (n % i == 0) cnt++; } cout << cnt << endl; } } namespace p02 { int a, b, c, d; void solve() { cin >> a >> b; c = min(a, b); // 从较小值往下找，找到的第一个公约数就是最大公约数 for (int i = c; i > 0; i--) { if (a % i == 0 && b % i == 0) { d = i; break; } } // d 是最大公约数，a*b/d 是最小公倍数 cout << a * b / d << endl; } } int main() { int task; cin >> task; if (task == 1) p01::solve(); else p02::solve(); return 0; }代码里保留了两个题目的原始循环边界。p01的i < n是易错点，改成i <= n就会把n本身算进去。p02的break也是易错点，去掉后d会被覆盖成 1 或其他公约数。参数说明：task只用于选择跑哪道题，不参与题目逻辑；n、a、b来自输入文件；cnt、d是全局变量，初值为 0，这一点和卷面程序一致。编译时用g++ -std=c++17 -O2 -o out/run src/p01_divisor_cnt.cpp这类命令即可，-O2不影响结果，只是让批量跑更快。
跑用例时建议用重定向，不要手工敲输入：
echo "1 6" | ./out/run echo "2 12 18" | ./out/run第一行输出 3，因为小于 6 的约数是 1、2、3；第二行输出 36，因为 12 和 18 的最大公约数是 6，最小公倍数是 36。把这两个结果写进cases/p01.expected和cases/p02.expected，后面批量脚本就能自动比对。
3.3 用 Python 写批量对照脚本：一眼看出答案偏移
题目一多，手工比对容易漏。我一般会写一个很小的 Python 脚本，读cases/下的输入文件，调用编译好的可执行文件，再把实际输出和期望输出并排打印。脚本不追求通用，只要能一眼看出“哪题偏了、偏成什么”就够。
import subprocess from pathlib import Path base = Path("contest_pdf") exe = base / "out" / "run" cases = base / "cases" for inp in sorted(cases.glob("*.in")): name = inp.stem expected_file = cases / f"{name}.expected" if not expected_file.exists(): continue expected = expected_file.read_text(encoding="utf-8").strip() # 输入文件第一行是 task 编号，后面是题目输入 proc = subprocess.run( [str(exe)], input=inp.read_text(encoding="utf-8"), text=True, capture_output=True, check=False ) actual = proc.stdout.strip() flag = "OK" if actual == expected else "DIFF" print(f"{name}: {flag} expected={expected!r} actual={actual!r}") if proc.stderr: print(f" stderr: {proc.stderr.strip()}")脚本逻辑很直：遍历*.in，找同名*.expected，用subprocess.run把输入喂给可执行文件，比较去掉首尾空白后的输出。参数说明：input=传字符串，text=True让输入输出按文本处理，capture_output=True同时接住 stdout 和 stderr，check=False避免程序非零退出时脚本直接中断。实际使用时把base改成自己的目录，exe改成编译产物路径即可。
这个脚本的价值不在自动化本身，而在“错题定位”。比如某题期望 3、实际 4，基本能判断是循环边界多算了一位；期望 36、实际 6，基本能判断是输出成了最大公约数而不是最小公倍数。把DIFF行贴进notes/错题表.md，后面复习时不用重新翻 PDF。
4. 长题干题怎么建模：手机菜单、视频压缩、骰子与爬山的四套推演表
4.1 手机菜单题：位置与编号分离的状态机
手机菜单题最绕的地方是“应用编号”和“图标位置”不是一回事。题目给的初始排列是每个应用图标在菜单中的位置，启动序列给的是应用编号。每次启动后，系统会把该应用的图标位置与前一个位置的图标交换。如果只用一个数组记录“第几个应用在哪”，更新时很容易把编号当位置。
我一般用两个数组：pos[app]存应用当前所在位置，at[position]存某个位置上当前是哪个应用。启动应用x时，先取p = pos[x]，滚动次数按p算，不按x算。滚动到目标屏的公式是(p - 1) / k，其中k是每屏容量，位置从 1 开始。然后加 1 次双击操作。接着如果p > 1，交换位置p和p - 1上的应用，同时更新两个数组；如果p == 1，不交换。
| 步骤 | 操作 | 状态更新 |
|---|---|---|
| 1 | 读入应用编号 x | 取 p = pos[x] |
| 2 | 算滚动次数 | (p - 1) / k |
| 3 | 加双击操作 | ans += 1 |
| 4 | 若 p > 1，交换 p 与 p-1 | 更新 pos 和 at |
| 5 | 处理下一个启动编号 | 回到步骤 1 |
这套状态机的可执行训练方法是：先拿 3 个应用、每屏 2 个图标、启动 3 次的小数据手推，把每一步的pos和at都写出来。手推两轮后，再写代码。代码里不要省at数组，只维护pos会在交换时找不到“前一个位置上是哪个应用”。边界检查两个：位置为 1 不交换；最后一屏可能不满，但滚动次数公式不受影响。
4.2 视频压缩题：服务器队列与时间线模拟
视频压缩题的核心是“服务器按上传顺序取视频，谁先空闲谁接下一个”。题干里服务器数量、视频数量、上传时间、视频长度、压缩速率混在一起，最容易错的是单位。常见做法是先统一成秒，再维护每个服务器的空闲时间。视频到达时，取当前最早空闲的服务器，开始时间等于max(到达时间, 服务器空闲时间)，完成时间等于开始时间加压缩耗时。
| 视频 | 上传时间 | 长度 | 分配服务器 | 开始时间 | 完成时间 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 2 分钟 | S1 | 0 | 压缩耗时 |
| 2 | 1 | 1 分钟 | S2 | 1 | 1 + 压缩耗时 |
| 3 | 2 | 1 分钟 | S3 | 2 | 2 + 压缩耗时 |
| 4 | 3 | 1 分钟 | 最早空闲 | max(3, 空闲时间) | 开始 + 耗时 |
模拟时不要一上来算所有视频，先算前三个，确认“同一秒多个视频到达”和“服务器刚好空闲”两种情况。如果题干说每个服务器每秒压缩固定时长，就把长度除以速率；如果速率是“每几秒压缩一分钟”，就先换算成“压缩一分钟需要几秒”。这类题的错误选项通常是把“完成时间”写成“开始时间”，或者把“上传时间”当成“开始时间”。表格列清楚后，逐行核对即可。
4.3 骰子与爬山题：可行性剪枝与区间约束
骰子题给每个骰子的面数，问某个骰子取某个数字时，是否可能让总和等于目标值。直接枚举所有组合会爆炸，正确做法是算剩余骰子的最小和与最大和。固定第i个骰子取v后，剩余骰子的最小和是剩余数量，最大和是剩余面数之和。如果目标值减去v落在[min_rest, max_rest]内，这个取值就可能。对每个骰子、每个面都做一次这个检查，复杂度是面数之和，完全够用。
爬山题给起点、终点和相邻两天海拔差限制，问可能达到的最高海拔。做法是从左到右推一个上界：left[i] = min(left[i-1] + d, 某个已知约束)；再从右到左推一个上界：right[i] = min(right[i+1] + d, ...)；每个位置的可达最高值取min(left[i], right[i])。如果起点和终点固定，先把两端设成已知值，再向中间推。边界检查：相邻差限制是“不超过”，不是“必须等于”；起点和终点本身不能改。
| 题型 | 核心约束 | 推演方向 | 易错点 |
|---|---|---|---|
| 骰子求和 | 每个骰子取值 1 到面数 | 固定一个取值，检查剩余和区间 | 忘记剩余骰子最小值不是 0 |
| 小猴爬山 | 相邻两天差不超过 d | 左推上界、右推上界，取较小值 | 把起点终点当成可调整值 |
5. 避坑与排查：这份 PDF 刷题时最容易翻车的五件事
5.1 五类高频翻车现场
第一类，题干排版错位导致条件读漏。现象是做完发现“少看了一个变量”或“把范围看反了”。原因常见于 PDF 分栏、公式和选项挤在一起，读题时视线跳行。解决方法是先只读题干，不读选项，用笔把变量名、范围、单位圈出来；再读选项。手机菜单题和视频压缩题尤其要这样处理。
第二类，程序阅读题把“输入范围”当“输出范围”。现象是手推时用了一个很大的输入，推着推着乱了。原因是题目程序可能只适合小输入手推，大输入应该看循环边界和变量职责。解决方法是用最小输入先跑一轮，再用能触发分支的输入跑第二轮，不要一上来就代大数。
第三类，长题干模拟题的时间单位不统一。现象是视频压缩题算出来的完成时间和选项差一个倍数。原因是题干里秒、分钟、压缩速率混着写。解决方法是先写单位换算表，把所有时间统一成秒，再开始模拟。表格里专门留一列“统一后单位”。
第四类，单选题选项缺失时硬猜。现象是 PDF 里某些选项显示不全，凭印象选了一个。原因是扫描或排版导致符号丢失。解决方法是把题干和选项一起复制到错题表，缺失处标“待补”，先按程序逻辑推答案，再对照选项。不要用“看起来像”补选项。
第五类，用答案反推思路的副作用。现象是同一道题做对了，换个数就不会。原因是记住的是选项字母，不是程序状态变化。解决方法是每道错题写一句“如果输入改成 X，输出会变成什么”，用变式题验证自己是否真的理解。
5.2 排查清单与修复动作
| 症状 | 优先检查 | 修复动作 |
|---|---|---|
| 手推结果和程序输出不一致 | 循环边界、初值、break/continue | 把循环变量每轮打印出来，对照三列法 |
| 长题干题读完不知道变量谁是谁 | 是否区分了编号和位置、时间与时长 | 先画变量表，再画状态表 |
| 同一知识点反复错 | 错因标签是否太粗 | 把“语法错”拆成“首字符错/关键字错/符号错” |
| 批量脚本全报 DIFF | 输入文件第一行 task 编号、可执行文件路径 | 先手工跑一个用例，再跑脚本 |
| 选项和题干对不上 | PDF 排版是否丢符号 | 复制到文本编辑器，补齐缺失处再判断 |
排查时我一般按“先最小用例，再批量脚本，最后错题表”的顺序走。最小用例能确认程序本身没跑错，批量脚本能确认对照关系没建错，错题表能确认错因没有归粗。三步都过一遍，比反复看答案有效。
6. 把试题变成训练包：三个可复用技巧与一条验证习惯
这份 PDF 的价值不只在“做一遍对答案”，而在把它拆成可复用训练包。第一个技巧是按题型建三个目录：basic/放基础知识错题，read/放程序阅读复现代码，model/放长题干建模表。每个目录只放一种东西，复习时不用翻整份 PDF。第二个技巧是给每道程序阅读题配一个“变式输入”，比如把约数题的输入从 6 改成 12，把最小公倍数题的输入从 12 和 18 改成 15 和 20，用输出变化验证自己是不是真懂。第三个技巧是把长题干题的变量表做成模板，手机菜单用“编号/位置”两列，视频压缩用“到达/开始/完成”三列，骰子用“固定值/剩余最小/剩余最大”三列，下次遇到同类题直接套。
| 训练包目录 | 放什么 | 复习动作 |
|---|---|---|
| basic | 基础知识错题与错因标签 | 每周只看错因标签，不看题号 |
| read | 每道程序阅读题的 cpp 与用例 | 改一个输入，重跑一次 |
| model | 长题干变量表与约束表 | 遮住答案，只推表格 |
验证习惯只有一条：每道程序阅读题至少跑一次本地编译，每道长题干题至少写一张变量表，做完后把“手推结果”和“程序/表格结果”并排写。从那以后我每次带人刷这类校级预选赛 PDF，都强制走一遍“最小用例—批量对照—错题归因”三步，不跳过。希望帮到你。
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