简介：《信号与系统-复习知识总结》是一份面向电子信息工程、自动化等专业学生及考研复习者的知识点梳理文档，用于在期末或初试前快速建立课程框架、定位薄弱环节。文档围绕信号分类与典型奇异信号、时域运算、系统分类与线性时不变特性、零输入与零状态响应、卷积积分及其图解法展开，并系统整理傅里叶级数与傅里叶变换、拉氏变换、z变换以及频域与时域特性的对应关系。内容以重难点编号组织，穿插常用变换对、基本性质与全响应求解流程，便于对照教材查漏补缺。压缩包内只有1个doc文件，约659KB，单文件结构适合打印批注与关键词检索。目前已有1368人学习，适合需要短周期复盘考点、强化公式与性质记忆的读者。
1. 信号与系统到底在讲什么：一门把“变化”拆开看的学问
你手机里放的音乐、体温计上跳动的数字、汽车仪表盘上的速度指针，本质上都是“随时间变化的东西”。信号与系统这门课，干的就是把这种“变化”拆开、看清、再拼回去的活儿。它来自电子信息与自动控制领域的基础理论，核心问题特别朴素：一个东西随时间怎么变（信号），一个东西收到输入后怎么反应（系统），这两件事能不能用同一套语言算清楚。之所以值得搞懂，是因为傅里叶变换、拉氏变换、z变换这三套工具，几乎贯穿了通信、控制、图像处理、音频算法的全部底层逻辑，搞不清它们的分工，看任何技术文档都像在看玄学。
2. 信号为什么先要分类：不分类就没法用同一把尺子量
拿到一个波形，第一反应不该是套公式，而是先问它属于哪一类。分类不是为了考试填空，而是决定了你后面能用哪套数学工具、能得出什么结论。信号与系统这门课里最容易被跳过、却最影响后续理解的，就是这套分类体系。
2.1 按时间特性划出的五组对立面
原文给出的划分方式很清晰，是五组两两对立的概念：确定信号和随机信号、连续信号和离散信号、周期信号和非周期信号、能量信号和功率信号、因果信号与反因果信号。
这五组分别回答五个不同的问题。确定与随机，问的是“未来能不能被精确预测”；连续与离散，问的是“自变量是连续取值还是只取一个个点”；周期与非周期，问的是“波形会不会原样重复”；能量与功率，问的是“这个信号的总能量有限还是平均功率有限”；因果与反因果，问的是“信号在时间零点之前是不是恒为零”。
打个比方，这就像给一个人建档案：性别、年龄、籍贯、职业、婚否，每一栏都独立，但合起来才描述得完整。一个信号可以同时是“连续的、周期的、功率的、因果的”，也可以是“离散的、非周期的、能量的”。分类维度之间不互斥，别把它们当成一道单选题。
其中能量信号和功率信号的划分最容易被轻视。原文说得很直接：除了具有无限能量及无限功率的信号外，时限的（有限时间外为零）或随时间趋于无穷时幅度趋于零的非周期信号就是能量信号；而当时间趋于无穷、幅度不趋于零的非周期信号是功率信号。周期信号是功率信号。这句话的实用价值在于：它提前告诉你某些积分会不会发散，免得你算了半天发现结果是一个无穷大。
2.2 正弦信号为什么被单独拎出来
原文特意强调，正弦信号是最常用的周期信号。注意这里的限定词“组合后”：正弦信号组合后，只有当任一对频率（或周期）的比值是有理分数时，合成信号才是周期的，其周期为各个周期的最小公倍数。
这句话第一次读会觉得绕，通俗地说就是：几个正弦波叠加，不一定还是周期信号。比如两个频率比是 2:3 的正弦波叠加，比值是有理数，合成信号周期是二者周期的最小公倍数，仍是周期的；但如果频率比是无理数，比如 1 比根号 2，那这个合成波形永远不会精确重复自己，它是非周期的。
原文还给了两条容易记混的结论：连续正弦信号一定是周期信号；但两连续周期信号之和不一定是周期信号。这两句放一起看才有意思，单个正弦波永远周期，两个周期信号相加却可能丢掉周期性。很多人第一次做合成波形的题，默认“周期加周期还是周期”，就在这儿翻车。
2.3 典型信号与奇异信号：工具箱里的常驻成员
原文列出的典型信号有四类：指数信号、正弦信号、复指数信号、抽样信号。这四类之所以“典型”，是因为它们既能描述大量真实物理现象，又在数学上具有极好的性质。复指数信号尤其关键，它是把正弦和指数统一起来的那把钥匙，后面傅里叶变换、拉氏变换全都建立在它之上。
奇异信号是另一组，包括单位阶跃信号和单位冲激信号。单位阶跃信号的特征是有一个跳变点，跳变前后取值不同；单位冲激信号则更抽象，它不是一个普通函数，而是一个在极短时间内集中了全部面积的极限对象。
单位冲激信号的性质是这一节的重头戏，原文列了五条：取样性（与函数相乘再积分，能取出该函数在某一点的值）、是偶函数、比例性、微积分性质，以及冲激偶的相关性质。这些性质单独背没有意义，它们真正的用途是简化计算，尤其是在卷积和傅里叶变换里反复出现。
原文还给了一条非常实用的结论：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度，正跳变对应正冲激，负跳变对应负冲激。这条结论相当于给了你一个“验算器”：对分段波形求导后如果没出现冲激，多半是漏了跳变点。
提示：冲激函数不是靠“函数值”理解的，而是靠“它和别的函数相乘后积分出什么”理解的。抓住取样性这一条，其余性质都是从它推出来的。
3. 系统为什么要分线性、时不变、因果：三个性质决定能用什么解法
信号讲完，轮到系统。系统的分类看似只是名字堆叠，实际上每加一个性质，就多一套可用的数学捷径。不理解性质背后的“为什么”，后面解微分方程、做变换时就只能死记步骤。
3.1 线性性：叠加性与均匀性带来的分解特权
原文的定义很干脆：若同时满足叠加性与均匀性，则称满足线性性。也就是激励为两个信号的线性组合时，响应等于各自响应的同系数线性组合。
线性性最大的价值不是定义本身，而是它带来的分解特性。原文写道：全响应可分解为零输入响应与零状态响应之和；其中零输入响应是初始值的线性函数，零状态响应是输入信号的线性函数，但全响应既不是输入信号也不是初始值的线性函数。
最后这半句是全章最容易被忽略的一句。很多人记住了“可以拆”，却没记住“拆完不能随便再合”。因为零输入响应只看初始状态、零状态响应只看输入，两者各自线性，但合起来对“输入加初始值”这个整体并不线性。打个比方，两个人各管一摊账，各自的账目都清清楚楚，但把两个人的账混在一张表上，就没法再用一个人的收支去预测总额。
3.2 时不变性与因果性：让系统“脾气稳定、不预知未来”
时不变性的表述是：当激励变为延时后的版本时，响应也同步延时相同时间，波形形状不变。通俗地说，这个系统今天处理一个信号和明天处理同一个信号，结果一样，只是整体往后挪。它保证了系统本身不随时间变化，也就保证了冲激响应这个概念有意义。
因果性说的是系统不会在输入到来之前就有响应，输出不会提前于输入。现实中的物理系统基本都是因果的，但数学上构造的理想滤波器往往不是，这一点在后面的无失真传输和理想滤波器一节会正面撞上。
原文还补了一句关键结论：线性非时变系统具有微分特性和积分特性。这句话是后面所有变换法的通行证，正因为系统线性且时不变，输入求导，输出也求导；输入积分，输出也积分，才有资格把微分方程整体搬到频域或复频域去解。
3.3 全响应的三种拆法：拆法不同，用途不同
原文给出全响应的两种主要分解方式：一种是零输入响应加零状态响应，另一种是自由响应加强迫响应。这两组拆法经常被混为一谈，其实回答的问题不一样。
零输入与零状态的拆法，是按“响应由谁引起”来分的，前者由初始状态引起，后者由外部输入引起，适合分析系统本身的储能和外部激励各自的贡献。自由与强迫的拆法，是按“响应形式由谁决定”来分的，自由响应的形式由系统特征根决定，强迫响应的形式跟输入信号走。
原文在讲零输入响应时明确说：零输入响应就是解齐次方程，形式由特征根确定，待定系数由初始状态确定，并且零输入响应必然是自由响应的一部分。这句话把两套拆法接上了：零输入响应一定是自由响应，但自由响应不只有零输入响应，零状态响应里也含有自由响应的成分。原文也点明，零状态响应可分解为自由响应和强迫响应两部分。
理解了这层包含关系，就不会再问“零输入响应和自由响应是不是一回事”这种问题了。
注意：初始条件取 0- 还是 0+，会直接影响零输入响应的待定系数。原文在讲单边拉氏变换时特别说明积分下限取 0-，就是为了让冲激函数这类在零点突变的信号也能被统一处理。
3.4 卷积积分：把“任意输入”拆成无数个冲激
这是连续系统时域分析的核心。原文的逻辑链条非常清楚：任意信号可分解为无穷多个冲激函数的连续和，那么线性时不变系统的零状态响应，就是激励信号与单位冲激响应的卷积积分。
为什么非要绕这一圈？因为冲激响应是系统的“指纹”。只要知道系统对单位冲激的反应，任何输入下的零状态响应都能通过卷积算出来，不用每次都重新解微分方程。这就是线性时不变系统的最大红利。
卷积的计算，原文给了图解法四步：换元（把 t 换成 τ）、反转平移（把其中一个函数反转后右移 t）、乘积、积分。这四步是求某一时刻卷积值的手工方法，考试常用，实际工程里基本交给工具。
卷积的代数性质原文列了交换律、分配律、结合律，还有几条实用恒等式：f(t) 与冲激函数卷积等于 f(t) 本身；f(t) 与冲激函数的导数卷积等于 f(t) 的导数；两个因果信号卷积，积分限是从 0 到 t。最后这条在处理单边信号时能省掉大量讨论。
原文还给了系统全响应求解的标准流程：先根据系统建立微分方程，由特征根求零输入响应，求冲激响应，用卷积求零状态响应，最后两者相加得全响应。这五步是时域法的完整闭环，也是后面变换法要对照的参照系。之所以还要学变换法，是因为卷积积分手算太费劲，尤其是输入稍复杂一点，图解法就变成了体力活。
3.5 常见误区：这几组概念最容易混
误区一：把“周期信号”和“功率信号”当成等价关系。易混的原因是原文确实说了“周期信号是功率信号”，读快了就像在说两者互相定义。实际上这只是单向包含：周期信号一定是功率信号，但功率信号不一定是周期信号。怎么区分：看定义域，功率信号只要求平均功率有限且非零，随机信号、非周期但幅度不衰减的信号都可以是功率信号。
误区二：以为“线性系统”等于“全响应线性”。易混是因为线性性的定义只提了激励与响应的关系，很容易顺推成“输入加初始值一起变，输出也一起变”。原文已经明确否定了这一点：全响应既不是输入信号也不是初始值的线性函数。怎么区分：记住线性性只保证零状态响应对输入线性、零输入响应对初始值线性，两者不能合并使用。
误区三：把“零输入响应”和“自由响应”画等号。易混是因为零输入响应确实属于自由响应，且两者形式都由特征根决定。怎么区分：自由响应是“形式归类”，凡是由特征根决定形式的成分都算；零输入响应是“来源归类”，只算初始状态引起的那部分。零状态响应里同样含有自由响应成分。
误区四：以为“两个周期信号相加一定还是周期信号”。易混是因为日常经验里周期叠加周期好像还是周期。原文给出的判据是频率或周期的比值必须为有理分数。怎么区分：拿到合成信号先算两个分量的周期比，是有理数才是周期信号，周期取最小公倍数；是无理数就直接判非周期。
误区五：把冲激函数当成“值很大的普通函数”。易混是因为图像上画成一根竖直箭头。怎么区分：冲激函数的意义只在积分里体现，它和任意函数相乘再积分能取出该函数在某点的值，这个取样性才是它的定义性特征，脱离积分谈它的“大小”没有意义。
4. 三套变换怎么分工：傅里叶、拉氏、z变换各管一段
这部分是整份资料的重心，也是最容易学成一锅粥的地方。原文从傅里叶级数一路写到拉氏变换、z变换，跨度很大，但如果抓住“它们分别在回答什么问题”，脉络就顺了。
4.1 傅里叶级数与傅里叶变换：把信号拆成频率成分
傅里叶级数处理的是周期信号。原文指出，任一满足狄利克雷条件的周期信号都可展开为傅里叶级数，有三角函数形式和指数形式两种写法。三角函数形式拆成直流分量、余弦分量、正弦分量；指数形式则用复指数函数作基，系数是复数。
原文特别提到利用对称性简化系数计算：实偶函数的级数中不含正弦项，只可能有直流项和余弦项；实奇函数不含余弦项和直流项，只可能有正弦项；实奇谐函数只含基波和奇次谐波的正弦、余弦项。这三条是纯计算加速器，看到函数先判奇偶，能省掉一半积分。
从周期矩形脉冲的分析里，原文提炼了三条结论：信号持续时间与频带宽度成反比；周期越大，谱线越密，离散频谱趋向连续频谱；周期信号频谱有离散性、谐波性、收敛性三大特点。第一条是后面时域与频域关系的基石，时域越窄，频域越宽，这个反比关系贯穿整个课程。
傅里叶变换则把适用范围从周期信号扩展到非周期信号。原文给出正变换与逆变换的定义，并说明频谱密度函数一般是复函数，其模代表各频谱分量的相对大小且是频率的偶函数，其相位表示各频率分量之间的相位关系且是频率的奇函数。
原文列出的常用变换对包括冲激函数、常数、阶跃信号、单边指数信号、门函数、符号函数、双边指数信号等。这些变换对必须熟，因为后面的性质运算都是在它们基础上组合出来的。
傅里叶变换的性质原文列了十几条：线性、对称、展缩、时移、频移、时域卷积、频域卷积、时域微分、积分、频域微分、奇偶虚实性。这些性质不是用来背的，而是用来“少算”的。举个最短的例子，展缩特性说的是时域压缩对应频域展宽，这和前面“持续时间与频带宽度成反比”是同一件事的两种表述。
提示：频移特性是理解调制的入口。信号乘上一个复指数，频谱整体平移，这个操作在通信里就是搬移频段。原文没有展开调制，但性质本身已经说明了机制。
周期信号的傅里叶变换有个特殊形态：原文说它由一些冲激函数组成，冲激位于信号的谐波处，每个冲激的强度等于对应傅里叶级数系数的相应倍数。也就是说，周期信号在频域不是连续的一片，而是一串等间距的尖峰。
冲激抽样信号的频谱是另一个重要结论：信号在时域被冲激序列抽样后，频谱是原连续信号频谱以抽样频率为周期等幅重复。这句话直接铺垫了抽样定理。
4.2 抽样定理：为什么采样率不能太低
原文把时域取样定理单列，并强调恢复原信号必须满足两个条件：信号必须是带限信号；取样频率不能太低，必须满足取样频率不低于信号最高频率的两倍，或者说取样间隔不能大于最高频率两倍值的倒数，否则会发生混叠。
原文还给两个概念定了名：最低允许的取样频率称为奈奎斯特频率，最大允许的取样间隔称为奈奎斯特间隔。
混叠这个词值得说透一点。频谱被周期复制后，如果复制间隔太窄，相邻副本会互相重叠，高频成分叠到低频位置上，再也分不开。这就是为什么采样率不够时，一段高频信号会被听成低频的怪声。这不是算法能补救的问题，信息在采样那一刻就已经丢了，事后再怎么处理都是猜。
4.3 拉普拉斯变换：把微分方程变成代数方程
傅里叶变换有个局限，有些信号不满足绝对可积条件，变换不存在。拉氏变换通过引入衰减因子把适用范围扩大，同时带来一个更大的好处：微分方程可以直接变成代数方程。
原文给出的单边拉氏变换定义中，积分下限取 0- 而不是 0，这个细节很关键。因为冲激函数在零点有突变，取 0- 能把初始条件统一纳入，使变换式里自然带上初始状态的信息，求解微分方程时初始条件直接代入即可。
收敛域这部分原文讲得很实在：有限长信号的收敛域是整个 s 平面；右边信号的收敛域在某条垂线右侧；左边信号在左侧；双边信号是一条带状区域。同时原文也说明，讨论单边拉氏变换时只要衰减因子取得足够大总满足绝对可积，因此一般不写收敛域。这句话解开了很多人的困惑：不是收敛域不重要，而是单边变换下它自动满足。
原文列出的性质里，时域卷积定理值得单独提：两个信号卷积的拉氏变换等于各自变换的乘积。这条性质把时域里最费劲的卷积运算，变成了 s 域里的乘法，这是拉氏变换分析法能替代时域法的根本原因。
原文还给了一组选性质的“一般规律”：有 t 相乘时用频域微分性质；有实指数相乘时用频移性质；分段直线组成的波形用时域微分性质；周期信号只需求出第一周期的拉氏变换。这几条是操作层面的血泪经验，比性质表本身更好用。
拉氏反变换原文要求掌握部分分式展开法，单实根对应指数项，二重根对应带 t 的指数项。这部分是纯计算，但前提是先会因式分解。
微分方程的拉氏变换分析，原文的步骤是：对方程取拉氏变换并代入初始条件，把时域方程转为 s 域代数方程，求出响应的象函数，再反变换回时域。原文还提到动态电路的 s 域模型，引入复频域阻抗后，电路定律的复频域形式与相量形式相似。这句话的意义在于，电路课里那套相量法可以整段迁移过来，只是从 jω 换成 s。
系统函数是这一部分的落点。原文定义系统函数为零状态响应的象函数与激励象函数之比，也就是冲激响应的拉氏变换。它把系统的全部特性压缩成一个 s 的有理函数，分析系统从此变成分析这个函数的零极点。
原文关于极点与时域响应的对应关系讲得很清楚：左半平面的极点，无论一阶还是重极点，对应的时域函数都按指数规律衰减，因此极点全部在左半开平面的因果系统是稳定的；虚轴上的一阶极点对应幅度不随时间变化的阶跃或正弦函数；虚轴上的二阶及以上极点、右半平面的极点，对应响应随时间递增。稳定性判据因此变得非常直观：看极点位置就行，不用解方程。
原文还给了多项式判稳的几条准则：全部系数符号相同为正、无缺项；三阶系统还要求各项系数全为正且满足特定关系。这些是劳斯判据的简化版，用于快速判断。
4.4 z变换：离散世界里的对应工具
离散系统的分析框架和连续系统高度平行。原文先讲离散信号：单位抽样序列及其延迟形式、单位阶跃序列、矩形序列、实指数序列。离散系统的时域模拟基本单元是延时器、乘法器、相加器，对应连续系统里的积分器、乘法器、相加器。
卷积和的定义与连续卷积一一对应，性质也照搬：交换律、分配律、结合律，以及 f(n) 与单位抽样序列卷积等于自身、与移位后的抽样序列卷积等于移位后的自身。卷积和的计算原文给了三种方法：不进位乘法、列表法、图解法。不进位乘法是最像手算竖式的一种，对有限长序列很顺手。
离散系统的零状态响应等于激励与单位序列响应的卷积和，这个结构与连续系统完全一致。
z变换的定义分双边和单边两种。收敛域部分原文点明：因果序列的收敛域是某个半径的圆外部分。基本序列的变换对里，单位抽样序列对应常数 1，单位阶跃序列对应 z/(z-1)，收敛域是模大于 1。
z变换的性质原文列出移位特性、序列乘 a 的 k 次方的 z 域尺度变换、卷积定理。移位特性要注意单边和双边的差别：双边移位只是乘 z 的负幂，单边移位还要补上初始条件项。原文给出的例子是延迟两拍的情况，变换式里额外带了两个初始值项，这就是单边变换必须交代初始状态的原因。
稳定性判据在 z 域里换了个几何表述：极点全部在单位圆内的因果系统是稳定系统；单位圆上有一阶极点且圆外无极点的是临界稳定系统；单位圆上有高阶极点或圆外有极点的是不稳定系统。这和 s 域里“左半平面稳定”是同一件事的离散版本，只是稳定区域从半平面变成了单位圆内部。
4.5 常见误区：变换法里最容易踩的坑
误区一：以为傅里叶变换和拉氏变换只是换了个字母。易混是因为两者的定义式长得很像，性质表也高度重合。怎么区分：傅里叶变换把信号投影到虚轴上，物理意义是频率成分；拉氏变换把信号投影到整个复平面，额外引入衰减因子，能处理增长型信号，并且天然携带初始条件，专门用来解微分方程。
误区二：以为收敛域可以随便不写。易混是因为原文说单边拉氏变换一般不写收敛域。怎么区分：不写的前提是“单边”，双边变换或离散序列的 z 变换，收敛域不同对应的时域信号完全不同，同一个象函数可能对应右边序列、左边序列或双边序列，不写收敛域就没法反变换。
误区三：把“系统稳定”和“系统因果”当成同一件事。易混是因为判据里经常两个词一起出现。怎么区分：因果性说的是输出不超前于输入，稳定性说的是有界输入产生有界输出。一个系统可以因果但不稳定，也可以稳定但非因果。s 域里因果看收敛域是否在极点右侧，稳定看虚轴是否在收敛域内。
误区四：以为理想滤波器可以直接做出来。易混是因为频域特性画得干净利落，通带内全通、阻带内全断。原文明确指出，理想滤波器是非因果性的，物理上不可实现。怎么区分：看它的冲激响应，理想低通滤波器的冲激响应在时间零点之前就有非零值，不满足因果性。工程上只能做逼近，逼近就带来过渡带和延时。
误区五：把时域微分性质和频域微分性质用反。易混是因为两条性质都带“微分”二字。怎么区分：时域微分对应频域乘一个因子，频域微分对应时域乘 t。原文给的选择规律说得很直白：有 t 相乘时用频域微分性质，这句话是判断方向的锚点。
5. 什么时候该用哪套工具：一份可对照的判断清单
理论讲完，落到用。这部分不是教你怎么考试，而是给你一个判断习惯：拿到一个具体问题，先判断它属于哪一类，再决定动哪套工具。
5.1 按信号类型和求解目标选方法
| 信号类型 | 求解目标 | 首选工具 | 理由 |
|---|---|---|---|
| 连续非周期信号 | 频率成分、带宽 | 傅里叶变换 | 直接给出频谱密度，模和相位一目了然 |
| 连续周期信号 | 谐波构成 | 傅里叶级数 | 频谱是离散谱线，级数系数直接对应各次谐波 |
| 连续信号、含初始状态 | 全响应 | 拉普拉斯变换 | 微分方程转代数方程，初始条件自然带入 |
| 连续信号、零状态响应 | 时域波形 | 卷积积分 | 只需冲激响应，无需解方程，适合简单输入 |
| 离散信号 | 系统响应 | z变换 | 差分方程转代数方程，结构与拉氏变换平行 |
| 离散信号、有限长 | 卷积和 | 不进位乘法 | 手算最快，不需要变换 |
| 判断稳定性 | 是否收敛 | 看极点位置 | s 域看左半平面，z 域看单位圆内，不用解方程 |
这张表的核心是最后一列，也就是“理由”。工具选择不是看哪个高级，而是看哪个能把你手上的已知条件直接变成答案。已知冲激响应、输入简单，卷积比变换快；已知微分方程、初始状态复杂，拉氏变换比卷积稳。
5.2 一个具体例子：从微分方程到全响应
假设某线性时不变连续系统由二阶微分方程描述，初始状态非零，输入是一个指数衰减信号。按原文给的五步流程，时域法要解齐次方程、求特解、定系数、再算卷积，步骤多且容易在初始条件上出错。
改用拉氏变换，流程压缩成四步：对方程两边取拉氏变换并代入 0- 时刻的初始条件；解出响应的象函数，此时它已经是一个关于 s 的有理分式；对分式做部分分式展开；逐项反变换回时域。前面那个“初始条件带入”是拉氏变换相对傅里叶变换的优势，也是它成为系统分析主力的原因。
如果这道题问的是“系统稳定不稳定”，那就连反变换都不需要做。直接看系统函数的极点：全在左半开平面就是稳定，虚轴上有二阶及以上极点或右半平面有极点就是不稳定。这是原文稳定性判据的直接应用，几秒钟就能出结论。
5.3 什么时候别用这些工具
有几类情况，硬套变换法反而是自找麻烦。
输入是分段定义的简单波形，比如矩形脉冲、三角波，且只关心某几个时间点的值时，图解法或直接积分比变换法直观得多。变换法要把整个波形描述成一个解析式，分段函数写起来啰嗦，反变换回来还要再拆段。
只需要判断稳定性或频率响应趋势时，不用求完整响应。看极点分布、看系统函数在虚轴上的取值，比解出全响应再分析要省一个数量级的工作量。
离散系统里序列很短的时候，不进位乘法手算比 z 变换快。z 变换的优势在于处理无限长序列和差分方程的解析求解，序列只有几项时，变换的准备工作比计算本身还长。
还有一类要特别当心：信号不满足变换存在的条件时，不能硬套。傅里叶变换要求绝对可积，增长型信号在傅里叶变换下根本不存在，这时候必须换拉氏变换。同理，抽样定理的前提是带限信号，如果信号本身带宽无限，无论采样率多高都会有混叠，这个不是提高采样率能解决的，只能先做抗混叠滤波把带宽限制住。
我自己在这上面栽过一次。当时处理一段采样数据，看到波形有周期性起伏，直接按周期信号做了傅里叶级数展开，结果频谱怎么都对不上。回头查才发现，那段数据的采样率低于信号实际最高频率，混叠已经发生，频谱里的低频成分是高频率成分叠过来的假象。从那以后我每次拿到采样数据，都强制先确认两件事：信号带宽是多少、采样率是多少，两者比值够不够两倍，不够就先滤波再谈分析。这个习惯比记住任何一条性质都管用。
希望这份梳理能帮你把信号与系统这门课的骨架搭起来，遇到具体问题时知道该翻哪一页。完整的知识点整理已经放在那份文档里，需要系统过一遍的时候，直接拿去对照着看就行。
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