简介：这份PDF文档是2022年全国大学生数学建模竞赛本科组B题的完整获奖论文，曾获河北省一等奖，聚焦无人机纯方位无源定位问题，适合备战数学建模竞赛的本科生、指导教师，以及关注编队控制建模的读者研读。全文以二维直角坐标系与余弦定理为工具，围绕圆形编队和锥形编队两条主线展开：先建立被动接收信号无人机的位置模型，论证当两定点夹角为定值时，动点轨迹呈“眼睛”或“葫芦”形封闭曲线；再借助三圆共点思想，确定需要额外增加的发射信号无人机数量；随后以0.01米步长做全方位遍历，完成对偏差位置的迭代调整。问题二进一步讨论锥面约束下的调整策略。论文中的MATLAB实现涵盖符号运算、数值求解与轨迹可视化。压缩包仅含1个PDF文件，约2.63MB，篇幅紧凑，便于通读。目前已有8041人学习下载。
1. 三个方位角，锁死一个点
纯方位无源定位这个词听着唬人，拆开看很朴素：无人机不主动发信号、不测距，只被动接收几组方位角，反推自己在编队里的坐标。这道数学建模赛题里最反直觉的结论是：只要三架位置已知的无人机在发信号，剩下那架哪怕完全不知道自己偏了多少，也能把坐标算出来；而只需再多一架发射机，整个圆形编队就能从“个别可定位”变成“逐架可定位”。整套推导没超出余弦定理，落到 MATLAB 里不过是几个solve加一个while。真正值得琢磨的不是公式，而是“只有角度”这种看起来信息量极少的观测，凭什么能撑起一个可收敛的编队闭环。
2. 圆周角定理：为什么夹角恒定就画出一只“眼睛”
2.1 一条方向信息，一条封闭曲线
先把场景收窄。圆心停着 0 号机，圆周上停着 1 号机，两架都在发信号，位置精确已知；第三架机在附近某处被动接收，它测到的是“两条视线之间的夹角”，不是绝对方位，也不是距离。这一条观测只给出一个标量，而平面上的位置有两个自由度，所以它不可能定出一个点，只能定出一条曲线。
这条曲线是什么形状，靠的是圆周角定理：平面上两个定点 A、B，动点 P 满足 ∠APB = α 恒定，则 P 落在以 AB 为公共弦的一对圆上。弦长记 d，则这对圆的半径恒为
R = d / (2·sin α)
两个圆心关于弦 AB 对称，各自到弦中点的距离是 h = (d/2)·|cot α|。注意半径只跟 sin α 有关，所以 α 和 180°−α 给出的是同一对圆，区别只在于 P 取的是优弧还是劣弧。这一点后面会变成一个大坑，先记着。
用代码把这个几何关系写出来，比背公式直观得多：
function [C1, C2, R] = locus_circles(A, B, alpha_deg) % A, B : 两架发射机的平面坐标（1x2 向量） % alpha_deg : 接收机测到的方位角，单位度 % C1, C2 : 一对等半径圆的圆心 % R : 半径，仅由弦长和 sin(alpha) 决定 d = norm(B - A); % 弦长 |AB| a = d / 2; al = deg2rad(alpha_deg); R = a / abs(sin(al)); % 圆周角定理：R = |AB| / (2 sin α) h = a * abs(cot(al)); % 圆心到弦中点的垂距 mid = (A + B) / 2; u = (B - A) / d; % 弦方向单位向量 n = [-u(2), u(1)]; % 法向单位向量 C1 = mid + h * n; % 两个圆心关于弦对称 C2 = mid - h * n; end三个参数各司其职：alpha_deg是观测量，d由两架发射机的已知位置算出，R和h是派生量。α = 90° 时h = 0，两个圆心重合，曲线退化成一个以 AB 为直径的圆——这就是泰勒斯定理，也是全套模型最好用的一个直觉参照点。α 趋近 0° 或 180° 时R发散，曲线被拉平，逐渐向直线 AB 靠拢，退化风险就在这里埋下。
2.2 眼睛与葫芦：优弧劣弧决定形状
原文给了一句很形象的描述：方位角是钝角时，轨迹像一只“眼睛”；是锐角时，轨迹像一个“葫芦”。这句话不是修辞，用上面的R和h就能解释清楚。
锐角 α 较小，P 必须落在优弧上才能张出这么小的视角，两段鼓得厉害的优弧上下拼接，中间宽、两端收，形似葫芦。钝角 α 较大，P 只能落在靠近弦的劣弧上，两段扁弧拼起来细长，形似眼睛。两种形状的半径公式完全一样，|cot α|也对称，唯一变的是“取哪段弧”。这也解释了为什么单靠一个角度永远定不了点：一段弧上每一点给出的视角都是 α，曲线上的点彼此不可区分。
换成代数语言，设 A(−a, 0)、B(a, 0)，P(x, y)，两条视线的斜率分别是 y/(x+a) 和 y/(x−a)，用夹角公式展开：
tan α = | 2ay / (x² + y² − a²) |
整理后得到
x² + y² − a² = ± 2a·y·cot α
配方即 (x² + (y ∓ a·cot α)²) = a²/sin²α，正是上面那对圆。所谓“配平”，配的就是这一步。钝角和锐角在方程上的差别只有一个符号，落到几何上就是圆心落在弦的哪一侧、P 落在哪段弧上。原文用“眼睛”和“葫芦”两个词把这件事讲完，其实等价于这条轨迹方程的两次分类讨论。
2.3 三圆共点：三条曲线为什么必然交于一点
一个角度给出一条曲线，两个角度给出两条曲线的交点。两条封闭曲线一般交于两点，而且这两点关于某条轴镜像对称——这正是“只有两架发射机时会出现位置歧义”的几何来源。想消掉歧义，要么换一对发射机再测一次，要么加第三个方位角。
原文的叫法是“三圆共点”：三个方位角对应三对等半径圆，每个方位角各挑出“正确的那一个”，三个圆交于同一点，那一点就是接收机的真实位置。用根轴的语言能讲得更透：两个圆的根轴是一条直线，三个圆两两的根轴交于一点（根心），只要这三个圆不同心、不共轴，公共交点唯一。换成线性代数的口味，每个方位角是一个非线性约束，三个约束把解集从二维曲面压成一个孤立点，这是冗余观测带来的“过定”效果。
这里有个容易忽略的前提：三个方位角对应的发射机对不能退化。如果接收机恰好落在某两架发射机的连线上，视角变成 0° 或 180°，sin α = 0，半径发散，曲线塌成一条射线，交点就没了。这个退化不是数学上的边角料，它在问题二里直接把一半无人机挡在门外，后面第 4 章会正面撞上它。
2.4 轨迹法的边界：什么时候它不 work
轨迹法优雅，但它对输入极其挑剔。第一，它假设三个方位角是同一时刻、同一位置的观测，接收机在测量期间不能移动，否则三条曲线根本不属于同一个点。第二，它假设发射机位置绝对精确，而实际编队里“位置无偏差”本身就是个建模假设，误差会直接放大到半径R上。第三，也是最要命的一条：它只能回答“点在哪儿”，回答不了“点偏了多少、该往哪走”。后者需要另一套机制，也就是第 4 章的步长遍历和极坐标增量。
提示：把
locus_circles当成一个诊断工具用，比当成求解器用更值。给定任意一组观测，先算三个半径和三个圆心，如果某个半径大得离谱，说明这一组发射机选得不好，直接换组，别硬解。
3. 余弦定理反解：三个方位角怎么变成一组坐标
3.1 坐标系约定与九个理想位置
轨迹法给的是几何直觉，真正落到数值上，论文换了一条路：建二维直角坐标系，用余弦定理把三条边解出来，再由边反推角度和坐标。坐标系定得很干脆：0 号机在原点，1 号机在 (r, 0)，其余八架按 40° 等间隔逆时针铺在半径 r 的圆周上。于是第 k 架的理想位置有闭式表达：
x_k = r·cos(40°·(k−1)), y_k = r·sin(40°·(k−1))
用 MATLAB 一行就能生成九个点，省得手抄表 1 抄错一个小数：
r = 100; % 圆形编队半径，题给 100 m k = 0:8; % 0 号在圆心，1~9 号在圆周 theta = 40 * k; % 相邻间隔 40° P = [0, 0; r*cosd(theta(:)), r*sind(theta(:))]; % 第 1 行是 0 号机这段代码没有任何技巧，但它是后面所有校验的基准。任何时候算出一个坐标，先跟P比一下，比任何推导都可靠。相邻两架机的弦长也顺手可得：2*r*sind(20)，因为弦对应的圆心角是 40°，半角 20°。
3.2 链式求解：三次余弦定理拆开三边三角
设两架发射机编号为 i、j，接收机编号为 k，观测量是三个角：α₁ = ∠(0, k, i)、α₂ = ∠(0, k, j)、α₃ = ∠(i, k, j)。已知量是 0 号到 i 号、0 号到 j 号的距离，都等于 r；以及 i 号到 j 号的弦长 a₁。
未知量有三个：k0 = |0k|、ki = |ik|、kj = |jk|。三个三角形各列一次余弦定理，正好三个方程：
- 三角形 0-k-i：cos α₁ = (k0² + ki² − r²) / (2·k0·ki)
- 三角形 0-k-j：cos α₂ = (k0² + kj² − r²) / (2·k0·kj)
- 三角形 i-k-j：cos α₃ = (ki² + kj² − a₁²) / (2·ki·kj)
三个未知、三个方程，解出来就拿到了三条边。再用一次余弦定理把 k 相对 0i 连线的张角求出来，减去 0i 相对 01 的已知夹角（40°·|i−1|），就得到 k 的极角，乘上 k0 就是坐标。整套流程是链式的：边→角→坐标，每一步只依赖上一步。原文附录一里那几行solve就是这件事的直译：
syms k0 ki kj a1 = 2*r*sind(20*abs(i-j)); % i、j 的弦长 eq1 = (k0^2 + ki^2 - r^2)/(2*k0*ki) - cosd(alpha1); % 三角形 0-k-i eq2 = (k0^2 + kj^2 - r^2)/(2*k0*kj) - cosd(alpha2); % 三角形 0-k-j eq3 = (ki^2 + kj^2 - a1^2)/(2*ki*kj) - cosd(alpha3); % 三角形 i-k-j S = vpasolve([eq1, eq2, eq3], [k0, ki, kj], [r, r, r]); k0v = double(S.k0);syms声明符号变量，vpasolve给一组初值做数值寻根，double转成浮点。注意这里写的是cosd而不是cos，题面所有角度都是度，一旦混用弧度，解出来的边长能差出两个数量级——这是第一个必须记住的细节。
3.3 优角陷阱：cos(2π−θ) 为什么不破坏模型
论文专门用一小节讨论“优角”的情况：当接收机落在某个特殊方位，某个内角会变成大于 180° 的优角，图上看是“凹进去”的一块。直觉上这会毁掉余弦定理，因为余弦定理的返回值域是 [0, π]。但推导只用到一条恒等式：
cos(2π − θ) = cos θ
也就是说，优角和它的劣角补角在余弦值上完全等价，三条边的长度关系不变，模型算出来的边长依然正确。真正会错的是“角度值”本身：如果你拿acosd反解角度去判断方向，会把优角误判成劣角，坐标就镜像到另一侧去了。解决的办法不是修公式，而是别用角度判断象限，改用边长关系和已知点的相对位置判断符号。
这条结论的适用范围值得说清楚：它保证的是“边长可解”，不保证“坐标唯一”。方程组的多个根里，只有落在正确弧段上的那个才是物理解，剩下的要么是镜像点，要么是纯数学上的外解。
3.4 符号解里的复数与取实部
附录一里有一句x = real(K0*cosd(k01))，取实部。为什么会有复数？因为三个余弦方程联立之后是三元高次方程组，solve会把所有复根一并返回，其中一部分是共轭成对出现的伪解。工程上取实部是一种“粗暴但有效”的过滤：物理坐标必然是实数，虚部非零的根直接丢掉。更稳妥的写法是先筛abs(imag(z)) < 1e-9，再取实部，避免把一个虚部 0.3 的伪解当成真解。这个细节在论文里只是一行real()，但换一组观测角就可能翻车，第 5 章会把它列成一条具体的坑。
4. 额外发射机与步长调整：从“能不能定位”到“怎么走过去”
4.1 一架不够，两架有歧义，三架刚好
回到问题一第二小问：0 号和 1 号已经在发信号，还需要额外增加几架？论文的答案是“一架就够”，推理链条是信息量。只发两架时，接收机测到一个角，落在一段弧上，位置不可定；加一架之后，接收机测到三个角，三条曲线交于一点，位置可定；再加更多架当然更可定，但冗余没有额外收益。
这里容易被误读成“三架是必要条件”。严格说，两个方位角在一般情况下也能定出两个候选点，只是存在镜像歧义，必须靠先验知识（比如“无人机不会跑到编队外侧”）去筛。第三个角度干的事是把这个歧义直接消掉，让解唯一。从工程角度看，这比加先验判据更稳，因为先验判据一旦遇到异常机动就会失效。
4.2 平方和最小判据：56 种组合怎么匹配
实际接收到的三个角 β₁、β₂、β₃ 是带偏差的，因为接收机自己就站偏了。于是问题变成：已知三个带噪角度，反推“哪一架在额外发信号”。论文的做法是建表加枚举：发射机对 (i, j) 与接收机 k 的所有组合，去掉重复和自指，共 56 种；每种组合按理想几何算出一组角度三元组；拿实测三元组去表里找欧氏距离平方和最小的那一行。
cost = (β₁ − α₁)² + (β₂ − α₂)² + (β₃ − α₃)²
取最小值的那个组合，对应的就是需要额外加入的发射机。这一步本质上是最近邻分类，不是精确反解，所以它有一个隐含前提：位置偏差要小，小到真实组合的残差一定低于其他组合。偏差一大，最近邻就会跳到错误的行上，这是模型的软肋，也是第 5 章要展开的一条坑。
代码骨架很短，短到容易被低估：
best = inf; pick = -1; for j = 2:9 if j == k, continue; end % 自己不能给自己发信号 a1 = 2*r*sind(20*abs(j-1)); % 0 号与 j 号的弦长 % 按 3.2 节公式算出该组合的理想三元组 A1, A2, A3 cost = (beta1-A1)^2 + (beta2-A2)^2 + (beta3-A3)^2; if cost < best best = cost; pick = j; % 记录最优发射机编号 end endcontinue那行不能省，否则 k 号机会把自己算进候选，残差恒为 0，永远选中自己。这种“自指 bug”在枚举类代码里非常常见，而且因为结果看起来“收敛了”，很难被发现。
4.3 0.01 米步长遍历：无人机不知道自己在哪一侧
定位解决的是“我在哪”，调整解决的是“我怎么走”。论文给的方案很朴素：设步长 0.01 m，向四周全方位遍历，每走一步就用新位置重新算一遍观测角，跟理想角比，残差下降就继续，直到与准确位置相差 0.01 m 以内。
这套做法在数学上叫坐标下降，在工程上叫“盲搜索”。它成立的前提是残差函数在真实位置附近是单峰的，而这一点由几何保证：越靠近真实位置，三个观测角越接近理想值，残差单调下降。缺点是步长固定时收敛慢，半径 100 m 的编队，偏差几米就要走几百步；步长放大又会在最优点附近来回震荡。
注意：原文假设“调整时间不计”，所以可以慢慢走。真实系统里每走一步都要时间，步长和调整周期必须联合设计，否则编队一边收敛一边漂移。
4.4 极坐标增量更新：走一步之后 r 和 θ 怎么变
无人机控制量是“朝哪个方向、走多远”，天然是极坐标，所以每走一步都要更新 (ρ, θ)。设当前位置 B 的极径为 ρ，朝与 OB 夹角 φ 的方向走 s 到 C，三角形 OBC 里已知两边一夹角，余弦定理直接给新极径：
ρ' = √(ρ² + s² − 2ρs·cos φ)
新极角的变化量用正弦定理或余弦定理都能求，取 ∠BOC = acos((ρ² + ρ'² − s²) / (2ρρ'))，符号由旋转方向决定：
rho_new = sqrt(rho^2 + s^2 - 2*rho*s*cosd(phi)); % 新极径 dtheta = acosd((rho^2 + rho_new^2 - s^2)/(2*rho*rho_new)); % 角增量 theta_new = theta + sign * dtheta; % 逆时针为正s是步长（0.01），phi是试探方向，sign由“往北还是往南”决定。这套更新是纯几何的，不依赖任何滤波，所以每步误差都会累积；步数一多，累积误差可能超过步长本身。实际做的时候，每几十步要用一次绝对定位重锚，把漂移拉回来。
4.5 锥形编队：两架发射机加信息共享
问题二换成锥形编队，几何从圆周变成等边三角形网格，方法却可以复用。论文先假设 1 号和 5 号位置无偏差、间距固定，然后定位 2 号：让 1、2 发、5 收，得到一个角；让 2、5 发、1 收，得到另一个角；三角形 1-2-5 里两角已知、一边（1-5）已知，第三角可解，2 号的位置就定了。
这里藏着一个题面没明说、但建模必须加的假设：信息共享。1 号收到的角要能传给 2 号，否则两个角分散在不同无人机上，凑不成一个三角形。论文在问题分析里点了一句“我们认为无人机之间得到的信息可以共享”，这句话的分量比它看起来重得多——它把一个分布式观测问题变成了集中式解算问题。
多轮接力的动机也在这：第二轮用 1、2、5 去定位 3、6、8、10、12、15；剩下的 4、7、9、11、13、14 因为落在三角形边的延长线上，视角退化，定不了；第三轮换 2、6、8 当发射机，剩下那批才全部可定。轮次和可定位编号可以排成一张表：
| 轮次 | 发射机组合 | 可定位编号 | 不可定位原因 |
|---|---|---|---|
| 第一轮 | 1、2、5 | 2 | 初始基准 |
| 第二轮 | 1、2、5 | 3、6、8、10、12、15 | 其余落在边延长线上 |
| 第三轮 | 2、6、8 | 4、7、9、11、13、14 | 已换组，退化消除 |
这张表说明的不是“多试几次总能成”，而是“发射机组的几何构型决定了可观测性”。选组的原则很硬：待定位点不能落在任意两架发射机的连线上。
5. 避坑排查：这几个地方几乎一定会算错
5.1 角度单位混用，边长直接崩
现象：解出来的k0是负数，或者比半径大出一个量级，坐标画出来飞到图外。
原因：MATLAB 的cos、acos吃弧度，cosd、acosd吃度。题面所有角度都是度，一旦在某个环节写成cos(alpha)，等于把 60° 当成 60 弧度，余弦值在正负之间乱跳。
解决：全篇统一用带d后缀的函数，输入输出都标度；在函数入口处加一句断言assert(alpha > 0 && alpha < 180)，把非法值挡在外面。
5.2 余弦定理的双解，镜像点冒充真解
现象：算出来的坐标关于某条轴对称，跟真实位置差一个符号，残差却很小。
原因：余弦定理只返回 [0, π]，优角 2π−θ 与劣角余弦相同；再加上两段圆弧天然关于弦对称，方程组必然给出镜像解。
解决：不要用角度判象限，用第三个方位角和已知点的相对位置定符号；或者干脆把两个候选都代回三个余弦方程，取残差小的那个。
5.3 符号求解出复数根，real()掩盖了问题
现象：double(S.k0)里混着复数，取实部之后坐标偶尔跳变，换一组输入又正常。
原因：三元高次方程组有共轭复根，real()只是把虚部砍掉，并没有验证这个根是否满足原方程。
解决：先筛abs(imag(z)) < 1e-9再取实部；更稳的做法是改用fsolve加多组初值，按残差排序取最优。
5.4 步长遍历假收敛
现象：while循环退了，判据也满足，但编队整体还是歪的。
原因：判据用的是“与准确位置差 0.01 m”，而准确位置本身是从带噪观测反解的，观测有偏时收敛到的是错误点；另外八个方向遍历容易卡在局部极小。
解决：改成“残差不再下降”与“步长小于阈值”双判据，步长先粗后细；每轮结束用一次绝对定位重锚。
5.5 延长线上的不可观测，怎么调都调不准
现象：某几架无人机的残差始终降不下去，换步长、换方向都没用。
原因：它落在两架发射机的连线上，视角为 0° 或 180°，sin α = 0，轨迹退化成射线，三个约束实际只剩两个。
解决：换发射机组，避开共线，这正是问题二三段接力的设计动机。判断方法很简单：算一下待定位点到发射机连线的距离，小于阈值就换组。
6. 设计取舍：解析解漂亮，盲搜索能活
这套模型最值得复盘的地方，不是它用了多少公式，而是它在“精确”和“可用”之间反复横跳。第 3 章的链式余弦定理是解析路线：给定三个角，闭式解出坐标，快、准、可解释，但它对观测噪声零容忍，一个角偏 0.5°，坐标就能飘出几米。第 4 章的步长遍历是数值路线：慢、糙、还要假设单峰，但它对噪声鲁棒，观测有偏也能慢慢磨过去。论文两头都用，先用解析解算初值，再用遍历精修，这个组合在工程上有个更常见的名字——粗定位加精调。
第二个取舍是无源本身。不发信号换来的是隐蔽性和抗干扰，代价是观测维度低，必须靠多机协同补信息量。这也解释了为什么“额外增加一架发射机”这道小题会被单独拎出来问：它问的不是数量，而是可观测性的临界点。
第三个取舍在假设上。“调整时间不计”“信息共享”“两架无偏差”，三条假设每条都在给模型减负，每一条在真实系统里都要用通信链路、时钟同步和滤波去补。建模时把它们写成显式假设是对的，但不能当成免费午餐——论文自己在模型缺点里也承认了“个别模型可能有点过多简化”。
要验证这套东西到底站不站得住，最省事的办法是闭环自测：拿理想位置算出理论观测角，加不同强度的高斯噪声，喂回定位模型，看坐标残差的分布；再让调整算法从随机偏移出发，统计收敛步数和最终误差。跑一百次蒙特卡洛，收敛率低于九成，就说明某条假设在你的场景里不成立，别急着调参数，先回去看几何。
我自己的习惯是，每次写完这种“几何反解 + 数值迭代”的模型，都强制走一遍闭环自测，哪怕数据是编的。有一回省了这一步，直接把带镜像歧义的解喂进调整循环，编队收敛出一个漂亮的对称图形，所有人都在正确位置的镜像点上——图上完全看不出来，血泪经验。希望帮到你。
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