概率论与数理统计思维导图
一、概率论基础
1. 随机事件与概率
- 随机试验：可重复、结果已知但不确定
- 样本空间(Ω)：所有可能结果的集合
- 随机事件：Ω的子集
- 基本事件：单元素子集
- 必然事件(Ω)：一定发生
- 不可能事件(∅)：一定不发生
- 事件关系：包含(⊆)、相等(=)、互斥(∩=∅)、对立(∩=∅且∪=Ω)
- 事件运算：并(∪)、交(∩)、差(-)、补(ˉ)
- 概率公理化定义：
- 非负性：P(A)≥0
- 规范性：P(Ω)=1
- 可列可加性：互斥事件和的概率等于概率的和
- 概率性质：P(∅)=0；P(Ā)=1-P(A)；P(A-B)=P(A)-P(AB)；P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
2. 概率计算五大公式
- 加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
- 减法公式：P(A-B)=P(A)-P(AB)
- 乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A) (P(A)>0)
- 全概率公式：P(A)=∑P(B_i)P(A|B_i) (B_i构成完备事件组)
- 贝叶斯公式：P(B_j|A)=P(B_j)P(A|B_j)/∑P(B_i)P(A|B_i)
3. 常见概率模型
- 古典概型：有限等可能样本点，P(A)=|A|/|Ω|
- 几何概型：无限等可能样本点，P(A)=m(A)/m(Ω)
- 伯努利概型：独立重复试验，每次结果只有两种可能
4. 事件独立性
- 定义：P(AB)=P(A)P(B)
- 性质：A与B独立→A与B̄、Ā与B、Ā与B̄也独立
- 条件独立：P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)
二、随机变量及其分布
1. 随机变量概念
- 定义：样本空间到实数的映射X(ω)
- 分类：离散型(有限或可数个值)、连续型(区间内取值)
2. 离散型随机变量
- 分布律：P(X=x_k)=p_k (k=1,2,…)
- 常用分布：
- 0-1分布：P(X=1)=p, P(X=0)=1-p
- 二项分布B(n,p)：n次伯努利试验成功次数，P(X=k)=C(n,k)pk(1-p)(n-k)
- 泊松分布P(λ)：稀有事件发生次数，P(X=k)=λ^k e^(-λ)/k!，E(X)=D(X)=λ
3. 连续型随机变量
- 概率密度函数f(x)：非负可积，P(a<X≤b)=∫(a→b)f(x)dx
- 分布函数F(x)：F(x)=P(X≤x)=∫(-∞→x)f(x)dx
- 性质：单调不减、右连续、F(-∞)=0、F(+∞)=1
- 常用分布：
- 均匀分布U(a,b)：f(x)=1/(b-a) (a<x<b)
- 指数分布E(λ)：f(x)=λe^(-λx) (x>0)，无记忆性：P(X>s+t|X>s)=P(X>t)
- 正态分布N(μ,σ²)：f(x)=[1/(σ√(2π))]e^(-(x-μ)²/(2σ²))，标准正态N(0,1)
4. 随机变量函数的分布
- 离散型：Y=g(X)，求Y的分布律
- 连续型：
- 一般方法：F_Y(y)=P(Y≤y)=P(g(X)≤y)，求导得f_Y(y)
- 单调函数：f_Y(y)=f_X(g(-1)(y))|(g(-1))'(y)|
三、多维随机变量及其分布
1. 二维随机变量
- 联合分布函数：F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
- 离散型：联合分布律P(X=x_i,Y=y_j)=p_ij
- 连续型：联合概率密度f(x,y)，F(x,y)=∫(-∞→x)∫(-∞→y)f(u,v)dvdu
2. 边缘分布
- X的边缘分布：F_X(x)=F(x,+∞)，f_X(x)=∫(-∞→+∞)f(x,y)dy
- Y的边缘分布：类似定义
3. 条件分布
- 离散型：P(X=x_i|Y=y_j)=P(X=x_i,Y=y_j)/P(Y=y_j)
- 连续型：f_X|Y(x|y)=f(x,y)/f_Y(y)
4. 随机变量独立性
- 定义：F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)或f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)
- 性质：独立→不相关(但反之不成立)；正态分布独立当且仅当ρ=0
5. 二维函数分布
- Z=X+Y：卷积公式f_Z(z)=∫(-∞→+∞)f(x,z-x)dx (X,Y独立时)
- Z=max(X,Y)：F_Z(z)=F_X(z)F_Y(z)
- Z=min(X,Y)：F_Z(z)=1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z))
四、随机变量的数字特征
1. 数学期望
- 离散型：E(X)=∑x_k p_k
- 连续型：E(X)=∫(-∞→+∞)x f(x)dx
- 性质：E©=c；E(aX+b)=aE(X)+b；E(X+Y)=E(X)+E(Y)；独立时E(XY)=E(X)E(Y)
2. 方差与标准差
- 方差：D(X)=E[(X-E(X))²]=E(X²)-[E(X)]²
- 标准差：σ(X)=√D(X)
- 性质：D©=0；D(aX+b)=a²D(X)；独立时D(X+Y)=D(X)+D(Y)
3. 协方差与相关系数
- 协方差：Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)
- 相关系数：ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/(√D(X)√D(Y))，|ρ|≤1
- 性质：Cov(X,Y)=Cov(Y,X)；Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)；独立时Cov(X,Y)=0
4. 矩
- k阶原点矩：E(X^k)
- k阶中心矩：E[(X-E(X))^k]，方差是二阶中心矩
五、大数定律与中心极限定理
1. 大数定律
- 切比雪夫不等式：P(|X-E(X)|≥ε)≤D(X)/ε²
- 辛钦大数定律：独立同分布随机变量序列算术平均依概率收敛于期望
- 伯努利大数定律：频率依概率收敛于概率
2. 中心极限定理
- 独立同分布中心极限定理：标准化和近似服从标准正态分布
- 棣莫弗-拉普拉斯定理：二项分布标准化后近似标准正态分布
六、数理统计基础
1. 基本概念
- 总体：研究对象全体
- 个体：总体中每个元素
- 样本：从总体抽取的部分个体，简单随机样本满足独立性和代表性
- 统计量：样本的不含未知参数的函数，如样本均值、样本方差
2. 常用统计分布
- χ²分布：n个独立标准正态变量平方和，E(χ²(n))=n，D(χ²(n))=2n
- t分布：标准正态与χ²(n)平方根之比，对称分布，当n→∞时接近标准正态
- F分布：两个χ²分布除以各自自由度之比，F(m,n)=1/F(n,m)
3. 抽样分布
- 样本均值分布：E(̄X)=μ，D(̄X)=σ²/n (正态总体时̄X~N(μ,σ²/n))
- 样本方差分布：(n-1)S²/σ²~χ²(n-1)
七、参数估计
1. 点估计
- 矩估计法：用样本矩替代总体矩，求解参数
- 最大似然估计法：构造似然函数，求使观测值概率最大的参数值
2. 区间估计
- 置信区间：参数以给定概率(置信水平)包含在区间内
- 正态总体参数区间估计：
- 均值μ：σ已知用Z区间；σ未知用t区间
- 方差σ²：用χ²区间
八、假设检验
1. 基本概念
- 原假设(H₀)与备择假设(H₁)
- 两类错误：
- 第一类错误(α)：拒绝真H₀
- 第二类错误(β)：接受假H₀
- 显著性水平：控制第一类错误概率α
2. 检验步骤
- 提出H₀和H₁
- 选择检验统计量
- 确定拒绝域
- 计算统计量值并决策
3. 正态总体参数检验
- 均值检验：Z检验(σ已知)、t检验(σ未知)
- 方差检验：F检验(两总体方差比较)、χ²检验(单总体方差)
思维导图总结
概率论与数理统计 ├── 概率论基础 │ ├── 随机事件与概率 │ ├── 概率计算五大公式 │ ├── 常见概率模型 │ └── 事件独立性 ├── 随机变量及其分布 │ ├── 随机变量概念 │ ├── 离散型随机变量 │ ├── 连续型随机变量 │ └── 随机变量函数分布 ├── 多维随机变量 │ ├── 二维随机变量 │ ├── 边缘分布 │ ├── 条件分布 │ └── 随机变量独立性 ├── 数字特征 │ ├── 数学期望 │ ├── 方差与标准差 │ └── 协方差与相关系数 ├── 极限定理 │ └── 大数定律与中心极限定理 └── 数理统计 ├── 基本概念与抽样分布 ├── 参数估计 └── 假设检验
