UVa 10568 n Group k

题目描述

教授 X 要给NNN个学生分组完成学期任务，他希望每个小组恰好有KKK个学生。 当无法让所有小组都恰好有KKK个学生时，最多可以有一个小组的学生数少于KKK。 学生用前NNN个大写英文字母表示（ A 到 A + N - 1 ）。

我们需要处理两种查询：

1. COUNT\texttt{COUNT}COUNTNNNKKK：计算可以组成小组的方式数量
2. GENERATE\texttt{GENERATE}GENERATENNNKKK：生成所有可能的分组方式列表

分组规则

• 每个学生只能属于一个小组
• 小组内学生的不同排列顺序被视为相同（即组内无序）
• 组内学生按字母顺序排列
• 组间按字典序排列（使用 ASCII 值比较）
• 所有解按字典序排序

输入限制

• 最多 1200 个测试用例
• COUNT\texttt{COUNT}COUNT查询：1≤N,K≤301 \le N, K \le 301≤N,K≤30
• GENERATE\texttt{GENERATE}GENERATE查询：1≤N,K≤151 \le N, K \le 151≤N,K≤15
• 每个GENERATE\texttt{GENERATE}GENERATE查询的解不超过100001000010000行
• 所有GENERATE\texttt{GENERATE}GENERATE查询的总解不超过300003000030000行

题目分析

分组情况分析

设总人数为NNN，理想小组大小为KKK，则：

1. 整除情况：当N mod K=0N \bmod K = 0NmodK=0时

   • 所有小组大小都为KKK
   • 小组数g=N/Kg = N / Kg=N/K

2. 非整除情况：当N mod K=r>0N \bmod K = r > 0NmodK=r>0时

   • 有一个小组大小为rrr
   • 其余g−1g-1g−1个小组大小都为KKK
   • 小组数g=⌈N/K⌉g = \lceil N/K \rceilg=⌈N/K⌉

数学建模

这是一个集合划分问题，需要考虑以下关键点：

1. 组内无序：小组内学生的排列顺序不重要
2. 组间有序性：当所有小组大小相同时，组间是无序的；当有不同大小的小组时，大小不同的小组是独特的
3. 字母顺序：组内按字母顺序排列，这简化了生成过程

计数公式推导

情况1：整除情况（N mod K=0N \bmod K = 0NmodK=0）

小组数g=N/Kg = N/Kg=N/K，所有小组大小都为KKK。

计算步骤：

1. 将NNN个不同学生分配到ggg个小组中，每个小组大小为KKK
2. 由于组间无序，需要除以g!g!g!

公式：
count=N!(K!)g⋅g! \texttt{count} = \frac{N!}{(K!)^g \cdot g!}count=(K!)g⋅g!N!​

情况2：非整除情况（N mod K=r>0N \bmod K = r > 0NmodK=r>0）

小组数g=⌈N/K⌉g = \lceil N/K \rceilg=⌈N/K⌉，有一个小组大小为rrr，其余g−1g-1g−1个小组大小为KKK。

计算步骤：

1. 从NNN个学生中选择rrr个给较小的组：C(N,r)C(N, r)C(N,r)
2. 将剩余N−rN-rN−r个学生分配到g−1g-1g−1个大小为KKK的组中
3. 大小为KKK的组之间无序，需要除以(g−1)!(g-1)!(g−1)!

公式：
count=C(N,r)⋅(N−r)!(K!)g−1⋅(g−1)! \texttt{count} = C(N, r) \cdot \frac{(N-r)!}{(K!)^{g-1} \cdot (g-1)!}count=C(N,r)⋅(K!)g−1⋅(g−1)!(N−r)!​

大数处理

对于 COUNT 查询，N,K≤30N, K \le 30N,K≤30，最大的阶乘30!≈2.65×103230! \approx 2.65 \times 10^{32}30!≈2.65×1032，这超出了 64 位无符号整数的范围（最大值约1.84×10191.84 \times 10^{19}1.84×1019）。 因此需要使用128128128位整数来避免溢出。

解题思路

1.COUNT\texttt{COUNT}COUNT查询实现

使用__int128类型处理大数计算：

1. 预计算阶乘表factorial[0..30]
2. 根据NNN和KKK的关系选择公式
3. 使用组合数函数计算C(N,r)C(N, r)C(N,r)
4. 使用阶乘除法计算结果
5. 将__int128转换为字符串输出

2.GENERATE\texttt{GENERATE}GENERATE查询实现

使用回溯法（DFS\texttt{DFS}DFS）生成所有解：

算法步骤：

1. 表示方法：用字符串表示小组，如ABC表示包含学生 A、B、C 的小组
2. 状态表示：
   • currentGroups：当前已形成的小组列表
   • used：标记哪些学生已被分配
   • currentGroupSize：当前小组的当前大小
   • currentGroupStart：当前小组的下一个学生起始索引（保证组内字母顺序）
3. 递归过程：
   • 如果所有学生都已分配（idx == N），检查是否满足小组大小约束（最多一个小组小于KKK），如果满足则保存解
   • 否则：
     • 尝试将当前学生加入现有小组（如果小组未满）
     • 尝试开始一个新小组
4. 排序规则：
   • 组内：按字母顺序（通过currentGroupStart参数保证）
   • 组间：按字符串字典序
   • 所有解：按组序列的字典序排序

剪枝优化：

1. 通过currentGroupStart参数避免生成组内无序的重复解
2. 只在必要时开始新小组
3. 及时检查小组大小约束

时间复杂度分析

COUNT\texttt{COUNT}COUNT查询

• 预计算阶乘：O(30)O(30)O(30)
• 每次查询：O(1)O(1)O(1)

GENERATE\texttt{GENERATE}GENERATE查询

• 最坏情况：N=15,K=1N=15, K=1N=15,K=1，解数为15!=130767436800015! = 130767436800015!=1307674368000，但题目保证不超过 10000 个解
• 实际运行：由于N≤15N \le 15N≤15且解数有限，回溯法可以接受

代码实现

// n Group k// UVa ID: 10568// Verdict: Accepted// Submission Date: 2025-12-14// UVa Run Time: 0.320s//// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;usingull=unsignedlonglong;usingint128=__int128;// 预计算阶乘vector<int128>factorial(31);voidprecomputeFactorial(){factorial[0]=1;for(inti=1;i<=30;++i)factorial[i]=factorial[i-1]*i;}// 组合数计算 C(n, k)int128combination(intn,intk){if(k<0||k>n)return0;if(k>n-k)k=n-k;int128 result=1;for(inti=1;i<=k;++i){result=result*(n-k+i)/i;}returnresult;}// 计算分组数int128countWays(intn,intk){intgroups=(n+k-1)/k;// ceil(n/k)intremainder=n%k;if(remainder==0){// 所有组大小都是kint128 ways=factorial[n];// 除以 (k!)^groupsint128 kFactorial=factorial[k];for(inti=0;i<groups;++i)ways/=kFactorial;// 除以 groups! (组间无序)ways/=factorial[groups];returnways;}else{// 有一个大小为remainder的组，其余groups-1个组大小为k// 1. 选择remainder个学生给较小的组int128 ways=combination(n,remainder);// 2. 剩余学生分配到groups-1个大小为k的组中intremaining=n-remainder;ways*=factorial[remaining];// 除以 (k!)^(groups-1)int128 kFactorial=factorial[k];for(inti=0;i<groups-1;++i)ways/=kFactorial;// 除以 (groups-1)! (大小为k的组之间无序)ways/=factorial[groups-1];returnways;}}// 生成所有解的数据结构vector<vector<string>>allSolutions;string students;intN,K;voidgenerateSolutions(intidx,vector<string>&currentGroups,vector<bool>&used,intcurrentGroupSize,intcurrentGroupStart){if(idx==N){intsmallGroups=0;for(constauto&group:currentGroups){if((int)group.size()<K)smallGroups++;}if(smallGroups<=1)allSolutions.push_back(currentGroups);return;}// 尝试加入当前组if(!currentGroups.empty()&&currentGroupSize<K){for(inti=currentGroupStart;i<N;++i){if(!used[i]){used[i]=true;currentGroups.back().push_back(students[i]);generateSolutions(idx+1,currentGroups,used,currentGroupSize+1,i+1);currentGroups.back().pop_back();used[i]=false;}}}// 开始新组if((int)currentGroups.size()<(N+K-1)/K){for(inti=0;i<N;++i){if(!used[i]){used[i]=true;currentGroups.push_back(string(1,students[i]));generateSolutions(idx+1,currentGroups,used,1,i+1);currentGroups.pop_back();used[i]=false;break;}}}}// 将int128转换为字符串stringint128ToString(int128 n){if(n==0)return"0";string result="";boolnegative=false;if(n<0){negative=true;n=-n;}while(n>0){result=char('0'+(n%10))+result;n/=10;}if(negative)result="-"+result;returnresult;}intmain(){precomputeFactorial();string query;while(cin>>query){if(query=="END")break;intn,k;cin>>n>>k;if(query=="COUNT"){int128 result=countWays(n,k);cout<<int128ToString(result)<<endl;}elseif(query=="GENERATE"){N=n;K=k;students="";for(inti=0;i<n;++i)students+=char('A'+i);allSolutions.clear();vector<string>currentGroups;vector<bool>used(n,false);// 开始第一个组if(n>0){used[0]=true;currentGroups.push_back(string(1,students[0]));generateSolutions(1,currentGroups,used,1,1);}else{allSolutions.push_back({});}// 排序解sort(allSolutions.begin(),allSolutions.end());// 输出数量cout<<allSolutions.size()<<endl;// 输出具体解for(constauto&sol:allSolutions){for(size_t i=0;i<sol.size();++i){if(i>0)cout<<" ";cout<<sol[i];}cout<<endl;}}}return0;}

总结

本题的核心在于：

1. 数学推导：正确推导分组计数的组合数学公式，注意区分整除和非整除情况，正确处理组间无序性
2. 大数处理：使用__int128避免阶乘计算溢出
3. 回溯生成：使用DFS\texttt{DFS}DFS生成所有解，通过参数控制避免重复和保证排序规则
4. 排序实现：严格按照题目要求的三种排序规则实现

关键难点在于处理COUNT\texttt{COUNT}COUNT查询时的大数计算和GENERATE\texttt{GENERATE}GENERATE查询时的排序约束。 通过预计算阶乘、使用__int128类型和精心设计的回溯算法，可以高效解决这两个问题。