📦故事设定
小红想接收秘密信件，她要做三件事：
造一套魔法锁具（生成密钥对）
把“魔法锁”发给朋友（公布公钥）
用“魔法钥匙”开锁读信（私钥解密）
朋友小明要给小红寄信，他需要：
用魔法锁锁上信（公钥加密）
🔑第一步：密钥生成（小红造锁和钥匙）
1.1 选两个秘密质数（找核心材料）
小红悄悄选两个非常大的质数（只能被1和自身整除）。
比如：
p = 3，q = 11（实际是几百位数字，这里简化）。关键：这两个数必须绝对保密！是安全的基础。
1.2 制作“锁身”编号 n（公开部分）
计算：
n = p × qn = 3 × 11 = 33这个
n可以公开，它是锁的“型号编号”。
1.3 计算“隐藏的齿轮数” φ(n)（绝密！）
计算欧拉函数：
φ(n) = (p-1) × (q-1)φ(33) = (3-1) × (11-1) = 2 × 10 = 20这个
φ(n)=20必须像密码本一样藏好，绝对不能泄露！
1.4 选一个“公开的锁孔数字” e（公钥第二部分）
选一个与φ(n)互质（最大公约数为1）的数
e。在1和φ(n)之间选，比如选
e = 3（3和20互质）。公钥诞生！：
(e, n) = (3, 33)小红可以把
(3, 33)印在名片上发给全世界。
1.5 锻造“唯一钥匙” d（私钥）
计算
d，使得：(e × d) ÷ φ(n)的余数 = 1数学式：
e × d ≡ 1 (mod φ(n))即：
3 × d ≡ 1 (mod 20)找一个
d：3 × 7 = 21，21 ÷ 20余1✅私钥诞生！：
(d, n) = (7, 33)小红必须把
(7, 33)记在心里或存在最安全的地方。
🔐第二步：加密（小明用公钥锁信）
小明想发送数字13（代表秘密信息）。
加密公式：
密文 C = 明文 M^e mod n
计算过程：
小明拿到小红的公钥：
(e=3, n=33)明文：
M = 13计算：
C = 13^3 mod 3313^3 = 13×13×13 = 2197计算余数：
2197 ÷ 33 = 66...？33×66 = 21782197 - 2178 = 19
得到密文：
C = 19
小明把密文19发送给小红。即使被人截获，看到的只是19，不知道原始信息13。
🗝️第三步：解密（小红用私钥开锁）
小红收到密文C=19。
解密公式：
明文 M = 密文 C^d mod n
计算过程：
小红拿出私钥：
(d=7, n=33)计算：
M = 19^7 mod 33直接算
19^7太大，我们用技巧：19^2 mod 33 = 361 mod 33 = 28 (因为33×10=330, 361-330=31? 检查：361÷33=10余31) 更正：19^2=361, 33×10=330, 361-330=31 19^4 = (19^2)^2 = 31^2=961 mod 33 = 961÷33=29...4 (33×29=957, 961-957=4) 19^7 = 19^4 × 19^2 × 19^1 = 4 × 31 × 19 = 2356 mod 33 2356 ÷ 33 = 71...？ 33×71=2343, 2356-2343=13
恢复明文：
M = 13✅神奇的事情发生了：密文
19被还原成原始信息13！🧩可视化流程
❓关键问题解答
Q1：为什么加密用e，解密用d？
因为
(M^e)^d = M^(e×d) = M^(k×φ(n)+1)根据欧拉定理：
M^(φ(n)) ≡ 1 (mod n)所以
M^(k×φ(n)+1) ≡ M (mod n)魔法就成立了：加密再解密回到原点！
Q2：为什么安全？
攻击者知道：
n=33,e=3,密文=19他想破解必须：
分解n=33→ 得到
p=3, q=11计算
φ(n)=20根据
e=3求d=7
但当n是617位十进制数（2048位）时，分解它需要全世界的计算机算几百万年！
Q3：数字太大怎么算？
实际中
M^e可能是个天文数字（比如123456789^65537），但：模运算：我们只需要余数，不需要完整结果
快速幂算法：计算机可以在瞬间算出结果
📝一张表总结RSA三步骤
步骤 谁执行 输入 关键操作 输出 比喻 密钥生成 接收者（小红） 两个秘密质数p,q 计算n, φ(n), 选e, 求d 公钥(e,n), 私钥(d,n) 造锁配钥匙
| 加密 | 发送者（小明） | 明文M, 公钥(e,n) | C = M^e mod n | 密文C | 用公钥锁信 |
| 解密 | 接收者（小红） | 密文C, 私钥(d,n) | M = C^d mod n | 明文M | 用私钥开信 |
💎核心思想一句话
RSA利用“质数相乘容易，乘积分解极难”的数学特性，创建了一对数学关联的密钥：用公开的(e,n)上锁，用私密的(d,n)开锁，实现了安全的秘密传输。
