向量概念和运算规则笔记

兄弟们，向量是一种“船新”的框架！系兄弟就砍它一刀。😏

基础概念

向量的定义：
向量（vector，也称矢量），是同时具有数值和方向，且满足平行四边形法则的几何对象。

向量有几种表示方法：

• 几何表示：带箭头的线段；
• 代数表示：黑体小写字母或带箭头的字母\(\mathbf{a}\)、\(\mathbf{u}\)、$ \vec{a} $ 、 $ \vec{AB} $;
• 坐标系表示法：坐标又分平面和空间:
  • 平面坐标系：用数对 (x,y) 表示；
  • 空间坐标系：用三元组 (x,y,z)表示；

求向量大小—求模长：

单位化（标准化）：
向量单位化（Normalization），也称为标准化，是指将一个非零向量转换为一个单位向量的过程，该单位向量与原向量方向相同，但模长（长度）为1。
和单位圆类似。

加、减、数乘

四边形法则，三角形法则：
平行四边形法则是定义向量加法运算的几何方法。它描述了如何将两个向量合成为一个“合向量”，而这个合成过程在几何图形上恰好构成一个平行四边形。

观察：T₂的移动过程。

与三角形法则的关系——等价：
平行四边形法则有一个更常用、更简单的等价形式——三角形法则。

三角形法则：
将向量\(\vec{a}\)的终点作为向量\(\vec{b}\)的起点，那么从\(\vec{a}\)的起点指向\(\vec{b}\)的终点的向量，就是\(\vec{a} + \vec{b}\)。

关系：

• 本质上，平行四边形法则中的两条对边是平行且相等的。当你平移向量\(\vec{b}\)使其起点与\(\vec{a}\)的终点重合时，平行四边形就变成了一个三角形。
• 三角形法则更便于进行多个向量的连续加法（首尾相接）。

总结：
在向量坐标系里，一个向量所在的位置是相对的，可以自由平移。

加减：
规则：将两个向量对应位置的数字（分量）分别相加或相减。

几何表示法：

代数计算示例：
若\(a=(a_{1},a_{2},a_{3})\)，\(b=(b_{1},b_{2},b_{3})\)
加法：\(a+b=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3})\)
减法：\(a-b=(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},a_{3}-b_{3})\)

标量乘法（数乘）：
非常简单，直接看示例：
若\(\mathbf{v}=(2,3)\)，
标量\(c=4\)，则\(4\mathbf{v}=(4\times 2,4\times 3)=(8,12)\)
标量\(c=-1\)，则\(-1\mathbf{v}=(-1\times 2,-1\times 3)=(-2,-3)\)

乘（产生新性质的运算）

点积（内积、数量积）

点积的意义：

• 物理学: 计算力对物体做的功（功 = 力 (\cdot ) 位移），以及力的分解。
• 计算机图形学:判断多边形面朝向摄像机还是背向摄像机。计算光照强度（点积越大，越接近光源方向，光照越强）。实现动画渲染效果。
• 机器学习/人工智能:神经网络中的基础运算，用于特征提取和线性分类器（例如，判断输入向量是否属于某一类）。
• 数据分析/相似度: 反映两个向量的“相似度”，值越大越相似

叉积（外积、向量积、矢量积） - 仅适用于三维空间

混合积（标量三重积、三重积）

向量混合积，表示为\(a\cdot (b\times c)\)，计算结果是一个标量（一个实数）。它代表由向量\(a\),\(b\),\(c\)构成的平行六面体的体积，其绝对值等于体积。

除

提出疑问，为啥向量没有除法呢？

特征值，特征向量

应用：

• 数据降维：主成分分析（PCA）通过找到最大特征值对应的特征向量（主成分）来提取数据最主要的信息。

• 工程/计算机科学： PageRank算法（网页排名）、面部识别（特征脸）、振动分析

向量和复数的关系

复数可以看作是复平面上的向量：

• 复数加减法遵循向量的平行四边形法则；

• 复数乘法则对应于向量长度的缩放和角度的旋转；

• 复数的模长就是向量的长度；

• 两个复数之差的模长代表了复平面上两点间距离。

• ......