工程师学AI之第三篇：线性代数点积运算助你理解大模型注意力机制

在AI的世界里万物皆向量，向量可以用统一的方式表示一切信息：图片-像素，文字-编码，声音-频率特征向量，文件-向量化。前文介绍了线性代数：标量、向量、矩阵、张量；矩阵乘法、转置、点积运算等基本知识。

深度学习的本质就是数学运算，而向量和矩阵是基石。神经网络的前向传播、反向传播、梯度下降，都离不开向量和矩阵运算。

本文重点介绍点积计算如何应用在transformer注意力机制中。你肯定好奇到底点积运算发挥了什么作用，这篇文章篇幅较长，比较烧脑，纰漏之处欢迎指出讨论，希望可以边看边实践！本文重点结合理论与代码实践回答下面几个问题。

1）什么是向量的点积运算？python如何实现点积运算？ 2）点积运算与向量相似度有什么关系？python如何计算相似度？ 3）相似度与transformer里面注意力attention机制又是什么关系？ 4）python实现注意力机制。

1.什么是点积运算？

点积是深度学习中最基础、最重要的运算，它是每个神经元进行计算的核心操作。点积（Dot Product）是两个向量之间的一种运算，结果是一个标量。用于衡量两个向量在方向上有多“一致”。两种定义：

1）代数定义: A · B = a1*b1 + a2*b2 + … + an*bn，对应位置的分量相乘，然后将所有乘积结果相加。神经网络的"智能"就来自于学会给不同输入分配合适的权重，然后做加权求和。向量点积运算就是这个加权求和过程，让每个输入乘以权重，全部加起来。不同神经元的点积运算重复千万次，就产生了人工智能（大道至简，从简单规则到复杂智能，是不是有点类似蚂蚁群体，单个蚂蚁类似神经元的能力极其有限，但当它们通过简单规则相互连接并大规模组织起来时，就会"涌现"出全新的、更高层次的特性）。

1.数学表达：# 输入向量（比如一张简化的3像素图片）input_vector =[1.0,0.5,2.0]# 权重向量（神经元学到的参数） weight_vector =[0.3,0.7,-0.1]# 点积计算（这就是神经元在做的事情！）result=1.0×0.3+0.5×0.7+2.0×(-0.1)=0.3+0.35-0.2=0.452.程序实现：利用python的numpy模块实现点积运算# 输入向量（比如一张简化的3像素图片）input_vector = np.array([1.0,0.5,2.0])# 权重向量（神经元学到的参数）weight_vector = np.array([0.3,0.7,-0.1])# 点积计算（这就是神经元在做的事情！）result = np.dot(input_vector,weight_vector)print("点积计算结果：",result)3.自己实现Vector向量类及点积运算函数class Vector: def __init__(self, components): self.components = components def dot(self, other): if len(self.components)!=len(other.components): raise ValueError("向量维度必须相同") return sum(x * y for x, y in zip(self.components, other.components))

2）几何定义: A · B = ||A|| * ||B|| * cos(θ)，点积的结果由两个向量的长度和它们之间的夹角共同决定。

||A|| 是向量 A 的模长（可以理解为向量的长度）。 ||B|| 是向量 B 的模长。 θ 是向量 A 和向量 B 之间的夹角。

3）模长||A||如何计算？向量的模长（Magnitude），也叫范数（Norm），直观来说就是向量在空间中的“长度”，从原点(0,0,…)指向向量坐标点的距离。对于一个 n维向量 A = [a1, a2, a3, …, an]，其模长 ||A|| 的计算公式为：

||A|| = √(a1² + a2² + a3² + ... + an²)。

文字描述就是：向量模长等于其所有分量的平方和，再开平方根。假设有一个二维向量 A = [3, 4]，它在坐标系中就是从原点 (0,0) 指向点 (3,4) 的箭头。计算分量的平方和: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 对结果开平方根:√25 = 5，所以，向量 A 的模长 ||A|| = 5。

4）两种定义是等价的：点积的数学本质A · B = ||A|| * ||B|| * cos(θ)，它同时衡量了向量的长度和方向一致性。

a1\*b1 + a2\*b2 + ... + an\*bn = ||A|| \* ||B|| \* cos(θ)

让我们用一个二维的例子来可视化这个过程，这能极大地帮助理解。

假设有两个向量:A = [3, 4]，B = [1, 0]

第一步：计算点积 A · B A · B = (3 * 1) + (4 * 0) = 3 + 0 = 3

第二步：计算模长 ||A|| 和 ||B|| ||A|| = sqrt(3² + 4²) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5 ||B|| = sqrt(1² + 0²) = sqrt(1 + 0) = 1

第三步：计算余弦值 cos(θ) cos(θ) = (A · B) / (||A|| * ||B||) = 3 / (5 * 1) = 3/5 = 0.6

2.点积vs向量相似度是什么关系？

2.1向量相似度计算

如何衡量向量相似度？本质上，我们是用夹角余弦值 cos(θ) 来衡量“方向上的相似度”，而点积 A · B 是计算 cos(θ) 的一个关键步骤，但它本身并不是一个纯粹的相似度度量。

1）最纯粹的相似度度量是 cos(θ)：它只关心两个向量的方向是否一致，完全忽略了它们的长度（模长）。这使得它成为衡量“本质相似性”的理想指标。cos(θ) 的本质是衡量方向一致性：

✧ 当 θ = 0° 时，cos(0°) = 1。这意味着两个向量方向完全相同。此时点积达到最大值（正值）。 ✧ 当 θ = 90° 时，cos(90°) = 0。这意味着两个向量互相垂直。此时点积为 0。 ✧ 当 θ = 180° 时，cos(180°) = -1。这意味着两个向量方向完全相反。此时点积达到最小值（负值）。 所以，cos(θ) 本身就是一个完美的“相似度”度量指标，它衡量了两个向量在方向上的对齐程度。

2）点积 A · B 是 cos(θ) 的“未标准化”版本：点积的结果同时受到向量方向和向量长度的影响。 ||A|| * ||B|| 是缩放因子：它保证了更长的向量会对点积结果产生更大的影响。但如果两个向量的模长是固定的（归一化），那么点积的大小就完全由cos(θ)，即方向的一致性来决定。

2.2向量相似度实现

Transformer通过简单的点积运算(余弦相似度的核心)在大规模应用中"涌现"出强大的语言理解能力，这正是"大道至简"的完美体现。

import numpy as npfrom numpy.linalg import norm#基于numpy模块实现两个向量余弦相似度相似度计算def cosine_similarity(vec1, vec2):""" 计算两个向量的余弦相似度 公式:cos(θ)=(A·B)/(||A||*||B||) 值域:[-1,1]，值越大表示越相似1= 完全相同方向,0= 正交,-1= 完全相反方向Args: vec1 (list/np.array): 第一个向量 vec2 (list/np.array): 第二个向量Returns: float: 余弦相似度值""" # 确保输入是numpy数组 vec1 = np.array(vec1) vec2 = np.array(vec2) # 计算点积 dot_product = np.dot(vec1, vec2) # 计算向量的模长(L2范数) norm_vec1 =norm(vec1) norm_vec2 =norm(vec2) # 防止除以零 if norm_vec1 ==0 or norm_vec2 ==0: return 0.0 # 计算余弦相似度 similarity = dot_product /(norm_vec1 * norm_vec2) return similarity# 纯Python实现(不依赖numpy)，代数相似度vs几何相似度等价def cosine_similarity_python(vec1, vec2):"""不使用numpy的余弦相似度实现""" # 计算点积 dot_product =sum(a * b for a, b in zip(vec1, vec2)) # 计算模长 norm1 =sum(a * a for a in vec1)**0.5 norm2 =sum(b * b for b in vec2)**0.5 # 防止除以零 if norm1 ==0 or norm2 ==0: return 0.0 return dot_product /(norm1 * norm2)#测试向量相似度def test_cosine_similarity():"""测试余弦相似度函数"""print("===== 余弦相似度测试 =====") # 相同方向的向量 a =[1,2,3] b =[2,4,6] # a的2倍，完全同向print(f"向量 {a} 和 {b} 的余弦相似度: {cosine_similarity(a, b):.4f} (应接近1.0)") # 正交向量 c =[1,0,0] d =[0,1,0]print(f"向量 {c} 和 {d} 的余弦相似度: {cosine_similarity(c, d):.4f} (应为0.0)") # 相反方向 e =[1,2,3] f =[-1,-2,-3]print(f"向量 {e} 和 {f} 的余弦相似度: {cosine_similarity(e, f):.4f} (应接近-1.0)") # 实际应用示例 - 文本向量 # 假设是词嵌入向量 apple =[0.8,0.6,0.1,-0.2] fruit =[0.7,0.5,0.2,-0.1] car =[-0.1,-0.3,0.9,0.8]print("\n实际应用示例 (词向量):")print(f"apple 和 fruit 的相似度: {cosine_similarity(apple, fruit):.4f}")print(f"apple 和 car 的相似度: {cosine_similarity(apple, car):.4f}")print("=======================\n")# 执行测试test_cosine_similarity(

3.向量相似度vs注意力机制什么关系？

3.1Transformer的自注意力机制

维基百科里面，注意力机制（英语：attention）是人工神经网络中一种模仿人类认知注意力的技术。这种机制可以增强神经网络输入数据中某些部分的权重，同时减弱其他部分的权重，以此将网络的关注点聚焦于数据中最重要的一小部分。数据中哪些部分比其他部分更重要取决于上下文。可以通过梯度下降法对注意力机制进行训练。允许模型在处理数据时动态分配权重，重点关注输入中的重要部分。让AI模型具备像人类一样“抓重点”的能力，这样AI在处理信息时也会自动分配“注意力权重”，强化关键特征，弱化次要信息。

3.1.1transformer里面的self-attentionlayer

下面截图来自李宏毅老师的视频课程，这个结构相信大家看了无数遍。今天我们主要聚集这幅图里面的self-attentionlayer模块。

3.1.2Self-attention矩阵运算过程

自注意力机制允许模型在处理序列数据时，关注输入序列中的不同部分。其核心是使用点积计算查询（Query）、键（Key）和值（Value）之间的相关性。自注意力机制公式：Attention(Q, K, V) = softmax(QKᵀ/√dₖ)V，点积用于计算查询(Query)和键(Key)之间的相似度。其中：Q: 查询矩阵，K: 键矩阵，V: 值矩阵，dₖ: 键向量的维度（用于缩放），整体步骤如下：

3.1.3运算步骤拆解

1）根据输入x与权重矩阵Wq，Wk，Wv计算Q、K、V矩阵。

词向量xi+位置编码ei=ai——>WqWkWv*ai

2）每个q与每个k做点积运算：Q*K做 dot product并行运算

3）Softmax运算-归一化：矩阵运算结果进行softmax运算，将点积运算得到的原始分数转换为有意义的概率分布，是连接神经网络计算与概率解释的桥梁（这里不做展开，后面概率论单独文章再去理解）。

4）计算输出结果：

3.1.4多头自注意力机制：Q、K、V不同维度分解

多维度理解就像用多个不同角度的摄像头同时拍摄一个场景：

1）第一个头：专注语法关系（主谓宾结构）

2）第二个头：专注语义关系（词汇含义）

3）第三个头：专注长距离依赖（句子间逻辑）

3.2点积相似度计算vs注意力关系

点积在注意力中的角色：利用其衡量方向一致性的特性，来计算查询（Query） 和键（Key） 之间的相似度。方向越一致，代表Key越能回答Query的“提问”，其对应的Value就越重要。

1）在概念上，我们是用 cos(θ) 来衡量向量的相似度。余弦的优势：余弦值通过除以模长，消除了向量长度的影响。cos(A, B) = 1 精确地表示它们方向完全相同。cos(A, C) = -1 表示它们方向完全相反。cos(θ) 给出了一个归一（Normalized）的结果，它的值永远在 [-1, 1] 之间，这使得不同向量之间的相似度可以公平地进行比较。

2）在实际操作中（尤其是在注意力机制里），我们常用点积 (Q · K) 作为其高效且有效的近似计算方式（例如，在Transformer中，Query和Key向量通常会被归一化到相同的尺度）。

3.3点积运算如何在transformer注意力机制中发挥作用？

Transformer原论文中将核心部分称为Scaled Dot-Product Attention，缩放点积注意力，最核心的公式为：

1）核心思想：对于当前要处理的元素Query（例如一个词），决定应该“关注”序列中其他元素Key的多少程度。这个“关注程度”就是一个权重，最终效果：通过点积，注意力机制能够动态地、有针对性地从输入序列中提取最相关的信息，这是Transformer和大型语言模型取得成功的关键突破之一。

2）Query, Key, Value 类比：

Query (查询向量)：代表当前元素发出的“提问”：“我正在处理，我需要哪些信息？”比喻：就像你在搜索引擎里输入的关键词。

Key (键向量)：代表序列中每个元素所拥有的“标签”或“标识”。它用来回应 Query的提问。比喻： 就像互联网上每个网页的关键词标签（索引）。

Value (值向量)：代表序列中每个元素实际包含的“信息”或“内容”。比喻： 就像网页本身的完整内容。

3）注意力的工作流程：将当前的 Query 与序列中所有元素的 Key 进行比较。点积就是执行这个比较操作的完美工具！相似度分数 = Query · Key加权：将这些相似度分数通过Softmax函数转换为权重（所有权重之和为1的正数概率分布）。分数越高，权重越大。求和：用这些权重对所有的 Value 进行加权求和，得到最终的注意力输出。

4）为什么点积是计算相似度的完美工具？现在我们结合几何意义来理解：

➢ Query · Key 的值越大 -> 根据点积公式，这意味着 cos(θ) 接近 1 -> 两个向量的方向非常接近 -> 这个Key所对应的元素所拥有的“标签”（Key）与当前的“提问”（Query）高度相关 -> 因此，这个元素应该获得高注意力权重。

➢ Query · Key 的值接近 0 -> cos(θ) 接近 0 -> 两个向量近乎垂直 -> Key 和 Query 不相关 -> 权重应接近 0。

➢ Query · Key 的值为负 -> cos(θ) 为负 -> 两个向量方向相反 -> 可能意味着某种排斥或对立关系 -> 权重会非常小（因为Softmax会将负值压得很低）。

5）既然 cos(θ) 更好，为什么Transformer的论文《Attention Is All You Need》中用的是点积公式 Q · K，而不是直接写 cos(θ) 呢？理解点积受长度影响这一缺陷，是理解为何需要LayerNorm、缩放因子等技巧的关键。架构设计（如LayerNorm）和缩放操作 (/ √d_k) 确保了 (Q · K) 能够有效地充当相似度的度量指标。

➢ 计算效率：点积 Q · K 只需要一次矩阵乘法，计算速度极快。如果先分别计算每个Q和K的模长再做除法，计算成本更高。使用 (Q · K) 是出于计算效率和实现便利的考虑。隐含的假设：在标准的Transformer架构中，Query和Key向量通常已经进行了某种形式的归一化（例如，通过其初始化方式和层归一化LayerNorm），它们的模长被控制在一个较小的范围内波动。因此，点积 Q · K 的结果虽然不完全等价，但已经高度近似于余弦相似度 cos(θ) 所表达的方向相似性。其内在的物理意义，仍然是衡量Query和Key向量方向的相似性（即 cos(θ)）。

➢ 可学习的缩放因子：论文中并没有直接使用点积，而是使用了缩放点积注意力（Scaled Dot-Product Attention）：注意力分数 =(Q · K) / √d_k)这里除以 √d_k（Key向量的维度）的主要原因之一是：防止点积结果过大，导致Softmax函数的梯度消失问题（因为Softmax会将非常大的输入值推向饱和区）。这个缩放操作进一步稳定了训练。

4.点积运算vs自注意力python实现

在Transformer模型中，自注意力机制(Self-Attention)的核心就是使用点积来计算查询(Query)和键(Key)之间的相似度。具体步骤如下：

1）准备输入：初始化参数，将输入向量转换为Query、Key和Value矩阵

2）计算注意力分数：通过Query和Key的点积计算注意力分数attentionscore

3）缩放：将点积结果除以Key向量维度的平方根(√dₖ)

4）Softmax：对缩放后的分数应用Softmax函数获得注意力权重

5）加权求和：用注意力权重对Value进行加权求和

6）输出结果。

感兴趣的朋友，可以阅读并运行下面代码。

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom math import sqrt#点积计算注意力defscaled_dot_product_attention(Q, K, V, print_steps=False):""" 实现缩放点积注意力机制 参数: Q -- 查询矩阵 (batch_size, num_heads, seq_len, d_k) K -- 键矩阵 (batch_size, num_heads, seq_len, d_k) V -- 值矩阵 (batch_size, num_heads, seq_len, d_k) print_steps -- 是否打印中间步骤 返回: 输出张量和注意力权重 """# 1. 计算注意力分数: Q·K^T# 形状: (batch_size, num_heads, seq_len, seq_len) matmul_qk = np.matmul(Q, K.transpose(0,1,3,2))if print_steps:print("\n步骤1: 计算Q·K^T")print("Q·K^T 形状:", matmul_qk.shape)print("示例值(第一个样本,第一个头):\n", matmul_qk[0,0,:,:])# 2. 缩放注意力分数 (除以sqrt(d_k)) d_k = Q.shape[-1] scaled_attention_logits = matmul_qk / sqrt(d_k)if print_steps:print("\n步骤2: 缩放注意力分数 (除以√d_k)")print("d_k =", d_k)print("缩放后形状:", scaled_attention_logits.shape)print("示例值(第一个样本,第一个头):\n", scaled_attention_logits[0,0,:,:])# 3. 应用softmax获取注意力权重# 注意: softmax应用于最后一个维度(seq_len) attention_weights = np.exp(scaled_attention_logits - np.max(scaled_attention_logits, axis=-1, keepdims=True)) attention_weights /= np.sum(attention_weights, axis=-1, keepdims=True)if print_steps:print("\n步骤3: 应用softmax获取注意力权重")print("注意力权重形状:", attention_weights.shape)print("示例值(第一个样本,第一个头):\n", attention_weights[0,0,:,:])print("检查行和(应接近1):", np.sum(attention_weights[0,0,0,:]))# 4. 将注意力权重与值矩阵相乘 output = np.matmul(attention_weights, V)if print_steps:print("\n步骤4: 注意力权重·V")print("输出形状:", output.shape)print("示例值(第一个样本,第一个头):\n", output[0,0,:,:5])# 只显示前5个特征return output, attention_weights#多头注意力机制classMultiHeadAttention:""" Multi-Head Attention层实现 [[5]] 这个实现将输入分割为多个注意力头，分别计算注意力，然后合并结果。 """def__init__(self, d_model, num_heads):""" 初始化Multi-Head Attention层 参数: d_model -- 模型维度(输入和输出的维度) num_heads -- 注意力头的数量 """ self.d_model = d_model self.num_heads = num_heads# 确保d_model可以被num_heads整除assert d_model % num_heads ==0,"d_model must be divisible by num_heads" self.d_k = d_model // num_heads # 每个注意力头的维度# 初始化权重矩阵 (使用Xavier初始化) self.W_q= np.random.randn(d_model, d_model)/ sqrt(d_model) self.W_k= np.random.randn(d_model, d_model)/ sqrt(d_model) self.W_v= np.random.randn(d_model, d_model)/ sqrt(d_model) self.W_o= np.random.randn(d_model, d_model)/ sqrt(d_model)print(f"MultiHeadAttention初始化完成:")print(f"- d_model: {d_model}")print(f"- num_heads: {num_heads}")print(f"- d_k per head: {self.d_k}")print(f"- 权重矩阵形状: W_q={self.W_q.shape}, W_k={self.W_k.shape}, W_v={self.W_v.shape}, W_o={self.W_o.shape}")defsplit_heads(self, x, batch_size):""" 将最后一个维度分割为(num_heads, d_k) 参数: x -- 输入张量 (batch_size, seq_len, d_model) batch_size -- 批次大小 返回: 重排后的张量 (batch_size, num_heads, seq_len, d_k) """ x = x.reshape(batch_size,-1, self.num_heads, self.d_k)# 交换维度以获得 (batch_size, num_heads, seq_len, d_k)return np.transpose(x,(0,2,1,3))defcombine_heads(self, x, batch_size):""" 将多个注意力头的结果合并 参数: x -- 分割后的张量 (batch_size, num_heads, seq_len, d_k) 返回: 合并后的张量 (batch_size, seq_len, d_model) """# 交换维度以获得 (batch_size, seq_len, num_heads, d_k) x = np.transpose(x,(0,2,1,3))# 合并最后两个维度return x.reshape(batch_size,-1, self.d_model)defforward(self, x, print_steps=False):""" 前向传播 参数: x -- 输入张量 (batch_size, seq_len, d_model) print_steps -- 是否打印中间步骤 返回: 输出张量和所有注意力头的注意力权重 """ batch_size = x.shape[0] seq_len = x.shape[1]if print_steps:print("\n===== Multi-Head Attention 前向传播 =====")print("输入形状:", x.shape)print("示例输入(第一个样本):\n", x[0,:,:5])# 只显示前5个特征# 1. 线性投影得到Q, K, V Q= np.matmul(x, self.W_q) K= np.matmul(x, self.W_k) V= np.matmul(x, self.W_v)if print_steps:print("\n步骤1: 线性投影得到Q, K, V")print("Q形状:", Q.shape,"K形状:", K.shape,"V形状:", V.shape)print("示例Q值(第一个样本):\n", Q[0,:,:5])# 2. 分割为多个注意力头 Q= self.split_heads(Q, batch_size) K= self.split_heads(K, batch_size) V= self.split_heads(V, batch_size)if print_steps:print("\n步骤2: 分割为多个注意力头")print("分割后Q形状:", Q.shape,"K形状:", K.shape,"V形状:", V.shape)print("示例Q值(第一个样本,第一个头):\n", Q[0,0,:,:5])# 3. 计算缩放点积注意力 attn_output, attn_weights = scaled_dot_product_attention( Q, K, V, print_steps=print_steps)# 4. 合并所有注意力头 attn_output=self.combine_heads(attn_output, batch_size)if print_steps:print("\n步骤4: 合并所有注意力头")print("合并后输出形状:", attn_output.shape)print("示例输出(第一个样本):\n", attn_output[0,:,:5])# 5. 应用最终的线性变换 output = np.matmul(attn_output, self.W_o)if print_steps:print("\n步骤5: 应用最终线性变换 (W_o)")print("最终输出形状:", output.shape)print("示例输出(第一个样本):\n", output[0,:,:5])return output, attn_weights# 测试实现if __name__=="__main__":# 设置随机种子以确保结果可重现 np.random.seed(42)# 创建示例输入 (batch_size=2, seq_len=3, d_model=8) batch_size =2 seq_len =3 d_model =8 num_heads =2print("===== 创建测试环境 =====")print(f"批次大小: {batch_size}, 序列长度: {seq_len}, 模型维度: {d_model}, 注意力头数: {num_heads}")# 随机生成输入数据 (模拟词嵌入) x = np.random.randn(batch_size, seq_len, d_model)# 创建Multi-Head Attention层 mha = MultiHeadAttention(d_model, num_heads)# 执行前向传播并打印所有中间步骤print("\n"+"="*50)print("开始执行前向传播，打印所有中间步骤...")print("="*50) output, attn_weights = mha.forward(x, print_steps=True)# 打印最终结果摘要print("\n"+"="*50)print("Multi-Head Attention 计算完成")print("="*50)print("输入形状:", x.shape)print("输出形状:", output.shape)print("注意力权重形状 (用于可视化):", attn_weights.shape)print("\n注意力权重示例(第一个样本,第一个头):")print(attn_weights[0,0,:,:])# 可视化第一个样本的第一个注意力头 plt.figure(figsize=(8,6)) plt.imshow(attn_weights[0,0], cmap='hot', interpolation='nearest') plt.colorbar() plt.title('Attention Weights (Sample 0, Head 0)') plt.xlabel('Key Positions') plt.ylabel('Query Positions')for i inrange(seq_len):for j inrange(seq_len): plt.text(j, i,f'{attn_weights[0, 0, i, j]:.2f}', ha='center', va='center', color='w') plt.savefig('attention_weights.png')print("\n已保存注意力权重可视化到 'attention_weights.png'")

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