线性代数思维重构第一章：向量空间

最近由于平时跟本科的学生交流，和自己一些朋友在AI领域进行讨论时，发现他们对线代的理解还是相对不够深入，所以我想根据《线性代数应该这样学》这本书，通过自己的浅薄理解，来为大家开拓一个更高的线代视野，以帮助大家学习更深刻的思维。

这可能是你第二次接触线性代数．初次接触这个学科时，你可能偏重欧几里得空间（Eu clidean space）和矩阵；这次相逢则不同，将聚焦于抽象的向量空间和线性映射．这些术语将 在后面定义，所以如果你不知道它们的意思也不用担心．

由于原书是英文，中文翻译过来之后其实挺晦涩的，讲解也很专业化，所以你可以看我的大白话讲解之后再去做习题，不做也没关系，我们并不是要完成100分理解，我们完成80分即可，100分留给数学专业的学生吧。

PDF地址：Linear Algebra Done Right

线性代数是研究有限维向量空间上的线性映射的学问．我们最终会理解这些术语的具体 含义．在本章中，我们将定义向量空间并讨论它们的基本性质． 在线性代数中，如果将复数与实数放在一起研究，就会得到更好的定理和更深刻的见解． 因此，我们将从介绍复数及其基本性质开始．

第一回：构建基石——标量域与坐标空间

《线性代数应该这样学》与传统教材最大的不同，在于它从一开始就极度强调一般性与结构。在进入“向量空间”这个抽象定义之前，我们必须先通过最具体的数学对象——数和列表，来确立线性代数运算的基本法则。

本部分将涵盖以下核心概念的严密定义：

1. 复数系统及其代数性质。

2. 标量域的抽象统一。

3. 空间的定义及其运算逻辑。

1. 复数系统的代数本质 ()

线性代数不仅仅是在实数域上的游戏。为了理解特征值、算子分解等高阶概念，我们必须引入复数。Axler 在开篇即引入，意在表明：实数只是复数的一个特例（子集）。

1.1 定义与基本运算

我们定义复数为一个有序对，通常写作，其中，满足。

• 加法:

• 乘法 :

1.2 关键性质（实例验证）

理解复数的关键不在于它的几何意义（复平面旋转），而在于它保持了算术的封闭性和完备性。

实例 1：乘法的封闭性与实部虚部混合

设。

注意：虽然和的实部虚部都是正数，但乘积的实部变成了负数。这是线性变换中“旋转”特性的代数体现，但在第一章，我们只关注运算结果的确切性。

1.3 为什么需要复数？

考虑方程。在中无解，但在中有解。线性代数中，寻找“特征值”本质上就是解多项式方程。如果局限于，许多算子将“无解”（没有特征值）。因此，提供了更完整的代数环境。

2. 标量域的抽象

这是本书逻辑严密性的第一个体现。作者不想把定理写两遍（一遍给实数，一遍给复数）。因此，引入符号。

2.1 定义

在本书中，既可以代表实数域，也可以代表复数域。

中的元素被称为标量。

2.2 域的潜台词

虽然 Axler 没有花费大量篇幅讲解群论中的“域”（这是另外的部分了，我们还是暂时不要深入到群论），但他罗列的性质暗示了必须满足极其严格的代数结构。对于任意，必须满足：

1. 交换律 :,

2. 结合律 :,

3. 分配律 :

4. 单位元 :存在和，使得,。

5. 逆元 :存在加法逆元和乘法逆元。

逻辑推论：

如果不满足上述性质（例如整数集合，因为它没有乘法逆元，如），就不能作为线性代数的标量域。线性代数的所有定理，都建立在这些基础算术公理之上。

3. 列表与空间

在定义抽象的“向量空间”之前，我们先研究一个最具体的例子：。这是所有向量空间的原型（Prototype）。

3.1 列表的严格定义

设是非负整数。一个长度为的列表是个元素的一个有序排列（Ordered mathematical objects），记作：

其中是第个坐标。

关键区别：列表 vs 集合

• 顺序重要性：列表；集合。

• 重复性：列表是合法的且长度为 2；集合长度为 1。

• 结论：线性代数处理的是位置敏感的数据结构。

3.2的定义

是所有长度为的、元素来自的列表的集合：

实例 2：区分空间维度

• : 实数对，如。

• : 复数对，如。

• : 实数三元组，如。

3.3 定义上的运算

仅仅有一堆列表是不够的，我们需要定义它们之间如何通过代数发生关系。我们在上定义两种基本运算。

A. 坐标加法

对于和，它们的和定义为：

逻辑验证：只有当两个列表长度相同时，加法才有定义。这是由“有序列表”的结构决定的。

B. 标量乘法

对于和，积定义为：

实例 3：中的运算

设，向量。

这个例子展示了标量域的运算规则如何直接渗透进的每一个坐标中。

4. 迈向抽象的第一步

在此阶段，我们得到了什么？

1. 我们有了标量（），它们遵循算术规则。

2. 我们有了向量（中的列表），它们可以相加，也可以被标量缩放。

3. 我们定义了向量：。

4. 我们定义了加法逆元：。

逻辑上的伏笔：

Axler 在第一章第一节仅停留在这里。他没有把称为“唯一的”向量空间。相反，他在暗示：任何对象的集合，只要能像这样由“加法”和“标量乘法”操纵，并且满足类似的律法，它就是一个向量空间。

只是具体且特殊的例子，而不是定义。

第二回：灵魂的提取——向量空间的公理化定义

0.向量空间具象理解

在数学里，“空间” 就是一个“集合”。也就是“一堆东西的合集”。

一堆苹果，是一个集合。

一堆箭头，是一个集合。

一堆函数，是一个集合。

但是，普通的集合是很散乱的。比如“一堆苹果”，你把两个苹果“加”在一起是什么意思？没意义。你把一个苹果“乘 3”是什么意思？变大三倍吗？不确定。

向量空间，就是在这个集合上加了两条钢铁般的规则，让这堆东西变得极其守纪律

要把一个普通的“集合”晋升为“向量空间”，它必须保证你在里面怎么“折腾”，都永远跑不出去。

这就好比一个完美的封闭宇宙。在这个宇宙里，你只能做两个动作：

动作 1：伸缩（标量乘法）

规则：你手里拿一个东西，如果你把它拉长（乘 2）、缩短（乘 0.5）、甚至反向拉（乘 -1），得到的新东西必须还在这个宇宙里。

动作 2：合成（加法）

规则：你左手拿一个东西，右手拿一个东西，把它们“加”在一起，得到的新东西必须还在这个宇宙里。

为了彻底听懂，请你脑海中浮现出一张无限大的平展白纸（这是一个二维平面）。

原点（零向量）：纸中心有一个红点。这是必须有的，它是世界的中心。

向量：从红点出发，画向纸上任意一点的箭头。

验证它是向量空间：

伸缩：你把任何一个箭头拉长两倍，箭头还在纸上吗？在。（因为纸是无限大的）。

合成：你随便画两个箭头，把它们首尾相接拼起来，终点还在纸上吗？在。（因为纸是平的）。

这就是向量空间：一个平坦的、无限延伸的、包含原点的世界。

为什么叫“向量”而不叫“箭头”？

之所以这本书叫《线性代数应该这样学》，是因为 Axler 想告诉你：不要只盯着箭头看。

只要满足上面那个“永不越界”的游戏规则，任何东西都是向量。

例子：声音（波形）想象所有的声音波形。

• 伸缩：你把一段声音的音量放大一倍（乘 2），它还是声音吗？是。

• 合成：你同时播放两段声音（加法），它们混合在一起，这还是声音吗？是。

• 原点：静音（波形为0）。

• 结论：声音波形构成了一个向量空间！

在这里，一段波形就是一个“向量”。处理声音的算法，本质上就是在做线性代数运算。

向量空间就是一个封闭的操作台。在这个台子上，任何对象都可以被拉伸，也可以被叠加，而且无论怎么操作，生成的新对象永远不会掉出这个台子。”

• 关键点 1：必须有原点（）。

• 关键点 2：必须是直的、平的（加法封闭）。

• 关键点 3：必须是无限延伸的（乘法封闭）。

现在，我们要进行一次思维上的飞跃：剥离具体形式，提取代数灵魂。我们将不再关心“向量”长什么样（是一列数？是一个函数？还是一个矩阵？），我们只关心它们如何运算。

这就是向量空间（Vector Space）的公理化定义。这是线性代数最庄严的时刻，因为后续所有定理都将建立在这几条简短的公理之上。

1. 定义：什么是向量空间？

一个向量空间由三个要素组成：

1. 一个集合（或许我们可以成为向量域）（其中的元素称为向量）。

2. 一个标量域（实数域或复数域）。

3. 两种运算：加法和标量乘法。

这两种运算必须满足以下公理。对于任意和任意：

A. 加法的代数结构

加法必须生成一个“阿贝尔群”结构：

• 封闭性 :。

• 交换律 :。

• 结合律 :。

• 加法单位元 :存在一个唯一的元素，使得。

• 加法逆元 :对于每个，存在唯一的，使得

B. 标量乘法的代数结构

1. 封闭性 (Closure):。

2. 结合律 (Associativity):。

3. 乘法单位元 (Multiplicative Identity):（这里是中的单位元）。

C. 分配律

这是连接加法与乘法的桥梁：

1. 标量分配律:。

2. 向量分配律:。

2. 深入理解：为什么是这些公理？

Axler 列出这些公理并非随性而为。这组公理极其精炼地定义了“线性”的本质。

• 没有减法与除法：注意，定义中没有定义或。在严格的代数结构中，减法只是加逆元（），除法只是乘倒数（）。这保证了运算定义的最小化。

• 原点的重要性：公理 A.4 强制要求空间中必须有一个“原点” 0。没有原点的几何对象（如直线）不能构成向量空间，因为它不包含零向量，违背了加法单位元的存在性。

• 结合律的意义：公理 A.3 和 B.2 允许我们在写长串运算时省略括号。比如，无论先算哪两个，结果都一样。

3. 核心实例：超越

为了打破“向量就是一列数”的刻板印象，Axler 引入了更广泛的例子。

3.1 函数空间 $\mathbb{F}^S$

设是任意非空集合。定义为从到的所有函数的集合。

对于和，我们定义：

逻辑连接：

• 如果，那么本质上就是。因为一个定义域为的函数，其实就是个特定的值，这正是一个长度为的列表。

• 如果（区间），那么就是定义在上的所有实/复值函数空间。

结论：只是函数空间的一个特例。这一视角极大地扩展了向量空间的应用范围——多项式、连续函数、可微函数，它们都是向量。

向量空间太大了，我们需要在其中寻找结构。正如我们在三维空间中寻找“平面”和“直线”，在向量空间中，我们要寻找子空间（Subspaces）。我们将定义什么是子空间，以及最重要的——直和（Direct Sums），这是理解空间分解的关键。

第三回：空间的解剖学——子空间与直和

我们已经拥有了一个巨大的宇宙——向量空间。但通常我们不需要研究整个宇宙，只需要研究其中的一小块区域（比如二维平面中的一条直线）。

这就引出了一个问题：什么样的“一小块区域”才有资格被当作线性代数的研究对象？

0.具象理解：

你已经知道什么是向量空间 ()了（那个无限延伸、包含原点的完美平坦世界）。

现在，我们在里面随便圈出一块地盘，叫它子集。

核心问题：这块被圈出来的，是一堆杂乱无章的碎片，还是一个“自给自足的小世界”？

如果是后者，它就是子空间。

子空间 U 必须满足一个极其苛刻的逻辑条件：

如果在这个圈子 U里的人，完全不依赖外界 V，就能玩转所有的线性代数游戏，那它就是子空间。

这意味着，U 必须是一个“微缩版”的向量空间。它“寄生”在 V 里，但它自己必须拥有完整的结构。

为了证明 U 具备这种独立性，它必须通过三道“防逃逸”测试。

我们以三维空间（你的房间）作为大宇宙 V。我们来看看房间里的哪些对象能通过测试。

第一道测试：原点锚定

• 规则：。

• 直觉：任何空间都必须有中心。如果你圈的地盘里没有原点，你就失去了坐标系的“根”。

• 实例：

  • 通过：穿过房间中心的一条激光线。

  • 失败：悬浮在天花板上的一条线（不经过原点）。

  • 逻辑后果：如果没有 0，那么加法就失效了，因为，如果不在里面，运算结果就“掉出去”了。

第二道测试：加法封闭

• 规则：圈子里随便找两个向量，它们的和必须还在圈子里。

• 直觉（最关键）：这要求子空间必须是平直的。

• 失败案例：十字架形状

  • 想象是地面上的轴和轴的并集（十字形）就是只有两个坐标轴，其他都没有。

  • 你在轴取个向量（合法）。

  • 你在轴取个向量（合法）。

  • 加法：。

  • 结果：在轴和轴之间的区域，它掉出去了！

  • 结论：弯曲的、折断的、拼接的形状（如十字架、圆圈、双曲线）都会在加法这一关挂掉。只有直线、平面这种“平”的东西才能过关。

第三道测试：数乘封闭

• 规则：圈子里随便拿个向量，随便乘个数字，结果必须还在圈子里。

• 直觉：这要求子空间必须是无限延伸的。

• 失败案例：线段

  • 想象是从原点出发，长度只有 1 米的一根短棍。

  • 你在里面拿个向量（长度 0.5）。

  • 数乘：乘上 10。

  • 结果：长度变成 5。它戳出去了！

  • 结论：有边界的东西（正方形、球体、线段）统统不行。子空间必须向两头无限延伸。

为了让你心里有底，我们可以把三维空间中所有的子空间列一张清单。除了这四类，再无其他。

• 零维子空间：

  • 内容：只有原点。

  • 解释：它是最小的。如果你只待在原点，不管怎么加、怎么乘，你永远还是 $0$。完美封闭。

• 一维子空间：

  • 内容：所有过原点的直线。

  • 解释：只要这根线是无限长且直的，且经过原点，你在上面怎么爬（加法、数乘），都永远掉不下去。

• 二维子空间：

  • 内容：所有过原点的平面。

  • 解释：只要这个面是平的、无限大的，且经过原点。比如桌面无限延伸，你在桌面上画箭头相加，永远不会飞到空中去。

• 三维子空间：

  • 内容：整个自己。

  • 解释：最大的子空间就是它本身。

什么是子空间？

它必须同时满足：

1. 有根（包含原点）。

2. 平直（加法不产生新方向）。

3. 无限（数乘不产生越界）。

用一句话说：子空间是过原点的线性平坦结构。

1. 子空间 (Subspace)：宇宙中的小宇宙

接下来进入数学抽象！

1.1 什么是子空间？

想象是全集。我们取的一个子集（即）。

如果这个完全继承了的所有优良性质，使得我们在内部进行加法和数乘时，永远不会“掉出”这个圈子，那么就是的一个子空间。

1.2 严格判据

要证明 U 是 V 的子空间，必须且只需检查以下三个条件。这三个条件缺一不可，必须死记硬背且深刻理解：

1.零向量存在

深度解析：为什么必须有 0？因为线性代数不仅研究“形状”，还研究“结构”。没有原点（0）的对象（比如平面上 x=1 这条直线）不具备代数结构——你没法在这个集合里找到一个元素加它等于它自己。只要没有 0，直接判死刑，不是子空间。

2.加法封闭

如果，那么。

深度解析：比如你在这个圈子里随便找两个东西加起来，结果跑出去了，那这个圈子就是“破”的，不是完备的子空间。

3.标量乘法封闭

如果且，那么。

深度解析：这意味着你不能限制向量的“长度”。如果你说“我只研究长度小于 1 的向量”，这不行，因为我乘个 5，它就变长了，跑出去了。子空间必须能无限延伸。

1.3 实例与反例的深度剖析（这是理解的关键）

我们以（二维平面）为例，来看看谁是子空间，谁不是。

案例 A：过原点的直线

集合。

• 检查 1：满足吗？满足。。

• 检查 2：取两点和。相加得。满足吗？满足。

• 检查 3：取点和标量。相乘得。满足。

• 结论：是子空间。

案例 B：不过原点的直线

集合。

• 检查 1：满足吗？。

• 结论：不是子空间。哪怕它是一条直的线，但因为丢了原点，它在线性代数里就没有地位。

案例 C：虽然有原点，但形状不对（最易错！）

集合。

• 这是什么？这是轴和轴的并集（十字架形状）。

• 检查 1：在里面吗？在。

• 检查 2（加法封闭）：

  • 取（在 x 轴上，属于）。

  • 取（在 y 轴上，属于）。

  • 。

  • 在里吗？不在！因为。

• 结论：不是子空间。

• 深意：子空间必须是“平直”的。两个子空间简单的拼凑（并集）往往不再是子空间，因为加法会把它们“混合”出新的方向。

2. 子空间的和 (Sum of Subspaces)

既然简单的“并集”（Union,）通常不是子空间（如案例 C 所示），那我们如何把两个子空间和正确地结合起来呢？

2.1 定义

我们需要一种运算，能囊括和的所有组合。这就是和。

这表示：从里拿一个向量，从里拿一个向量，加起来。把所有这种加出来的结果放在一起，就是。

重要性质：是包含和的最小的子空间。

2.2 例子

在中：

• 设是 x 轴：。

• 设是 y 轴：。

• (并集):只是个“十字架”，不是子空间。

• (和):任意。这是整个 xy 平面！这是一个完美的子空间。

3. 直和 (Direct Sum)：线性代数的“精确拆解”

这是第一章最难、最重要、最深奥的概念。请务必慢下来。

3.1 为什么需要“直”和？

普通的和有个缺陷：表达不唯一。

想象 U 是 xy 平面，W 是 yz 平面。它们的和是整个。 取一个向量。 它可以写成吗？

• 方式 1：,。

• 方式 2：,。加起来还是。

  因为和有重叠（y 轴），导致同一个向量有无数种拆分方法。这很糟糕，我们想要唯一性。

3.2 直和的定义

如果 V 中的每一个向量都能唯一地（Unique）写成（其中），那么我们称是和的直和。

记作：

我们怎么知道两个空间是不是直和？去试每一个向量是否唯一太麻烦了。Axler 给出了一个极其优美的判据：

定理：是直和，当且仅当：

即：和的交集只有零向量。

详细逻辑推导（为什么？）：

1. 从右往左推：如果，为什么表示就唯一了？

   • 假设且（有两种写法）。

   • 那么。

   • 移项整理：。

   • 看左边：，因为是子空间，差也在里。所以结果。

   • 看右边：，所以结果。

   • 这意味着这个差值既在里，也在里。

   • 既然交集只有，那么。同理。

   • 结论：只要交集为零，拆分方法就是唯一的！

几何理解：

• 想让两个东西完全不纠缠，它们只能在原点处碰头。

• x 轴和 y 轴就是直和关系（交集只有原点）。

• xy 平面和 yz 平面不是直和关系（交集是 y 轴，不仅仅是原点）。

到现在，我们在脑海中构建了什么图像？

1. 子空间是保持加法和数乘封闭的“平直”结构，且必须包含原点 $0$。

2. 和 ()是把两个子空间“张成”一个更大的空间。

3. 直和 ()是最完美的拼接方式：它要求两个子空间除了原点外互不干涉（），从而保证了世界上的每一个向量都能被精确、唯一地分解。