编码理论中的界与卷积码详解
1. 吉尔伯特 - 瓦沙莫夫界的再探讨
在编码理论中，吉尔伯特 - 瓦沙莫夫界是一个重要的概念。通过对相关公式的推导，我们可以更深入地理解它。假设 $\delta = d/n$，对公式进行以 $q$ 为底取对数并除以 $n$ 的操作，可得到：
$n^{-1}[\log_q(\delta n) + \log_q V_q(n, \delta n)] < \frac{t_e}{n} + n^{-1}\log_q\left[1 - q^{-t_e/2 + 1}\right]$
当 $n$ 趋近于无穷大时，根据引理 2.10.3，我们能得到 $H_q(\delta) \leq \lim_{n \to \infty}\frac{t_e}{n}$ 或者 $1 - H_q(\delta) \geq 1 - \lim_{n \to \infty}\frac{t_e}{n}$。由于 $t = \log_q n$，我们可以选择一个增长足够快的 $e$ 序列，使得不等式 (13.13) 得以维持，这保证了存在一系列长度递增的戈帕码（Goppa codes），其相对最小距离至少为 $\delta n$，并且满足 $1 - H_q(\delta) = 1 - \lim_{n \to \infty}\frac{t_e}{n}$。根据定理 13.2.1，该序列中的码的码率至少为 $1 - \frac{t_e}{n}$，因此这个序列满足渐近吉尔伯特 - 瓦沙莫夫界。
2. 代数几何码超越吉尔伯特 - 瓦沙莫夫界
1982 年，Tsfasman、Vlădut 和 Zink 的研究首次表明，存在一系列码，当它们的长度趋于无穷大时，其相对距离趋近于 $
