8、狄拉克哈密顿量的解耦与相关变换研究

狄拉克哈密顿量的解耦与相关变换研究

1. 福尔德 - 伍休森变换

1.1 无场情况下的狄拉克哈密顿量

考虑狄拉克哈密顿量：
[H = \sum_{j=1}^{3} \alpha_j(D_j - A_j) + \beta + V(x)]
假设 (V) 和 (A_j) 是与时间无关的 (x) 的函数，且满足条件 (X)，即函数是 (C^{\infty}(\mathbb{R}^3)) 的，(j) 阶导数为 (O((1 + |x|)^{-j - 1}) = O(\langle x \rangle^{-j - 1}))。

在无场情况下，即 (V = A = 0)，算子 (H = H_0) 具有常数系数，可应用傅里叶变换：
[F^{-1}H_0F = h_0(\xi) = \alpha \cdot \xi + \beta]
对于每个 (\xi \in \mathbb{R}^3)，矩阵 (h_0(\xi)) 有两个不同的实特征值 (\lambda_{\pm} = \pm \sqrt{1 + \xi^2})，每个特征值的重数为 2。存在一个酉 (4\times4) 矩阵函数 (u(\xi))，使得 (u^*(\xi)h_0(\xi)u(\xi) = \begin{pmatrix} \lambda_+ & 0 \ 0 & \lambda_- \end{pmatrix}(\xi))。

定义酉算子 (U = u(D) = F^{-1}u(\xi)F)，可得：
[U^*H_0U = \begin{pmatrix} \Lambda_+ & 0 \ 0 & \Lambda_- \end{pmatrix}