121.股票买卖的最佳时机
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题目描述：
给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。
示例 1：
输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。示例 2：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
思路：
动规五部曲分析如下：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ，请注意这里的动词使用，是持有，并非买入，可能今天买入，昨天买入，前天买入，但是今天股票一定在手上。
2.确定递推公式：如果第i天持有股票，即dp[i][0]，要么前一天就已经持有股票了（dp[i - 1][0]）,要么今天才买入，花了price[i]元，那么现在手里的现金就是-price[i]。所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i])
如果第i天没持有股票，即dp[i][1],要么前一天就已经把股票抛了（dp[i - 1][1]），要么今天把股票抛了，也就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]。所以dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0])
3.dp数组如何初始化：由上面递推公式可得：dp[0][0]和dp[0][1]是我们遍历开始的基石，dp[0][0]就是第1天就持有股票了，那也就是第一天就买了，所以初始化为-price[0]。dp[0][1]就是第一天还没持有股票，所以直接初始化为0即可。
4.确定遍历顺序：从遍历公式可得，一定是从前往后遍历的。
5.举例推导dp数组
以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：
dp[5][1]就是最终结果。
注意本题最后不持有股票一定比持有股票钱多
代码示例：
function maxProfit(prices: number[]): number { const length: number = prices.length const dp: number[][] = [] dp[0] = [-prices[0], 0] for (let i = 1; i < length; i++) { dp[i] = [] dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]) dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]) } return dp[length - 1][1] };122.买卖股票的最佳时机II
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题目描述：
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。示例 2:
输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。示例 3:
输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
提示：
- 1 <= prices.length <= 3 * 10 ^ 4
- 0 <= prices[i] <= 10 ^ 4
思路：
上一题是只能买卖一次，本题是一只股票可以重复多次的买卖，主要的差异也就只体现在递推公式上了，其他没啥区别。
如果第i天持有股票，即dp[i][0]，那么可以从两个状态推出来：要么是前一天就持有了（dp[i - 1][0]），要么是今天买入了，手里现金就是昨天不持有股票的现金 减去 今天的股票价格：dp[i - 1][1] - prices[i]
如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也是由两个状态推出来：要么前一天就不持有，那么所得现金就是昨天不持有（dp[i - 1][1]）。要么就是今天把股票卖出了，那么现在手里金额就等于price[i] + dp[i - 1][0]
本题与上一题的唯一区别就在于递推公式了，因为本题的股票可以买卖多次，所以买入股票的时候，可能会有之前买卖的利润即：dp[i - 1][1]，所以dp[i - 1][1] - prices[i]。
代码示例：
function maxProfit(prices: number[]): number { const length:number = prices.length const dp:number[][] = [] dp[0] = [-prices[0], 0] for(let i = 1; i < length; i++){ dp[i] = [] dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]) dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]) } return dp[length - 1][1] };123.买卖股票的最佳时机III
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题目描述：
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6 解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4 解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0 解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为0。
示例 4：
输入：prices = [1] 输出：0
提示：
- 1 <= prices.length <= 10^5
- 0 <= prices[i] <= 10^5
思路：
本题是久违的hard难度了，但是其实做起来也没有那么难，相比前两题，本题限定我们至多可以买卖两次，也就是说可以买卖两次，一次，甚至不买卖
动规五部曲来了：
1.确定dp数组及其下标含义：一天中现在有5种状态：
0.没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
1.第一次持有股票
2.第一次不持有股票
3.第二次持有股票
4.第二次不持有股票
dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。
依旧要注意是持有并非买入，第i天不是一定要买的
2.确定递推公式：
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
- 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
那么dp[i][1]究竟选 dp[i-1][0] - prices[i]，还是dp[i - 1][1]呢？
一定是选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
同理dp[i][2]也有两个操作：
- 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
- 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
同理可推出剩下状态部分：
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
这里是主要难点，会稍微有点点绕，得顺着文字思路去写代码，别光想着dp数组改数字
3.dp数组如何初始化：dp[0][0]没有操作，所以等于0。
dp[0][1]表示第一次买入了，所以值为-price[0]。
dp[0][2]表示第一次卖了，也就是刚买完就卖了，等于没买，还是等于0。
dp[0][3]相当于先买再卖以后，又买回来了，那么就也是花了钱，所以值是-price[0]
dp[0][4]就是先买再卖以后，又买又卖，说白了还是没买，值等于0
4.确定遍历顺序：依旧是保持从前往后遍历
5.举例推导dp数组
以输入[1,2,3,4,5]为例
大家可以看到红色框为最后两次卖出的状态。
现在最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。如果想不明白的录友也可以这么理解：如果第一次卖出已经是最大值了，那么我们可以在当天立刻买入再立刻卖出。所以dp[4][4]已经包含了dp[4][2]的情况。也就是说第二次卖出手里所剩的钱一定是最多的。
代码示例：
function maxProfit(prices: number[]): number { const length: number = prices.length if (length === 0) return 0 const dp: number[][] = new Array(length).fill(0).map(_ => new Array(5).fill(0)) dp[0][1] = -prices[0] dp[0][3] = -prices[0] for (let i = 1; i < length; i++) { dp[i][0] = dp[i - 1][0] dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]) dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]) dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]) dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]) } return dp[length - 1][4] };
