在计算机专业考研（408）的线性代数复习中，行列式的计算是基础中的基础。掌握特定模型的解法，可以大大提高做题速度。今天整理了笔记中几个非常经典的行列式计算方法，分享给大家。
一、 “行和相等”型行列式（爪形/循环变体）
这是最常见的nnn阶行列式模型，其特点是主对角线元素相同，其余元素也相同。
1. 例题呈现
计算nnn阶行列式：
D=∣ab⋯bba⋯b⋮⋮⋱⋮bb⋯a∣n×nD = \begin{vmatrix} a & b & \cdots & b \\ b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & \cdots & a \end{vmatrix}_{n \times n}D=ab⋮bba⋮b⋯⋯⋱⋯bb⋮an×n
2. 方法总结：三步走策略
对于这种每一行（或每一列）元素之和都相等的行列式，通用解法如下：
- Step 1：各行加至第一行
将第2,3,…,n2, 3, \dots, n2,3,…,n行全部加到第 1 行。此时第一行的每个元素都变为a+(n−1)ba+(n-1)ba+(n−1)b。 - Step 2：提取公因式
将第一行的公因式[a+(n−1)b][a+(n-1)b][a+(n−1)b]提出来，使第一行全变为111。 - Step 3：化为三角形行列式
利用第一行的111，将下方各行的bbb消去（执行Ri−bR1R_i - b R_1Ri−bR1），从而构造出上三角行列式。
3. 计算结果
D=[a+(n−1)b]⋅(a−b)n−1D = [a+(n-1)b] \cdot (a-b)^{n-1}D=[a+(n−1)b]⋅(a−b)n−1
二、 范德蒙德行列式 (Vandermonde)
范德蒙德行列式在处理幂次排列的结构时非常高效。
1. 例题呈现
计算 3 阶行列式：
∣11112312232∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2^2 & 3^2 \end{vmatrix}11112221332
2. 方法总结
识别范德蒙德行列式的关键是看各行（或各列）是否呈现几何级数增长（即1,x,x2,…1, x, x^2, \dots1,x,x2,…）。
- 标准公式：Vn=∏1≤j<i≤n(xi−xj)V_n = \prod_{1 \le j < i \le n} (x_i - x_j)Vn=∏1≤j<i≤n(xi−xj)
- 本题解析：这里的变量为x1=1,x2=2,x3=3x_1=1, x_2=2, x_3=3x1=1,x2=2,x3=3。按照“后项减前项”所有组合相乘的原则：
(2−1)(3−1)(3−2)=1×2×1=2(2-1)(3-1)(3-2) = 1 \times 2 \times 1 = 2(2−1)(3−1)(3−2)=1×2×1=2
三、 副对角线行列式与重要性质
笔记中记录的两个高频考点，是解决复杂选择题和填空题的利器。
1. 副对角线行列式公式
对于副对角线上有元素，其余为 0 的行列式，其计算公式为：
∣00a0b0c00∣=(−1)n(n−1)2⋅abc\begin{vmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \cdot abc00c0b0a00=(−1)2n(n−1)⋅abc
- 注意点：符号位由(−1)n(n−1)2(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}(−1)2n(n−1)决定。
- 示例：在 3 阶情况下，指数3×(3−1)2=3\frac{3 \times (3-1)}{2} = 323×(3−1)=3，因此结果需带负号。
2. 行列式乘法性质
在一个复杂的矩阵运算中，若涉及行列式拆分，请牢记：
∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣|AB| = |A| \cdot |B|∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣
补充提示：该性质仅对同阶方阵成立，在处理抽象矩阵行列式、求逆矩阵行列式等问题时经常用到。
四、 总结与建议
行列式的计算重在“观察结构”。在备考 408 的过程中，建议大家：
- 先找规律：看看是否行和相等或符合范德蒙德模型。
- 善用性质：∣AB∣=∣A∣∣B∣|AB|=|A||B|∣AB∣=∣A∣∣B∣可以简化大量运算。
- 注意阶数：在写nnn阶行列式通解时，一定要标注清楚指数（如n−1n-1n−1）。
希望这份笔记对大家的线代复习有所启发！
