【几何矢量证明】三角形的中线、及重心性质、多边形的质心(面心)-平芜编程栈

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数学题

前言

三角形的三个顶点是ABC，重心(三条中线)交点是G,BC的中点是D，AC的中点是E,AB的中点是F。

性质一：AD和BE相交G，且交点G在三角形内。H是BC上任意一点，BH和AD都有交点，且在三级形内。
性质二：D G ⃗ = = x ⋅ D A ⃗ \vec{DG}==x \cdot \vec{DA}DG==x⋅DA,则x = = 1 3 x==\frac1{3}x==31。a = O A ⃗ , b = O B ⃗ , c = O C ⃗ , d = O D ⃗ ， g = O G ⃗ a=\vec{OA},b=\vec{OB},c=\vec{OC},d=\vec{OD}，g=\vec{OG}a=OA,b=OB,c=OC,d=OD，g=OG
d+D G ⃗ \vec{DG}DG-g=0
→ \to→d+x(D A ⃗ \vec{DA}DA)=g
→ \to→d+x(a-d)=g
→ \to→d+xa-xd=g
→ \to→2d+2xa-2xd=2g左右乘以2
→ \to→b+c+2xa-xb-xc=2gd = b + c 2 d=\frac{b+c} 2d=2b+c
→ 2 x a + ( 1 − x ) b + ( 1 − x ) c = 2 g \rightarrow 2xa+(1-x)b+(1-x)c=2g→2xa+(1−x)b+(1−x)c=2g式子一
同时G是BE上一点，E G ⃗ = y ⋅ E B ⃗ \vec{EG}=y \cdot \vec{EB}EG=y⋅EB故
2yb+(1-y)a+(1-y)c=2g式子二
联立式子一式子二。
(2x+y-1)a+(1-x-2y)b+(1-x+y-1)c=0
任意(a,b,c)上述式都成立。即(a0,b0,c0)和(a0+1,b0,c0)都成立。
故：2x+y-1=0式子三
1-x-2y=0式子四
1-x+y-1=0式子五
联立式子三五，x=y=1 3 \frac{1}{3}31,此解也是式子三的解。
性质三：G1 =( a + b + c ) ÷ 3 (a+b+c)\div 3(a+b+c)÷3。
g1 =d + ( a − d ) ÷ 3 = 2 d ÷ 3 + a ÷ 3 = ( b + c ) ÷ 3 + a ÷ 3 = ( a + b + c ) ÷ 3 d + (a-d) \div 3=2d\div3+a\div3=(b+c)\div 3+a\div 3=(a+b+c)\div 3d+(a−d)÷3=2d÷3+a÷3=(b+c)÷3+a÷3=(a+b+c)÷3
推论一：根据性质三，AD和CF的交点也为G1,BE和CF的交点也为G1，即三条中线相交于一点。
性质四：△ G B C \triangle GBC△GBC的面积是△ A B C \triangle ABC△ABC的三分之一，底相同，高是三分之一。

三角形的重心

均匀的三角形板一定有重心。绳子固定在重心，三角板能保证平衡。如果绳子在中线，不会沿着中线翻转。在三角形内部做无限多无线密集的平行与BC的线，这些线和A组成无数三角形。这些三角形被中线AD分成面积相等的三角形。

质心

多边形的``质心’'是一个重要的几何概念，但在不同语境下，它可能指代两个不同的东西几何中心}和面心。我们来详细解释这两者。

多边形的几何中心

对于多边形，其几何中心通常指的是顶点坐标的算术平均点 \textbf{顶点坐标的算术平均点}顶点坐标的算术平均点。它只与多边形的顶点位置有关，与多边形的面积分布无关。
三角形的几何中心 \textbf{三角形的几何中心}三角形的几何中心：就是三个顶点的平均值，这恰好与三角形的重心 \textbf{重心}重心重合。
矩形的几何中心 \textbf{矩形的几何中心}矩形的几何中心：就是其两条对角线的交点。
对于正多边形（所有边和角都相等），其几何中心与面心重合。
对于不规则多边形，这个点可能不在多边形内部，也可能不能很好地代表多边形的“中心”。例如，一个“C”形多边形的几何中心可能会落在其外部。
多边形的面心

面心

在物理学和工程学中常被称为质心，是假设多边形是一个均匀的薄板时，其质量分布的中心点。它的计算考虑了多边形的整个面积分布，而不仅仅是顶点。计算方法
计算面心的公式源自积分学，对于简单多边形（不自交），其面心的坐标计算公式为：

C area = ( 1 A ∑ i = 0 n − 1 ( x i + x i + 1 ) ( x i y i + 1 − x i + 1 y i ) , 1 A ∑ i = 0 n − 1 ( y i + y i + 1 ) ( x i y i + 1 − x i + 1 y i ) ) C_{\text{area}} = \left( \frac{1}{A} \sum_{i=0}^{n-1} (x_i + x_{i+1})(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i), \frac{1}{A} \sum_{i=0}^{n-1} (y_i + y_{i+1})(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right)Carea=(A1i=0∑n−1(xi+xi+1)(xiyi+1−xi+1yi),A1i=0∑n−1(yi+yi+1)(xiyi+1−xi+1yi))
其中，A AA是多边形的有向面积：
A = 1 2 ∑ i = 0 n − 1 ( x i y i + 1 − x i + 1 y i ) A = \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)A=21∑i=0n−1(xiyi+1−xi+1yi)

注意：顶点序列应按顺时针或逆时针顺序排列，并且约定x 0 = = x + n , y 0 = = y n x_0==x+n,y_0==y_nx0==x+n,y0==yn
。计算出的面积 A 要取绝对值。通俗理解：这个公式通过将多边形分解成梯形（或三角形）来进行加权平均，权重是每个梯形（或三角形）的面积。

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