数字信号处理篇---双线性变换法-平芜编程栈

双线性变换法的核心思想是：建立一种从s平面到z平面的单值映射关系，将整个模拟频率轴jΩ唯一地压缩到数字频率的单位圆e^(jω)上，从而从根本上消除频谱混叠。

与脉冲响应不变法完全相同。指标在数字频率域（ω）给出：

这是双线性变换法最关键、最具特色的步骤。因为s域与z域的频率存在非线性压缩关系，我们必须进行预畸变校正。

核心映射关系（双线性变换公式）：
其逆变换为：
其中T是采样周期。这个变换将整个s左半平面映射到z平面单位圆内，保证了稳定性。
频率对应关系：
将s = jΩ和z = e^(jω)代入变换公式，得到：
化简后得到频率预畸变公式：
这个公式表明，模拟频率Ω与数字频率ω之间是正切非线性关系。
技术指标转换（如何进行预畸变）：
为了最终得到的数字滤波器频率响应在ωp和ωs处精确满足指标，我们必须先在模拟域“扭曲”这些频率点。
1. 选择T：通常为了简化计算，取 T = 2。此时公式简化为：
2. 转换公式：
  （衰减指标αp和αs保持不变）。
3. 示例：若ωp = 0.2π rad，取T=2，则Ωp = tan(0.2π/2) = tan(0.1π) ≈ 0.3249 rad/s。
为什么叫“预畸变”？因为模拟滤波器的频率轴Ω是非线性的（经过tan(ω/2)拉伸），设计出的模拟滤波器H_a(s)的频率响应在Ωp和Ωs处有正确的衰减。当我们通过双线性变换将其转换为H(z)时，H(e^(jω))在对应的ωp和ωs处的衰减值，恰好就等于之前设计的αp和αs。这个非线性被“压缩”回来，使得数字频响在关键频率点上精确匹配指标。

这一步与脉冲响应不变法完全相同。根据预畸变后的模拟指标(Ωp, αp, Ωs, αs)，设计一个满足这些指标的模拟滤波器H_a(s)（如巴特沃斯、切比雪夫等）。

这是实现步骤。转换直接使用核心公式。

实现方法（s → z 转换）：

直接代入法：将双线性变换公式直接代入模拟滤波器系统函数H_a(s)：
计算过程：将H_a(s)整理成关于s的有理分式，然后用(2/T)(1-z^{-1})/(1+z^{-1})替换其中的每一个s，最后简化整理成关于z^{-1}的有理分式形式。
编程实现：在MATLAB中，使用bilinear函数可以自动完成这个过程（包括预畸变和变换）。

频率响应的非线性畸变（幅度和相位）：
- 根本原因：这是预畸变公式Ω = (2/T) tan(ω/2)的直接结果。它导致数字滤波器的频率轴 ω 发生了非线性扭曲。
- 影响：
  - 幅度响应：模拟滤波器的一段线性相位，经过变换后会变成非线性的。对于频率选择性滤波器（如低通、高通），其幅频响应的形状会保持不变（只是频率轴被扭曲了）。因此，只要通过预畸变校正了边界频率，通带和阻带的衰减指标就能精确满足。
  - 相位响应：模拟滤波器的线性相位特性无法保持。因此，双线性变换法不适用于需要严格线性相位的场合。
高频段的严重压缩（频谱拥挤）：
- 从Ω = (2/T) tan(ω/2)可以看出，当数字频率ω接近π（奈奎斯特频率）时，对应的模拟频率Ω会趋向于无穷大。这意味着整个无限的模拟频率轴被压缩到了一个有限的数字频率范围 [0, π] 内。
- 后果：这使得设计在高频段具有精细特性的数字滤波器变得困难，因为模拟域对应的高频段被极度压缩，对模拟滤波器的要求会变得异常苛刻。

特性	脉冲响应不变法	双线性变换法
核心思想	保持时域冲激响应样本相等 (`h[n]=h_a(nT)`)	建立s到z的单值代数映射，保持系统函数的有理性
频率映射	线性：`ω = ΩT`	非线性（正切）：`Ω = (2/T) tan(ω/2)`
混叠失真	存在严重混叠，是主要缺点	完全消除混叠，是最大优点
适用滤波器类型	仅适用于低通、带通等频带受限滤波器	通用，适用于低通、高通、带通、带阻所有类型
相位保持	不能保持线性相位	不能保持线性相位
设计复杂度	需部分分式分解，相对复杂	直接代数替换，相对简单
应用场景	需要时域响应匹配，且对混叠不敏感的低通/带通设计	绝大多数IIR滤波器设计，特别是高通、带阻，或对阻带衰减要求高的场合