电荷流分析方法[1]
电荷流动分析方法在论文[4]中提出，其可以计算变换器的变比N和等效输出电阻Rout。此外，该方法还可用于合理选择电容和开关的尺寸。
首先分析两相变换器，对于电荷流向量，包含了两种分别为：电容电荷流向量和开关电荷流向量。
以2：1变换器为例：
1、电容电荷流向量
电容电荷流向量具有的形式为：，其中
表示第i相流入输出端的电荷；
表示第i相输入电压源提供的电荷量；其余为飞跨电容流过的平均电荷量。对于2:1变换器其含有两相因此其输出电荷量为：
，用总输出电荷量进行归一化得到：
，同时注意对于电容来说其在全周期内的净电荷为0，对于2：1变换器就是：
。如果我们定义在
相内从Vin流出的电荷为
，则有：
利用进行归一化可以得到：
2、开关电荷流向量
开关电荷流向量在第i相的形式为：，其中
表示电荷倍增系数，定义为在第i相通过开关j 的电荷流，开关关断的时候为零，其下标的r代表开关电阻。对于2：1变换器我们可以得到：
又因为每个开关要么在相导通要么在
相导通，因此开关电荷流向量可以用一个向量表示：
，其中
定义为开关j在导通期间通过的电荷流。
3、常见拓扑的电荷流向量：
常见的拓扑结构如下：
对应的电荷流向量如下所示：
4、理想转压比
由可以得到
，所以平均的输入电流为
，所以输入功率为：
，输出功率为：
理想情况下有：，所以理想转压比：
5、等效输出电阻
SC变换器的等效电路模型如下所示：
5.1、慢速极限下的输出电阻
电容C的电荷量变化q需要的能量为：
而对于电源来说其消耗的能量为：
所以两者之间的差值即为充电过程中损耗的能量，即：
所以将所有相位nph和飞跨电容n的损失加在一起可以得到每个周期内的能量损失为：
又因为：，所以
又因为：，所以
对于两相的SC变换器，因为，且每一相的
，所以可简化为：
对于2：1变换器有：
由此推出用于比较SC变换器拓扑结构的度量指标：
对于多相SC变换器：
对于两相SC变换器：
，其中
5.2、快速极限下的输出阻抗
由于开关在时间内导通，使得在一个周期T内的平均损耗能量为：
又因为：
所以上式变为：
将所有开关和所有相位的损耗加起来为：
又因为：，所以
对于，可得到：
在两相变换器中，来自
，则可简化为：
对于2:1变换器则为：（假设开关电阻相同）
由此推出用于比较SC变换器拓扑结构的度量指标：
对于多相SC变换器：
对于两相SC变换器：
所以总的输出电阻近似为：
5.3、精确的Rout推导
总损耗能量等于所有相位和所有电阻元件的
之和，用符号
表示，又因为
且
，所以可得到：
又因为在每个相位中，飞跨电容和开关电阻构成一个具有集总元件Ri和Ci的RC电路，如下图所示：
所以在第i相期间损耗的能量Ei等于：
所以可以得到：
对于SC转换器，Ii由一个齐次一阶微分方程决定，其结果为
而可根据在每一相i中输送至变换器输出端的电荷
等于相位持续时间
内
的积分这一条件来确定，得到：
可求得：
所以：
6、输出电压纹波
输出电压的峰峰值纹波别定义为：
其中kd称为放电分数因子，Co∗为有效输出缓冲电容。放电分数因子kd表示每个开关周期内飞跨电容向输出端输送电荷的次数。对于2:1变换器其kd=2。而，其中Co是输出电容，Ctot是所有的飞跨电容，kt是与拓扑结构相关的参数，决定了在不同相内飞跨电容等效到输出的比率，其计算为：
，采用所有相中最小的Kt计算最差的输出电压纹波。
7、电容和开关尺寸
7.1、电容尺寸
对于给定的电容预算Ctot，我们可以通过SSL极限下的电荷流得到：
而对于两相变换器则为：
7.2、开关尺寸
对于给定的MOS管宽度预算Wtot，我们可以通过FSL下的开关电荷流向量得到：
而对于两相变换器则为：
7.3、输出电容尺寸
利用和
可以推导出：
8、参考文献
参考 design of PMIC 第9章
